博弈模型数模课件.ppt

1、数学建模之数学建模之 博弈模型博弈模型重庆邮电大学重庆邮电大学 杨春德杨春德 教授教授2019-1 宇宙间处处存在矛盾、冲突、争斗、合作、共生等现象，这些现象很很早就引起各类学者的重视。数学被认为是科学的语言，能否用数学语言描述各种带有矛盾因素的模型或现象？o博弈论便是这样一种处理各类带有矛盾因素的博弈论便是这样一种处理各类带有矛盾因素的模型的数学工具模型的数学工具。博弈论现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专家广泛应用博弈论现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专家广泛应用于讨论各类带有冲突、矛盾、合作、竞争、进化等问题及相关模型之中。博于讨论各类带有冲突、矛盾、合作、竞争

2、、进化等问题及相关模型之中。博弈论已成为人们分析复杂系统与作重大决策时的有力工具。弈论已成为人们分析复杂系统与作重大决策时的有力工具。2019-2一、博弈论基本概念一、博弈论基本概念世事纷争一棋局世事纷争一棋局o许多冲突模型在游戏中就存在，博弈论早期就是许多冲突模型在游戏中就存在，博弈论早期就是由研究国际象棋开始的，所以被命名为由研究国际象棋开始的，所以被命名为Game Theory。人们很快认识到此种理论可用于经济、。人们很快认识到此种理论可用于经济、政治、军事等领域。政治、军事等领域。o1944年冯年冯诺曼和奥诺曼和奥摩根斯特恩合著的摩根斯特恩合著的竞赛论与经济行为竞赛论与经济行为问世，总

3、问世，总结了初期研究成果，奠定了博弈论的基础。由于该理论主要讨论在复杂的结了初期研究成果，奠定了博弈论的基础。由于该理论主要讨论在复杂的矛盾冲突等活动中，局中人（矛盾冲突等活动中，局中人（Player）采取何种合理的策略（）采取何种合理的策略（strategy）而能处于而能处于“优越优越”的地位，以便取得较好效益，所以将它译为博弈论。的地位，以便取得较好效益，所以将它译为博弈论。博弈论（博弈论（Game theory）可以被定义为是对）可以被定义为是对智能的智能的理性理性决策者之间冲决策者之间冲突与合作的数学模型的研究。突与合作的数学模型的研究。2019-3 常见的游戏如棋类，两人对奕，此两人

4、便称为常见的游戏如棋类，两人对奕，此两人便称为局中人，他们各有一套棋路，或善于用马，或长局中人，他们各有一套棋路，或善于用马，或长于用炮。在每次轮到一方走子时，他可能有许多于用炮。在每次轮到一方走子时，他可能有许多走法，这些走法依赖于当时棋局形势以及棋手想走法，这些走法依赖于当时棋局形势以及棋手想要达到的目的，以及他惯用的走法，从而形成他要达到的目的，以及他惯用的走法，从而形成他走棋的指导思想。对奕时指导棋手行动的思想便走棋的指导思想。对奕时指导棋手行动的思想便称为策略。对局终了可能有三种结局：甲胜；乙称为策略。对局终了可能有三种结局：甲胜；乙胜；和局。如果用数量表示各种结局，例如胜家胜；和局

5、。如果用数量表示各种结局，例如胜家赢得彩金若干（设所得彩金由输家付给，则输家赢得彩金若干（设所得彩金由输家付给，则输家当然失去若干），和局时都不能取得彩金，此种当然失去若干），和局时都不能取得彩金，此种表示结局的数称为支付（表示结局的数称为支付（payoff）。局中人、策略）。局中人、策略、支付是博弈论中常见的基本概念、支付是博弈论中常见的基本概念,下面我们将逐下面我们将逐一介绍。一介绍。2019-4（1）参与者）参与者o参与者指的是一个博弈中的决策主体，通常又称为参与人或局参与者指的是一个博弈中的决策主体，通常又称为参与人或局中人。中人。博弈参与者集合一般表示为博弈参与者集合一般表示为 1,

