含参变量反常积分课件.pptx

1、知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一1本节研究形如本节研究形如adxyxf),(的含参变量广义积分的含参变量广义积分(无穷限积分，无界无穷限积分，无界函数的积分函数的积分)的连续性、可微性与可积性。的连续性、可微性与可积性。)(,),(为瑕点bdxyxfba第1页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一2.一含参量反常积分及一致收敛定义设设 定义在无界区域定义在无界区域 若对每一个固定的若对每一个固定的 ,反常积分

2、反常积分 :()(,),cI xf x y dyxa b记作x都收敛都收敛,则它的值是则它的值是 在区间在区间 上取值的函数上取值的函数,ba称为定义在称为定义在 上的含参量上的含参量 的无穷限反常积分的无穷限反常积分,或或 x,ba 简称为简称为含参量反常积分含参量反常积分.(,),Rx y axb cy ,xa b(,)cf x y dy(,)f x y第2页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一3含参量反常积分一致收敛的定义对于含参量反常积分对于含参量反常积分 与函数与函数 )(xIcdyyx

3、f),(00,0,(),AcAxaAAb 若都有 则称含参量反常积分则称含参量反常积分 在在 上上一致收敛一致收敛于于 .()I x(,)cf x y dy,a b(,)(,),AAAf x y dyf x y dy或(1).含参量无穷广义积分第3页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一4(2).含参量瑕积分(,),dcf x y dyxa byd 设I(x)=对于有奇点，又对每一个x，这个有奇点的瑕积分存在，）无关），（与若bax)(,00时，使当)(,00,),(),(dddddyyxfdyyx

4、f或(,).dcf x y dyab则称含参瑕积分I(x)=在，上一致收敛第4页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一5二.含参量反常积分一致收敛的判别方法 一致收敛的柯西准则:含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的上一致收敛的cdyyxf),(,ba120,McA AMxa b 充要条件是都有.),(21AAdyyxf第5页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一6 一致收敛的柯西准则:含参量反

5、常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的上一致收敛的(,)af x y dx,c d120,MaA AMyc d 充要条件是都有21(,).AAf x y dx第6页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一7魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）判别法|(,)|(),f x yF xaxcyd ,.yc d关于一致收敛若 收敛，则 ()(,)aI yf x y dx()aF x dx设有函数设有函数 ,使得使得()F x(1).af xydx对于含参量积分I(y)=（，）有第7页

6、/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一8证明证明AAAAAAdxxFdxyxfdxyxf)(|),(|),(adxxF)(因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有|)(|,000AAdxxFAAAaA从而,dcyAAAAdxxFdxyxf)(),(所以 关于,dcy一致收敛。adxyxf),(第8页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一9 魏尔斯特拉斯判别法魏尔斯特拉斯判别法:设有函数设有函数 ,

7、使得使得()F y(,)(),.f x yF y axb cy()cF y dy若收敛，(,),.cf x y dya b则I(x)=关于x上一致收敛(2).cf xydy对于含参量积分I(x)=（，）有第9页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一10证明证明(,)|(,)|()AAAAAAf x y dyf x y dyF y dy因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有()cFy dy000,|()|AAAcA AAF y dy 从而,xa b(,)()AAAAf x y dyF y d

8、y所以 关于,xa b一致收敛。(,)cf x y dy第10页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一11 阿贝耳判别法:;,),()(上一致收敛上一致收敛在在若若badyyxfic(),(,),iixa bg x yyx 函数为 的单调函数,且对参量则含参量反常积分 cdyyxgyxf),(),(.,上上一一致致收收敛敛在在ba(,),g x ya b在上一致有界第11页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日

9、星期一12.,上一致收敛在ba则含参量反常积分(),(),(,)0,iixa bg xyyx g x y 函数关于 是单调递减 且当时对参量一致地收敛于cdyyxgyxf),(),(狄利克雷判别法狄利克雷判别法;,xa b对参数 在上一致有界(),(,)NciNcf x y dy若含参量反常积分第12页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一13三、含参量反常积分一致收敛的性质1.连续性定理(,),)f x ya bc设在上连续,()(,),()(,),.ccI xf x y dya bI xf x

10、y dya b+,在上一致收敛 则函数在上连续()(,),aI yf x y dxc d+a在上一致收敛 则函数I(y)=f(x,y)dx在c,d上连续.(,)(,)|,f x yx yaxcyd 设在上连续(1)(2)第13页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一14:注连续性定理说明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序000lim(,)(,)lim(,)cccx xx xf x y dyf x y dyf x y dy第14页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第

11、十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一15证明证明:因为 在 内一致收敛，所以adxyxf),(,dc000,|(,)|AAaAAyc df x y dx 因此，当 时，,dcyAdxyyxf),(又 在 上连续，所以作为 的函数在 连续，于是),(yxf,;,dcAaAadxyxf),(y,dc(就就(1)的情况的情况)第15页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一16,|,0,0时当yAaAadxyxfdxyyxf),(),(从而，当 时，有|y3),(

12、),(),(),(|)()(|AAAaAadxyxfdxyyxfdxyxfdxyyxfyIyyI定理证毕。第16页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一172.积分顺序交换定理adcdcadyyxfdxdxyxfdy),(),(设 在 上连续，关于在 上一致收敛，则 在可积，并且),(yxf,;,dcay,dcadxyxf),(adxyxfyI),()(,dc即积分顺序可以交换即积分顺序可以交换.证明证明(从略从略)(1).af xydx对于含参量积分I(y)=（，）有可积性定理可积性定理第17页/

