完善版第5章-刚体的定轴转动A-rigid-body-about-a-fixed-axis课件.ppt

1、5.1 刚体的运动刚体的运动 5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律(A rigid body about a fixed axis)转轴15.1 刚体的运动 5.2 刚体定轴转动定律 5.3 转动惯本章将介绍一种特殊的质点系本章将介绍一种特殊的质点系刚体刚体所遵循的力学所遵循的力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。规律。着重讨论刚体的定轴转动。5.1 5.1 刚体的运动刚体的运动一、一、概念概念什么是

2、刚体什么是刚体?实际的固体在受力作用时总是要发生或大或实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时,这种这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处理。理。在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。(2)(2)刚体可以看作是由许多质点组成刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点每一个质点叫做刚体的一个质元叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是刚体这个质点系的特点是,在外力作用下各质元之间的

3、相对位置保持不变。在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。1.刚体定义刚体定义:mimiN 支持力支持力注意：注意：(1)(1)刚体是固体物件的理想化模型。刚体是固体物件的理想化模型。质元质元(A rigid body about a fixed axis)2本章将介绍一种特殊的质点系刚体所遵循的力学规律。2.刚体的运动形式刚体的运动形式:如果刚体在运动中如果刚体在运动中,连结体内两连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行点的直线在空间的指向总保持平行,这样的运动就叫这样的运动就叫平动。平动。转动是刚体的基本运动形式之一。刚体转动是刚体的基本运动形式之一。刚体转动时各质元均做圆周运动转动时各

4、质元均做圆周运动,而且各圆而且各圆 的圆心的圆心都在一条直线上都在一条直线上,这条直线叫这条直线叫转轴转轴。如果转轴。如果转轴方向不随时间变化方向不随时间变化,则称则称定轴转动定轴转动。转动转动:平动：平动：转轴转轴mimi注意：注意：刚体平动时刚体平动时,刚体内各刚体内各质元的运动轨迹都一样质元的运动轨迹都一样,而且在而且在同一时刻的速度和加速度都相等。同一时刻的速度和加速度都相等。因此因此,在描述刚体的平动时在描述刚体的平动时,可以可以用一点的运动来代表，通常就用用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。体的平动。32.刚体的运动形式:如

5、果刚体在运动中,连结体 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合。如图结合。如图,车轮的转动。车轮的转动。4 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动转动平面转动平面 二、刚体定轴转动的描述二、刚体定轴转动的描述 刚体绕某一固定轴转动时刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同相同,根据这一特点根据这一特点,常取垂直于转轴常取垂直于转轴 的平面为参考系的平面为参考系,这个平面这个

6、平面称转称转 动平面。动平面。,虽然刚体上各质元的线速度、虽然刚体上各质元的线速度、加速度一般是不加速度一般是不同的。但由于各质元的相对位置保持不变同的。但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动所以描述各质元运动的角量的角量,如角位移、如角位移、角速度角速度 和角加速度都是一样的。因此描述和角加速度都是一样的。因此描述刚体的运动时刚体的运动时,用角量最为方便。用角量最为方便。Ovimi转轴转轴Zri转轴转轴5转动平面 二、刚体定轴转动的描述 刚体绕某一固定2.角位移角位移1.角位置角位置4.角加速度矢量角加速度矢量)/(2sraddtd(/);drad sdt转动平面转动平面vvr3

7、.角速度矢量角速度矢量:方向与转动方向成右手螺旋法则方向与转动方向成右手螺旋法则。P点线速度点线速度注意注意P点线量和角量的关系点线量和角量的关系当减速转动时当减速转动时,角加速度与角速度方向相反角加速度与角速度方向相反;注意注意:当加速转动时当加速转动时,角加速度与角速度方向相同；角加速度与角速度方向相同；rpooX转动方向转动方向Zrv 2raraan62.角位移 1.角位置 4.角加速度矢量转动平面v .当角加速度矢量是常矢量时：当角加速度矢量是常矢量时：)(20202atvv0)(20202xxavv20021attvxxt 02210 )(tt匀加速度直线运动公式：匀加速度直线运动公

8、式：7.当角加速度矢量是常矢量时：匀加速度直线运动公式：7 鞍山科FFF/当我们用力当我们用力 F 推门时，该力可以分推门时，该力可以分解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴方向的力，平行于门轴方向的力对门的方向的力，平行于门轴方向的力对门的转动是否起作用？转动是否起作用？问题问题:关于力矩作用的结论：关于力矩作用的结论：1.与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；2.与转轴平行的力对转轴不产生力矩；与转轴平行的力对转轴不产生力矩；3.刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(为什么为什么?