6、2,n o参与者参加博弈的目的是通过合理选择自己的行动，以期取得最大化自己的参与者参加博弈的目的是通过合理选择自己的行动，以期取得最大化自己的收益（或效用）水平。参与者可以是自然人，也可以是企业、团体、国家，收益（或效用）水平。参与者可以是自然人，也可以是企业、团体、国家，甚至是国家组成的集团（如欧盟、甚至是国家组成的集团（如欧盟、OPEC等）。对参与者而言，在博弈过程等）。对参与者而言，在博弈过程中，他必须有不同的行动可作应对选择。在博弈的结局中，他能知道或计算中，他必须有不同的行动可作应对选择。在博弈的结局中，他能知道或计算出各参与者不同的行动组合产生的效益（或效用）。出各参与者不同的行动

7、组合产生的效益（或效用）。2019-5（2）战略）战略o战略战略是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动规则，它规是参与者如何对其他参与者的行动作出反应的行动规则，它规定参与者在什么时候该选择什么行动。或者说。战略是参与者定参与者在什么时候该选择什么行动。或者说。战略是参与者“相相机行动方案机行动方案”。2019-6（3）收益函数）收益函数o在博弈论中，收益指的是在一个特定的战略组合下参与者得到的确定在博弈论中，收益指的是在一个特定的战略组合下参与者得到的确定效用或期望效用。效用通常表现为博弈结果中输赢、得失、盈亏。效效用或期望效用。效用通常表现为博弈结果中输赢、得失、盈亏。效用必须能用数

8、值刻画其大小。收益是博弈参与者真正关心的问题用必须能用数值刻画其大小。收益是博弈参与者真正关心的问题。注释：注释：博弈论的一个基本特征是一个参与者的收益不仅取决于自己的战略选博弈论的一个基本特征是一个参与者的收益不仅取决于自己的战略选择，而且取决于所有参与者的战略选择。或者说，收益是所有参与者各择，而且取决于所有参与者的战略选择。或者说，收益是所有参与者各选定一个战略形成的战略组合的函数。选定一个战略形成的战略组合的函数。o在博弈论中，通常用在博弈论中，通常用ui表示参与者表示参与者i的收益，一个战略组合是，每个参与的收益，一个战略组合是，每个参与者者的收益可以表示为的收益可以表示为 12(,

9、),1,2,iinuu s ss in 2019-7 参与者、战略、收益函数是标准博弈的三要素。由前面我们对这三要素的分析，可以得到一个标准博弈的定义：o 标准博弈的定义：标准博弈的定义：2019-8（4）博弈的解）博弈的解纳什均衡纳什均衡o注释：研究博弈问题就是建立博弈模型，求解博弈的纳什均衡，下面我们用实例来说明我们的理论及应用2019-9信息o 信息指的是参与者在博弈过程中能了解到和观察到的知识。这些知识包括“自然”的选择，其他参与者的特征和行动等。信息对参与者是至关重要的，因为一个参与者在每一次进行决策之前，必须根据观察到的其他参与者的行动和了解的有关情况作出自己的最佳选择。o 由于信

10、息内涵的不同，派生出各种有关信息的概念将博弈论划分成不同的类型，因此寻求博弈间的方法也不同。这里只就信息有关的两个基本的、重要的概念进行讨论。o 首先，关于“共同知识”的概念。一个博弈问题所涉及的“自然”的不同选择、参与者的行动以及相应产生的效用（效果、收益）都是一种知识（信息）。博弈论所谓的共同知识指的是“所有参与者知道，所有参与者知道所有参与者知道，所有参与者知道所有参与者知道所有参与者知道”的知识。2019-10 为了说明共同知识的重要性，我引用一个众所周为了说明共同知识的重要性，我引用一个众所周知的寓言。故事发生在一个村庄，村里有知的寓言。故事发生在一个村庄，村里有100对已婚对已婚夫