13、共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一18(2).cf xydy对于含参量积分I(x)=（，）有 可积性定理可积性定理若上连续在区域设，cbayxf),),(cdyyxfxI),()(且上可积在则上一致收敛在，baxIba,)(,(,)(,).bbaccadxf x y dydyf x y dx第18页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一193.积分号下求导的定理aadxyxfydxyxfdyd),(),

14、(设 在 上连续，收敛，关于 在 上一致收敛，则),(),(yxfyxfy,;,dcay,dcadxyxf),(aydxyxf),(adxyxfyI),()(在 可导，且,dc即求导和积分顺序可以交换即求导和积分顺序可以交换.可微性定理可微性定理(1).af xydx对于含参量积分I(y)=（，）有第19页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一20可微性定理可微性定理若上连续在区域与设，cbayxfyxfx),),(),(,上收敛在bacdyyxfxI),()(且上可微在则致收敛，baxI,)(,c

15、xdyyxf),(上一在,ba.),()(cxdyyxfxI.),(),(dyyxfxdyyxfdxdcc(2).cf xydy对于含参量积分I(x)=（，）有第20页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一21证明证明:aydxyxfy),()(因为 在 连续，由连续性定理),(yxfy,;,dca在 连续，,dc 沿区间 积分 ，得到)(,dycyc)(y()(,)(,)(,)(,)()()yyyyyccaacaay dydyfx y dxdxfx y dyf x y dxf x c dxI yI

16、 cadxyxfdydy),()(在上式两端对 求导，得y定理证毕。(就就(1)的情况的情况)第21页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一22第22页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一23:1例:证明,111cos22xxxyRy有由于收敛而反常积分021xdx故有魏尔斯特拉斯判别法知20cos1xydxx证明反常积分证明反常积分20cos1xydxx在在 R上一致收敛上一致收敛.含参量反常积分含参

17、量反常积分在在R上一致收敛上一致收敛.第23页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一242:例:证收敛由于反常积分dxxx0sin),0,(上一致收敛它在对于参量当然dy，单调且对任何对每个函数,0),(dxeyxgxy0,0(,)1.xyyd xg x ye都有（有界）由知,含参阿贝耳判别法量反常积分0sinxyxedxx证明含参量反常积分证明含参量反常积分在在0,d上一致收敛上一致收敛.0sinxyxedxx在在0,d上一致收敛上一致收敛.第24页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十

18、八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一253:例:证明.),22axuxeeau有收敛而无穷积分02dxeax魏尔斯特拉故有斯判别法知20uxedx证明含参量反常积分证明含参量反常积分在在 上一致收敛上一致收敛 .),a)0(a含参量反常积分含参量反常积分 20uxedx在在 上一致收敛上一致收敛 .),a)0(a第25页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一26例例4 证明证明证明:（1）用分段处理的方法.|sin|2Ayxydxe|sin|2Ayt

19、dteyy02|sin|dteyyt|sin|2yy()第26页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一27因为 0sinlim0yyy|sin|2Ayxydxesin|(1)2yy22|sin|yxxeyey又第27页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一282|sin|2yxAeydxy，（）|sin|2Ayxydxe),0 y第28页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变

20、量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一29例例5 计算积分 0),0(,sinsinabpdxxaxbxeIpx解解 00sinsincosbpxpxabxaxIedxexydy dxxsinsincosbabxaxxydyx0cosbpxadxexydy220cosbbpxaapdyexydxdypyarctanarctanbapp第29页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一30例例 6 利用积分号下求导求积分 012)()(nnaxdxaI解解 因为 10212)(

21、1)(1nnaxax00 aa012)()(nnaxdxaI因为 aaxaaxdx2arctan1|002故 02axdxdad022)(axdx2/3)21(2a第30页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一310222axdxdad032)(2axdx2/5)23)(21(2a由数学归纳法易证02axdxdadnn012)(!)1(nnaxdxn2122!)!12()1(2nnnan于是 012)()(nnaxdxaI212!)!2(!)!12(2nann第31页/共36页知难而进知难而进,无坚

22、不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一32例例7 计算积分计算积分 0)(222dxexax解解 0)(222dxexax02)(2dxeaxax0)(22dxeexaxa令 txaxdtet202)()1(2dxxaexax第32页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一330)(2xadexax0)(2dxexax在第二项积分中令 yxa得 0)(2xadexax0)(2dyeyay故 0)(222dxexax0)(22dxeexax

23、aae2222-t0taee d第33页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一34小 结(2),含参量反常积分一致收敛的定义;(1),含参量反常积分的定义;(3),含参量反常积分一致收敛的判别;一致收敛的柯西准则:一致收敛的充要条件;魏尔斯特拉斯判别法;第34页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一35 P264:2(2)(3),4(1)(3),5 阿贝耳判别法;狄利克雷判别法;(4),含参量反常积分的性质;(i),连续性;(ii),可微性;作业作业(iii),可积性;第35页/共36页知难而进知难而进,无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2023年年1月月2日星期一日星期一36第36页/共36页