9、)二、刚体定轴转动定律二、刚体定轴转动定律静止刚体在力的作用下，如静止刚体在力的作用下，如果力矩不等于零，将可能转动。果力矩不等于零，将可能转动。FrM 8F F F/当我们用力 F 推门时，该力可以分解为垂直于将刚体划分成很多质点，每个质点随刚体绕轴作将刚体划分成很多质点，每个质点随刚体绕轴作半径不同的圆周运动，通过考察质点的运动来找出刚半径不同的圆周运动，通过考察质点的运动来找出刚体定轴转动的角加速度与力矩的关系体定轴转动的角加速度与力矩的关系。如图，研究质点如图，研究质点 ，受力为，受力为iPiFiF t iFt iF iriF外力外力 ijijiFF内力之和内力之和 质点质点 对质点对

10、质点 的作用。的作用。ijFiPjP 因为外力平行于转轴的分力不可能影响刚体绕轴的因为外力平行于转轴的分力不可能影响刚体绕轴的转动，所以只考虑外力在转动平面内垂直于转轴的分力，转动，所以只考虑外力在转动平面内垂直于转轴的分力，该分力产生力矩的方向只可能沿着轴的两个方向。该分力产生力矩的方向只可能沿着轴的两个方向。9将刚体划分成很多质点，每个质点随刚体绕轴作半径不同的圆周运动iFiF t iFt iF ir如图，考虑质点如图，考虑质点 切线方向运动有切线方向运动有iP iiiiiirmamFF ttt上式对所有质点求和，得上式对所有质点求和，得iiiiiiiiirmrFrF)(2tt两边乘以两边

11、乘以 ir iiiiiirmrFrFtt外力合力矩外力合力矩可提出求可提出求和号外和号外内力合力矩内力合力矩10如图，考虑质点 切线方向运动有上式对所有质点求和，得两边乘可以证明内力产生的力矩和等于零，即可以证明内力产生的力矩和等于零，即 iiijijiiirFrFtt（内力成对出现）（内力成对出现）ijFjiFij外力合力矩外力合力矩 iiirFMt对一定的转轴，量对一定的转轴，量 为恒量，称为刚体对该为恒量，称为刚体对该转轴的转动惯量，用转轴的转动惯量，用J表示表示 iiirm iiirmJ11可以证明内力产生的力矩和等于零，即（内力成对出现）i j 外力合 2iirmJ定义转动惯量定义转

12、动惯量 JM 转动定律：转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。说明：说明：1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。解决刚体定轴转动问题的基本方程。3）力矩、角加速度与角速度同向为正，反向为负。）力矩、角加速度与角速度同向为正，反向为负。12定义转动惯量转动定律：刚体绕定轴转动时，

13、刚体的角加速度与它所 练习练习1：如图所示：如图所示,有两个质量分别为有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分半径分别为别为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳,其两端挂其两端挂着质量分别为着质量分别为m1 和和m2 的物体。若的物体。若m1 m2,忽略轴承处的忽略轴承处的摩擦摩擦,且绳子与滑轮间无相对滑轮且绳子与滑轮间无相对滑轮,求滑轮的角加速度及绳求滑轮的角加速度及绳子的张力子的张力T1 、2 、T 3。m2m1T2T1T3M1R1M2R213 练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，半T2M1R1M2 R2T3T1m1gT2m2gT3T12

14、222amTgm1111amgmT222223221)(RMRTT222111RaRa121111321)(RMRTT14T 2 M1 M2 R 2 T 3 T 1 m1 g T 2 m2 g T 3 T 1 1 4 鞍山12121121)2(m)m2(mRgMMmgmMMmMMT121212111)2(m)m4(22121122)2(m)m2(mRgMMmgmMMmMMT221212112)2(m)m4(gMMmMMT21212112213)2(m)mmmm4(151 5 鞍山科技大学 姜丽娜重力矩：重力矩：一根长为一根长为l、质量为质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固的均匀细直棒，其一端有

