反函数题型分析课件.ppt

1、反函数反函数1 1、反函数存在的判定、反函数存在的判定:2 2、求反函数的步骤：、求反函数的步骤：3 3、反函数的定义域是原函数的值域；、反函数的定义域是原函数的值域；反函数的值域是原函数的定义域。反函数的值域是原函数的定义域。4 4、反函数的图象与原函数的图象关于直线、反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称。对称。决定原函数的映射是一一映射决定原函数的映射是一一映射(1)求原函数的值域；求原函数的值域；(2)反解出反解出x;(3)互换互换x，y；(4)写出反函数写出反函数 (包括定义域包括定义域)点点(b,a)点点(a,b)一一.与反函数概念有关的题：与反函数概念有关的题：例例1.已知

2、函数已知函数y=f(x)有反函数有反函数,则方程则方程f(x)=0 的根的情况是的根的情况是().A.有且仅有一实根有且仅有一实根 B.至少有一实根至少有一实根 C.至多有一实根至多有一实根 D.0个个,1个或个或1个以上实根个以上实根.解解:反函数确定的对应关系是一一对应反函数确定的对应关系是一一对应,f(x)=0的根至多有的根至多有1个个,C例例2.关于反函数有下列命题关于反函数有下列命题:(3)若函数若函数y=f(x)与其反函数与其反函数y=f 1(x)有公共点有公共点,则则P点一定在直线点一定在直线y=x上上;(1)二次函数一定有反函数二次函数一定有反函数;(2)反比例函数一定有反函数

3、反比例函数一定有反函数;(4)单调函数在其单调区间上一定有反函数单调函数在其单调区间上一定有反函数.以上命题中以上命题中,正确命题的序号是正确命题的序号是_.)1(:2xy 可举反例解.,)()2,1()1,2()0(37)(21上但不在直线又在反函数的图象上图象上既在函数与点显然xyxfyxxxf.37)()3(xxf如函数(2)(4)113.,.23yxmynxmn例 已知和互为反函数 求 和.2613122nmmn即.2221:myxmxy得由解122()2yxmyxm xR的反函数是2114.()1(1),(01)1(),()_2f xxxyfxf例 已知函数的反函数为则,)1(1:2

4、xy解法一221)1(yx211yx,10 x又,01x,112yx12()11fxxx (01).231)21(11)21(21f31243)1(,21)1(1:22xx则令解法二231)21(1f,10 x231231xx2114.()1(1),(01)1(),()_2f xxxyfxf例 已知函数的反函数为则31221:1,.2yxx 解在区间上具有单调性25.1(,),_yxxaa 例 若函数在区间上有反函数则 的取值范围是.21a1(,2二二.反函数的求法反函数的求法如果原函数有反函数，求反函数可分三步：如果原函数有反函数，求反函数可分三步：);(,)()1(1yfxxyxfy求出表

5、示用出发由);(,)2(1xfyyx得互换将)()3(即原函数的值域指出反函数的定义域例例1.函数函数 的反函数是的反函数是().21(10)yxx )01(1.2xxyA)01(1.2xxyB)10(1.2xxyC)10(1.2xxyDB直接法解法:1222221,1)01(1yxxyxxy得由,01x01y),01(12yyx.B应选).01(12xxy解法解法2:排除法排除法),01(12xxy.01y可得.,.01)01(12DCAxxxy由此可排除定义域和值域都是的反函数的据此可知函数212.(,)_.212xyxRxx例 函数且的反函数是)21,(122.xRxxxyA且)21,(

6、122.xRxxxyC且)2,(212.xRxxxyB且)2,(212.xRxxxyD且A2213.xyx例 求函数)01()10(xx的反函数。的反函数。2:01,1 1,01.xyxxy 解 当时的值域为解得)01(1)10(102xxyxxyx的反函数为函数yxxyx解出的值域为时当,1,0,012.,0 舍去非负值x)10()01(2xxyxxy的反函数是函数)10()01(xxxxy124.45(,1).yxxx 例 求的反函数1)2(54:22xxxy解1)2(2yx12yx12yx1x,2,12)(1xxxf12)(1xxf2|yy原函数值域为220,2(1)1,0 xyxxxx