11、妇，他们都是地道的逻辑学家，但也有一些多少有夫妇，他们都是地道的逻辑学家，但也有一些多少有点奇特的社会风俗。每天晚上，村里的男人们都将点点奇特的社会风俗。每天晚上，村里的男人们都将点起篝火，绕圈围坐举行一个会议，且每个人都谈论自起篝火，绕圈围坐举行一个会议，且每个人都谈论自己的妻子。在会议开始时，如果一个男人有理由认为己的妻子。在会议开始时，如果一个男人有理由认为他的妻子对他总是守贞的，那么他就对在坐的男人们他的妻子对他总是守贞的，那么他就对在坐的男人们赞扬她的美德。另一方面，如果在当前会议之前的任赞扬她的美德。另一方面，如果在当前会议之前的任何时间，只要他发现了他妻子不贞的证据，那他就会何时

12、间，只要他发现了他妻子不贞的证据，那他就会悲鸣恸哭，并祈求神灵严厉地惩罚她。再则，如果一悲鸣恸哭，并祈求神灵严厉地惩罚她。再则，如果一个妻子曾有不贞，那她和她的情人将会立即通知村里个妻子曾有不贞，那她和她的情人将会立即通知村里除她丈夫外所有的男人。所有这些传统都是村民们的除她丈夫外所有的男人。所有这些传统都是村民们的共同知识。共同知识。2019-11 事实上，每个妻子都已对自己的丈夫不忠。于事实上，每个妻子都已对自己的丈夫不忠。于是，每个丈夫都知道除自己的妻子外都是不贞的是，每个丈夫都知道除自己的妻子外都是不贞的女人，而对自己的妻子每晚都要赞扬。女人，而对自己的妻子每晚都要赞扬。这种状况持续了

13、很多年，直到一个传教徒走访这种状况持续了很多年，直到一个传教徒走访到这个村庄。他坐在髯火旁参加了一次会议并听到到这个村庄。他坐在髯火旁参加了一次会议并听到每个男人都赞扬自己的妻子之后，他站到丈夫们围每个男人都赞扬自己的妻子之后，他站到丈夫们围坐的圆中心，大声地说：坐的圆中心，大声地说：“这个村里有一个妻子已这个村里有一个妻子已经不贞了。经不贞了。”在此后的在此后的99个晚上丈夫们继续开会并个晚上丈夫们继续开会并赞扬他们的妻子，但在第赞扬他们的妻子，但在第100个晚上，他们全都悲个晚上，他们全都悲鸣偷哭并祈求严厉地惩罚他们的妻子。鸣偷哭并祈求严厉地惩罚他们的妻子。2019-12o 现在，让我们试

14、问一下，这个传教徒告诉了这些丈夫们他们所不知现在，让我们试问一下，这个传教徒告诉了这些丈夫们他们所不知道的什么？每个丈夫都已经知道了道的什么？每个丈夫都已经知道了99个不贞的妻子，故这对任何人个不贞的妻子，故这对任何人来说都不是新闻。但来说都不是新闻。但“这个传教徒对所有男人做了一个声明这个传教徒对所有男人做了一个声明”是共是共同知识，从而这个传教徒所声明的内容，即有一个不贞的妻子，也同知识，从而这个传教徒所声明的内容，即有一个不贞的妻子，也就成了所有男人中间的共同知识。在传教徒宣告之前，每个形如就成了所有男人中间的共同知识。在传教徒宣告之前，每个形如“（每个丈夫知道）有一个不贞的妻子（每个丈

15、夫知道）有一个不贞的妻子”的判断对于的判断对于99都是正确的，都是正确的，但对但对100就不正确了。就不正确了。2019-13 其次，关于其次，关于“完全信息完全信息”的概念。完全的概念。完全信息是博弈论非常重要的基本概念，有了上信息是博弈论非常重要的基本概念，有了上述的共同知识概念，这里就可以给出完全信述的共同知识概念，这里就可以给出完全信息的严格定义。完全信息指的是所有参与者息的严格定义。完全信息指的是所有参与者各自选择的行动的不同组合所决定的各参与各自选择的行动的不同组合所决定的各参与者的收益对所有参与者来说是共同知识。简者的收益对所有参与者来说是共同知识。简单通俗地说，完全信息是指每一