15、一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆水平位置，求它由此下摆 角时的角加速度。角时的角加速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O O 的力矩。的力矩。棒棒上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为：xdmggxdmM XOdmgdmxCmgxM 据质心定义据质心定义cmxxdm cos21mglM lgmlmglJM2cos331cos212 结论：重力对规则均匀刚体的力矩和全部重力集中在质心产生的力矩一样。16重力矩：一根长

16、为l、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的Z1.转动惯量的物理意义及性质转动惯量的物理意义及性质:转动惯量与质量类似转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度它是刚体转动惯性大小的量度;转动惯量不仅与刚体质量有关转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关位置及刚体的质量分布有关;转动惯量具有迭加性转动惯量具有迭加性;转动惯量具有相对性：转动惯量具有相对性：同一刚体同一刚体,转轴不同转轴不同,质量对转轴的分质量对转轴的分布不同布不同,因而转动惯量不同。因而转动惯量不同。5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算17Z 1.转动惯量的物理意义及性

17、质:转动惯量与质量类似,它是2.定轴转动惯量计算定轴转动惯量计算:iiirmJ2分立刚体分立刚体:转动惯量等于转动惯量等于刚体中每个质点的刚体中每个质点的质量与这一质点到质量与这一质点到转轴的距离的平方转轴的距离的平方的乘积的总和。的乘积的总和。mioiri182.定轴转动惯量计算:分立刚体:转动惯量等于刚体中每个连续刚体连续刚体:dmrJ2质量体密度质量体密度dvr2dsr2dlr2质量面密度质量面密度质量线密度质量线密度dmor19连续刚体:质量体密度 质量面密度 质量线密度d3.转动惯量的计算举例转动惯量的计算举例 例例 1 刚性三原子分子其质量分布如图所示，刚性三原子分子其质量分布如图

18、所示，求绕转轴的转动惯量求绕转轴的转动惯量233222211rmrmrmJ例例 2 质量为质量为m ，长为长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。和绕一端转轴的转动惯量。r1r2r3m1m2m3转轴转轴203.转动惯量的计算举例 例 1 刚性三原子分子其质量分布如解解:棒质量线密度棒质量线密度:：按如图所示建立一维坐标系：按如图所示建立一维坐标系,选择质量为选择质量为dm的质元，其的质元，其长长度为度为dx，则，则dm绕中心轴的转动惯量为：绕中心轴的转动惯量为：则按如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为则按如图所示建立一维坐标系绕

19、一端的转动惯量为dmxJ21dmxJ22oX图图图图Xo=m/l,dxdxdxxll2222121mldxxl02231mldm=dxdmdxxdmxdJ22则细棒对中心轴的转动惯量：则细棒对中心轴的转动惯量：21解:棒质量线密度:：按如图所示建立一维坐标系,选择质量为oRZ例例 3 求质量为求质量为 m ，半径为半径为 R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴与的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。圆环平面垂直并通过其圆心。dmdmRJ2mdmR22mR解解:思考：质量为思考：质量为m，截面半径为，截面半径为R的均匀薄圆筒对几何中心轴的转动的均匀薄圆筒对几何中心轴的转动 惯量？惯量？2

20、2o R Z 例 3 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆环的RoZ例例 4 求质量为求质量为 m ，半径为半径为 R 的均匀薄圆盘的转动惯量，轴的均匀薄圆盘的转动惯量，轴与圆盘平面垂直并通过其圆心。与圆盘平面垂直并通过其圆心。drr解解:设圆盘单位面积上的质量为设圆盘单位面积上的质量为在圆盘上取半径为在圆盘上取半径为r，宽为宽为 dr 的圆环，该圆环质量：的圆环，该圆环质量：rdrdsdm2dmrJ2rdrrR202221mR2Rm则圆盘转动惯量为则圆盘转动惯量为2rdmdJ23R o Z 例 4 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘的例例 5 C60分子由分子由60个碳原子组成。这些