7、 时5.|2.yx xx例 求函数的反函数22:0,2(1)1,0,xyxxxx解时222,(,0)()2,0,xx xf xxx x 16.(1)2,(0),()fxxxxfx例 若求)0(,1)(1xxxf)1(,1)(:2xxxf先求出解,1x0)(xf.)1()1(:1的反函数不是注意xfxf1()23,(1).f xxfx例7.已知求32)(:xxf解)3(21)(1xxf)4(21)1(1xxf18.()(),23(2).yf xfxyf x例 已知函数的反函数是求的反函数122()3xyf故所求函数的反函数为)()(:1xfxfy的反函数是解 32)2()2(32yxfxfy得由

8、)32(21yfx即三三.互为反函数的图象关于互为反函数的图象关于y=x 对称的应用对称的应用211.(),2,_.axyf xyxx ba b例 若函数的图象关于直线对称则应满足的关系.)(:的反函数是它自身由已知可知解xfy)()(1xfxf即bxaxy212aybyx221axbxxf221)(1.2221212abaxbxbxax得由2ba232.()()1,(2)xf xg xyxxg x例 设的图象与图象关于直线对称 则为（）xA51.251.xB351.xC551.xD,)()(:对称的图象关于直线的图象与解xyxgxf.)()(的反函数是函数xfyxg.51)2(23)(xxg

9、xxxg132)(xxxf又B1233.(),()1(1),(3).xf xyg xxyfxyxg例 设函数已知函数的图象与的图象关于直线对称 求的值.)1()(:1的反函数是由题设知解法一xfxg)1(),1(11yfxxfy则它的反函数为设1)1()(1yyffxf而.1)()(:,1)(xfxgxfy故即1:,()(1).g xfx小结 由对称关系 等价于与互为反函数271)3()3(fg).2(23)(,132)(:1xxxxfxxxf得由解法二).1(14)1(1xxxxf.27,314xxx得令.27)3(g.)(),3(,)3(:的图象上在函数则点设解法三xgyaag27)3(g

10、.)1()(1对称的图象关于直线与xyxfxg1(,3)(1).ayfx点在的图象上13(1),(3)1fafa 637(3)113 12af 4.,(),0,.yf xxy例 设有三个函数 第一个函数是它的反函数就是第二个函数 而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线对称 那么第三个函数是（）)(.xfyB)(.xfyA)(.1xfyC)(.1xfyD)(),(:),(:11xfyfyfxxfy得两边同取第三个函数为第二个函数为解法一B解法二:y=f(x)x=f(y)互换x,yy=xx=yy=f(x)即y=f(x)25.(),.xf xyxxaa例 函数的图象关于直线对称则 值是（）A.

11、1 B.1 C.2 D.2022,1,0aa 即的图象上在函数点解)()0,2(:xf.)()2,0(的图象上也在点xfB26.(2002)(1,)1_xyxx 例年全国 函数图象与其反函数图的交点坐标为)1,1(),0,0(交点坐标为:2(1,)(2)12xxyxyxxx 解法一的反函数为0332122xxxxxx可得由12120101xxyy或26.(2002)(1,)1_xyxx 例年全国 函数图象与其反函数图的交点坐标为:,2(1,)1.yxyxxyxxyx 解法二 由反函数的意义和性质可知 如果原函数为增函数 则其图象与反函数图象关于直线对称 两图象交点必在直线上因此题目所求可转化为图象与的交点.),1(12的交点图象与因此题目所求可转化为xyxxxy110012:yxyxxyxxy或解得由解即交点为(0,0),(1,1)27.()(),()(1),(1),()_.f xg xyxf xxxg x例 已知函数与的图象关于直线对称且则的表达式为()1(0)g xx x 即对称的图象关于直线与解xyxgxf)()(:.)()(互为反函数与xgxfyxyxxy1)0,1(,)1(2得由1()()1(0)f xfxx x 的反函数