16、个参与者对单通俗地说，完全信息是指每一个参与者对自己以及其他参与者的行动，以及各参与者自己以及其他参与者的行动，以及各参与者选择的行动组合产生的收益等知识有完全的选择的行动组合产生的收益等知识有完全的了解。了解。2019-14二、囚徒困境博弈模型分二、囚徒困境博弈模型分析析 两个共同作案的犯罪嫌疑人被捕，并受到指控。两个共同作案的犯罪嫌疑人被捕，并受到指控。除非至少一个人招认犯罪，否则警方无充分证据将他除非至少一个人招认犯罪，否则警方无充分证据将他们按罪判刑。警方把他们关入不同的牢室，并对他们们按罪判刑。警方把他们关入不同的牢室，并对他们说明不同行动带来的后果。如果两人都采取沉默的抗说明不同行

17、动带来的后果。如果两人都采取沉默的抗拒态度，因警方证据不足，两人将均被判为轻度犯罪拒态度，因警方证据不足，两人将均被判为轻度犯罪入狱入狱1个月；如果双方都坦白，根据案情两人将被判个月；如果双方都坦白，根据案情两人将被判入狱入狱6个月；如果一个招供而另一个拒不坦白，招认个月；如果一个招供而另一个拒不坦白，招认者因有主动认罪立功表现将立即释放，而另一人将被者因有主动认罪立功表现将立即释放，而另一人将被判入狱判入狱9个月（所犯罪行判个月（所犯罪行判6个月，干扰司法加判个月，干扰司法加判3个个月）。月）。1、问题的提出、问题的提出这两个犯罪这两个犯罪嫌疑人是坦嫌疑人是坦白还是拒不白还是拒不坦白呢？坦白

18、呢？2019-153、问题分、问题分析析o囚徒困境问题可以用图囚徒困境问题可以用图11所示的双变量矩阵的形式来描述。所示的双变量矩阵的形式来描述。注释：注释：在此博弈中，每个囚徒有两种战略可供选择：坦白（或招认）、不坦白（或沉在此博弈中，每个囚徒有两种战略可供选择：坦白（或招认）、不坦白（或沉默）。图默）。图1-1的矩阵中每一个单元的两个数字表示一组特定的战略组合下两个囚的矩阵中每一个单元的两个数字表示一组特定的战略组合下两个囚犯的收益（或支付、效用，这里已经开始引用经济学的术语了），其中第犯的收益（或支付、效用，这里已经开始引用经济学的术语了），其中第1个数个数字是囚徒字是囚徒1（习惯上是位

19、于矩阵横行上的参与者）的收益，第（习惯上是位于矩阵横行上的参与者）的收益，第2个数字是囚徒个数字是囚徒2（位于竖行上的参与者）的收益。如果囚徒（位于竖行上的参与者）的收益。如果囚徒1选择沉默，而囚徒选择沉默，而囚徒2选择坦白，那选择坦白，那么囚徒么囚徒1的收益是的收益是9（表示判刑（表示判刑9个月），囚徒个月），囚徒2的收益为的收益为0（表示马上释放）（表示马上释放）。2、假设：、假设：两囚徒都是理性的和两囚徒都是理性的和智能的。智能的。2019-164、模型建模型建立立o 参与者集合：参与者集合：=囚徒囚徒1，囚徒，囚徒2o 战略空间：战略空间：S1=S2=坦白，沉默坦白，沉默u1(坦白坦白

20、,坦白坦白)=u2(坦白坦白,坦白坦白)-6，u1(沉默沉默,坦白坦白)u2(沉默沉默,坦白坦白)=-9u1(坦白坦白,沉默沉默)u2(坦白坦白,沉默沉默)=0，u1(沉默沉默,沉默沉默)u2(沉默沉默,沉默沉默)=-1o 收益函数收益函数2019-175、模型求、模型求解解2019-186、结果分析、结果分析战略组合（沉默，沉默），即如果两个人都不坦白，战略组合（沉默，沉默），即如果两个人都不坦白，各人只判刑一个月，不是比战略组合（坦白，坦白）各人只判刑一个月，不是比战略组合（坦白，坦白）带来的各判刑带来的各判刑6个月要好吗？个月要好吗？注释：这正是囚徒困境的注释：这正是囚徒困境的“困境困境