21、碳原子各位于一个球个碳原子组成。这些碳原子各位于一个球形形32面体的面体的60个顶角上。此球体的直径为个顶角上。此球体的直径为71nm。求按均匀球求按均匀球面计算，求此球形分子对一个直径的转动惯量是多少？面计算，求此球形分子对一个直径的转动惯量是多少？232mRJ 2392927mkg1001.121071601067.11232解解:设碳原子的质量为设碳原子的质量为m，球体半径为球体半径为R24例 5 C 6 0 分子由6 0 个碳原子组成。这些碳原子各位于一个ZCdZ 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的转动惯量体对通过质心并与该轴平行的转

22、动惯量加上刚体质量与两轴间距的平方的乘积。加上刚体质量与两轴间距的平方的乘积。（4）平行轴定理：）平行轴定理：J=Jc+md225Z C d Z 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1、m2 mimn的质点的质点;各质点距转轴的距离分别为各质点距转轴的距离分别为 r1、r2 ri rn221iikivmE整个刚体的动能整个刚体的动能kiikEE一、一、转动动能转动动能221JEk称刚体的转动动能称刚体的转动动能5.5 5.5 转动中的功和能转动中的功和能则第则第 i 个质元的动能个质元的动能 2221iirm221iiivm2221iiirm26

23、将刚体看成许多质量分别为m1 、m2 mi O二、力矩的功二、力矩的功-力矩作用于刚体的空间累积效应力矩作用于刚体的空间累积效应当力持续作用于刚体使其角位置由当力持续作用于刚体使其角位置由1到到2时时,力矩的功为力矩的功为21MdArdfdArdfcosdfrsinMd如图力如图力 f 作用于作用于P点使刚体绕转轴转过微小角度点使刚体绕转轴转过微小角度d,P点对应的线位移为点对应的线位移为dr,力所作的元功力所作的元功pfdrdr27O 二、力矩的功-力矩作用于刚体的空间累积效应当力持续作当力矩为常量时当力矩为常量时,功为功为)(21 MA对于同一转轴对于同一转轴,因为刚体内一对内力矩大小相等

24、，方向相反，因为刚体内一对内力矩大小相等，方向相反，在相同的时间内转过的角位移相同，所以刚体中所有内力在相同的时间内转过的角位移相同，所以刚体中所有内力矩功的总和为零。矩功的总和为零。力矩的功力矩的功实质上是实质上是力做的功力做的功在刚体转动中的特殊表达式在刚体转动中的特殊表达式28当力矩为常量时,功为对于同一转轴,因为刚体内一对内力矩大小相四、四、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理末态的角位置和角速度分别为末态的角位置和角速度分别为2和和2,则在该过程中力矩的功则在该过程中力矩的功为：为：21MdA即即,合外力矩对刚体做定轴转动所作的功合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体转动

25、等于刚体转动动能的增量。动能的增量。设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为1和和121dJ21dddtJ21222121JJ29四、刚体定轴转动的动能定理末态的角位置和角速度分别为 2 和m质量为质量为m的不太大的整个的不太大的整个刚体的重力势能刚体的重力势能mygEPdmygdmmymgdcmgyydmycC一个不太大的刚体的重力势能和它的一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。全部质量集中在质心时所具有的势能一样。结论：结论：五五、刚体系统的功能原理、刚体系统的功能原理A外力外力+A非保守内力非保守内力=（Ek2+

26、Ep2）-（Ek1+Ep1）221JEkcpmgyE当含刚体的系统在运动过程中只有保守力内力做功时当含刚体的系统在运动过程中只有保守力内力做功时,在该过在该过程中系统机械能守恒。程中系统机械能守恒。XYOz30m质量为m的不太大的整个刚体的重力势能y d my c C 一个不例例 3：如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方

27、向成方向成角时角时,杆的角速度是多少杆的角速度是多少?mgl1.研究对象研究对象:杆杆+球球+地球地球=系统系统重力重力mg保守内力保守内力;弹力其功为零弹力其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功:3.取重力势能零点取重力势能零点:水平位置水平位置4.运动过程中系统满足机械能守恒的条件运动过程中系统满足机械能守恒的条件:解解:31例 3：如图一质量为M 长为l 的匀质细杆，中间和右端各有一0)312(212222Mlmllmsinsin2sin2mgllmglMgsin)415()3(12glMmmM323 2 鞍山科技大学 姜丽娜rivimiZoi5.6 5.6 对定轴的角动量

28、守恒对定轴的角动量守恒一、角动量定理一、角动量定理:1.角动量定义角动量定义:JL 质点对质点对Z轴的角动量轴的角动量:iiiiiimrvmrL2刚体对刚体对Z轴的角动量轴的角动量:2.角动量定理角动量定理:122121LLdtdtLddtMttttdtLddtJddtdJaJM)(形式与质点的角动量定理相同，质点的力矩和角动量是形式与质点的角动量定理相同，质点的力矩和角动量是对定点，而刚体是对定轴而言。角动量定理反映了力矩对定点，而刚体是对定轴而言。角动量定理反映了力矩的时间积累效果。的时间积累效果。33r i v i mi Z o i 5.6 对定轴的角动量守恒一、二、角动量守恒定律二、角

29、动量守恒定律:由角动量定理可知：由角动量定理可知：dtLdM1.1.角动量守恒有两种情况角动量守恒有两种情况:注意注意:当刚体所受合力矩为零时即当刚体所受合力矩为零时即M=0时时,其角动量其角动量 L保持守恒。保持守恒。2.2.角动量守恒定律与动量守恒定律、角动量守恒定律与动量守恒定律、能量守恒定律一样都是自能量守恒定律一样都是自然界的规律。然界的规律。一是转动惯量与角速度都不变一是转动惯量与角速度都不变;二是两者都变，但二者的乘积不变。二是两者都变，但二者的乘积不变。34二、角动量守恒定律:由角动量定理可知：1.角动量守恒有两种情思考：机械能守恒么？思考：机械能守恒么？35思考：机械能守恒么

30、？3 5 鞍山科技大学 姜丽娜花样滑冰中的角动量守恒现象花样滑冰中的角动量守恒现象36花样滑冰中的角动量守恒现象3 6 鞍山科技大学 姜丽娜舞蹈中的角动量守恒现象舞蹈中的角动量守恒现象37舞蹈中的角动量守恒现象3 7 鞍山科技大学 姜丽娜跳水中的角动量守恒现象跳水中的角动量守恒现象 起跳入水38跳水中的角动量守恒现象 起跳入水3 8 鞍山科技大学 姜丽例例4:如图长为如图长为 L 的均匀直棒其质量为的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平轴吊上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为起而静止下垂。今有一子弹质量为m,以水平速度以水平速度vo 射入杆的射入杆的下端而不复出。下端而不复出。求：子

31、弹刚和杆开始一起运动时的角速度求：子弹刚和杆开始一起运动时的角速度多大多大?mvooL39例4:如图长为 L 的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平轴解解:1.定转轴正向：指外定转轴正向：指外2.隔离物体分析力及力矩；隔离物体分析力及力矩；子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒。系统，则系统的角动量守恒。)31(22mlMllmvo设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速度为角速度为，则由角动量守恒定律可得则由角动量守恒定律可得lmMmvo)3(3mvooLfFMgmgf40解:1.定转轴正向：指外2.隔离物体分析力及

32、力矩；子例例5:如图长为如图长为 l ，质量为质量为 m的均匀直棒静止在一光滑的水平面的均匀直棒静止在一光滑的水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为m 的小球以的小球以水平速度水平速度 vo 射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速度球的速度v和棒的角速度和棒的角速度。lmvomo41例5:如图长为 l ，质量为 m的均匀直棒静止在一光滑的水解解:定转轴正向指上；定转轴正向指上；以子弹和杆为系统，则以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒动能系统的角动量守恒动能守恒。守恒。mvomovm21212

33、2mlvmlvmlolmmvmo)3(122222121212121mlvmvmo)3()3(mmvmmvoZ42解:定转轴正向指上；以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒动能例例 6:如图长为如图长为l 的均匀细棒的均匀细棒,一端悬于一端悬于o点点,另一端自由下垂另一端自由下垂,紧紧靠靠o 点有一摆线长为点有一摆线长为l 的单摆的单摆,摆球质量为摆球质量为m,现将单摆拉到水现将单摆拉到水平位置后平位置后,由静止释放由静止释放,设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞后摆后摆 球恰好静止球恰好静止,试求试求:细棒的质量细棒的质量M;细棒碰撞后摆动的最大角度细棒碰撞后摆动的