21、”两个字的体现，两个字的体现，如果用经济学中的如果用经济学中的“有效有效”的术语的意思来讲，（沉默，沉默）是一个有效结局。有效结局并不是囚的术语的意思来讲，（沉默，沉默）是一个有效结局。有效结局并不是囚徒问题的博弈解。这体现了个人利益和全体利益的矛盾。徒问题的博弈解。这体现了个人利益和全体利益的矛盾。2019-197、模型的推广与应用、模型的推广与应用o 与囚徒困境类似的博弈问题在经济、社会等领域有许许多多的版本。与囚徒困境类似的博弈问题在经济、社会等领域有许许多多的版本。应用应用1：A,B两个公司以高低两种价格向市场竞相销售同一种产品。两个公司以高低两种价格向市场竞相销售同一种产品。注释：注

22、释：双方协定以高价格垄断市场，可以使彼此获得满意的利润收益，至少要好于双方都以低双方协定以高价格垄断市场，可以使彼此获得满意的利润收益，至少要好于双方都以低价格出售产品的情形。但如果某一方坚持高价，而另一方为了独占市场却将产品以低价价格出售产品的情形。但如果某一方坚持高价，而另一方为了独占市场却将产品以低价格推销，因为协定不被遵守时是不会受处罚，那么后者将获高盈利而前者将损失惨重。格推销，因为协定不被遵守时是不会受处罚，那么后者将获高盈利而前者将损失惨重。市场上商品的价格战，常常出现的结局一般是以低价格销售商品，消费者从中得到好处市场上商品的价格战，常常出现的结局一般是以低价格销售商品，消费者

23、从中得到好处，如现在的通信三大运营商：移动、电信和联通，这种结果正是博弈论预测的合理结局，如现在的通信三大运营商：移动、电信和联通，这种结果正是博弈论预测的合理结局，你们不妨自己设计一个类似于图，你们不妨自己设计一个类似于图1-1的的A,B公司的收益矩阵。公司的收益矩阵。应用应用2：军备竞赛问题军备竞赛问题注释：美苏冷战期间，两个超级大国构成博弈的两方，可供美苏冷战期间，两个超级大国构成博弈的两方，可供选择的战略是：扩军（增加军费运算）、裁军（减少军费运选择的战略是：扩军（增加军费运算）、裁军（减少军费运算）。如果双方都热衷于扩军，两国都要为此付出高额军费算）。如果双方都热衷于扩军，两国都要为

24、此付出高额军费（从社会福利角度来看这是一笔庞大的付收益）（从社会福利角度来看这是一笔庞大的付收益）;如果双方如果双方都选择裁军，则可省下这笔钱；如果一方面裁军而另一方面都选择裁军，则可省下这笔钱；如果一方面裁军而另一方面进行扩军，扩军的一方到时候就会以武力相威胁甚至发动战进行扩军，扩军的一方到时候就会以武力相威胁甚至发动战争，这是，战争胜败双方的收益与支付将出现难以估量的差争，这是，战争胜败双方的收益与支付将出现难以估量的差异。博弈论给出军备竞赛问题的是战略组合异。博弈论给出军备竞赛问题的是战略组合(扩军，扩军扩军，扩军)，博弈理论预测双方都扩军可以达到对抗中的相对稳定，这是博弈理论预测双方都

25、扩军可以达到对抗中的相对稳定，这是一个符合现实的合理结局。一个符合现实的合理结局。2019-20三、海滩占位博弈模型分三、海滩占位博弈模型分析析 甲乙两个冷饮摊贩，他们在一个直线状的海滩上，以同样的价格、相同的甲乙两个冷饮摊贩，他们在一个直线状的海滩上，以同样的价格、相同的质量向均匀分布在海滩上的众多游客（他们来此享受海水和阳光，进行日光质量向均匀分布在海滩上的众多游客（他们来此享受海水和阳光，进行日光浴或游泳活动）销售冷饮。既然是做生意，目的总是希望尽可能多赚点钱，浴或游泳活动）销售冷饮。既然是做生意，目的总是希望尽可能多赚点钱，甲乙两人又是在同一地点做同样的生意，竞争就是不可避免的事情了。