34、最大角度o43例 6:如图长为l 的均匀细棒,一端悬于o 点,另一端自由下(一一)单摆下落过程单摆下落过程(AB):1.研究对象研究对象:摆摆 球球+地球地球=系统系统重力重力mg保守力力保守力力;绳的张力绳的张力T其功为零其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功:3.取零点势能取零点势能:B点点4.AB过程系统满足机械能守恒条件过程系统满足机械能守恒条件:1 2122mlmgl lg/2BAmgTC44(一)单摆下落过程(A B):1.研究对象:摆 球+地球=系(二二)单摆与棒碰撞过程单摆与棒碰撞过程(在在B点点):1.研究对象研究对象:摆摆 球球+棒棒+地球地球=系统系统2.设

35、转轴正向垂直向里设转轴正向垂直向里;3.因为系统做弹性碰撞因为系统做弹性碰撞,故碰撞过程机械能和角动量皆守恒故碰撞过程机械能和角动量皆守恒设棒碰撞后的瞬时角速度为设棒碰撞后的瞬时角速度为 2 21 31212222mglmlMl 3 3122mlMl45(二)单摆与棒碰撞过程(在B 点):1.研究对象:摆 球+棒(三三)碰撞后细棒上摆过程碰撞后细棒上摆过程(BC):1.研究对象研究对象:棒棒+地球地球=系统系统重力重力Mg保守内力保守内力;轴对棒的压力轴对棒的压力N其功为零其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功:3.取零点势能取零点势能:B点处细棒中点点处细棒中点;4.BC过程系

36、统满足机械能守恒条件过程系统满足机械能守恒条件:4 3121)cos1(222MllMg解方程解方程 可得到可得到M=3m;cos=1/3;=703246(三)碰撞后细棒上摆过程(B C):1.研究对象:棒+地球 例例7:如图长为如图长为 L 的均匀直棒其质量为的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平轴吊上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为起而静止下垂。今有一子弹质量为m,以水平速度以水平速度vo 射入杆的射入杆的悬点下距离为悬点下距离为 d 处而不复出。处而不复出。(1)子弹刚冲入杆中时杆的角速度为子弹刚冲入杆中时杆的角速度为多大多大?（2）子弹冲入杆的过程中）子弹冲入杆的过程中(经

37、历时间为经历时间为t),杆杆的上端受轴的水平和竖直分力各多大的上端受轴的水平和竖直分力各多大?(3)要想使杆不受轴水平力要想使杆不受轴水平力,则子弹应在何则子弹应在何处击中杆处击中杆?mvodoL47 例7:如图长为 L 的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平mvodoLcfFyFxMgactacn解解:1.定转轴正向指外，建立直角坐标系如图；定转轴正向指外，建立直角坐标系如图；2.隔离物体分析力；隔离物体分析力；mgf（1）子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为）子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒。系统，则系统的角动量守恒。)31(22mdMLdmvo设子弹刚冲入杆中，子弹和杆

38、共同的设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速度为角速度为，则由角动量守恒定律可得则由角动量守恒定律可得2233mdMLdmvooXY48mv o d o L c f F y F x Mg a c t a c n 解:1.定转轴正向（2）子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力）子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力tmvmvfotmvmdo杆受子弹的冲力杆受子弹的冲力:fftmdmvo对杆用质心运动定律对杆用质心运动定律:X方向方向:ctxMafFtLM2tLMfFx2tmvtmdMLo)2(mvodoLcfFyFxMgactacnmgf杆受轴水平方向的分力杆受轴水平方向的分力:49（2）子弹冲入杆的过程

39、中，子弹受杆的阻力杆受子弹的冲力:对杆mvodoLcfFyFxMgactacnmgfY方向方向:cnyMaMgF22LMMgLMFy22杆受轴竖直方向的分力杆受轴竖直方向的分力:(3)当杆不受轴水平方向的分力时当杆不受轴水平方向的分力时:0)2(tmvtmdMLFoxLd3250mv o d o L c f F y F x Mg a c t a c n mg f Y 方向:杆受*5.7 5.7 进动进动进动：高速自旋物体在外力矩作用下，其自转轴发生转动的现象。进动：高速自旋物体在外力矩作用下，其自转轴发生转动的现象。mgLLLdLdLrdtMLdMrmgM dLMdtLLddLMdtd转动角速度：转动角速度：俯视图俯视图51*5.7 进动进动：高速自旋物体在外力矩作用下，其自转轴发