26、甲乙两人又是在同一地点做同样的生意，竞争就是不可避免的事情了。1、问题的提出、问题的提出这两个冷饮摊贩应这两个冷饮摊贩应该如何安置自己的该如何安置自己的摊位，才能相安无摊位，才能相安无事地做各自的生意事地做各自的生意呢？呢？2019-213、建模、建模（1）参与者集合：）参与者集合：=甲，乙甲，乙（2）战略空间：）战略空间：S1=0,1/2,S2=1/2,1（3）收益函数）收益函数:21),(,2),(21yxyxuyxyxu 2、问题分析与问题分析与假设假设：（1）两摊贩都是理性的和智能的；两摊贩都是理性的和智能的；（2）游客总是到距离自己最近的摊位购买冷饮；）游客总是到距离自己最近的摊位购

27、买冷饮；（3）为了叙述方便，不妨将海滩长度标准化为）为了叙述方便，不妨将海滩长度标准化为1。2019-22 1122,u x yu x yu x yu x y 对所有对所有xS10,1/2和和yS21/2,1都成立。都成立。2019-234、模型求、模型求解解 12101/221/21max,max 2max,max(1)2x Sxy Syx yu x yxyu x y 2019-245、结果分析与推广和、结果分析与推广和应用应用结果分析：结果分析：按通常的想法，如图按通常的想法，如图1-3，甲在，甲在1/4处设摊，乙在处设摊，乙在3/4处设摊，这处设摊，这样既方便了顾客，又照顾到甲乙二人各占

28、约一半顾客的生意，可谓公平合理。样既方便了顾客，又照顾到甲乙二人各占约一半顾客的生意，可谓公平合理。问题不是简单的解决了吗？问题不是简单的解决了吗？注释：注释：事情并不像想象的那么简单。甲乙二人做同样的生意，两人之间就存在竞争，这就事情并不像想象的那么简单。甲乙二人做同样的生意，两人之间就存在竞争，这就构成了一个博弈问题。站在甲的角度考虑，只要手段合法，多揽一点顾客就可以多赚一点构成了一个博弈问题。站在甲的角度考虑，只要手段合法，多揽一点顾客就可以多赚一点钱。基于这样的理性想法，甲就会将自己的摊位向右挪动到钱。基于这样的理性想法，甲就会将自己的摊位向右挪动到A点（见图点（见图13）。这时，）。

29、这时，从从0到到M（这里（这里M是是A至至3/4处的中点）范围内的顾客都会去买甲的冷饮，甲就从乙的手处的中点）范围内的顾客都会去买甲的冷饮，甲就从乙的手里挖走一部分顾客，即图里挖走一部分顾客，即图13中阴影所示的中阴影所示的1/2到到N的那一部分。乙也是一个理性的生的那一部分。乙也是一个理性的生意人，他会估计到甲可能作出的动作，因此，他也会将自己的摊位向左边移动。照此下去，意人，他会估计到甲可能作出的动作，因此，他也会将自己的摊位向左边移动。照此下去，最后的结果是甲乙二人都挤在一起，紧接着，在海滩的中点（最后的结果是甲乙二人都挤在一起，紧接着，在海滩的中点（1/2处）做冷饮生意。处）做冷饮生意

30、。推广应用推广应用：同一城市的不同航空公司经营的飞往同一目的地的航班，常常：同一城市的不同航空公司经营的飞往同一目的地的航班，常常出现起飞时刻几乎相同的现象。就是在文化娱乐方面，也能运用海滩占位出现起飞时刻几乎相同的现象。就是在文化娱乐方面，也能运用海滩占位的博弈结论予以解释。如果把电视中高雅艺术节目与较低档的节目比作海的博弈结论予以解释。如果把电视中高雅艺术节目与较低档的节目比作海滩的两端，那么众多的电视观众就可以看作是散布在海滩上的游客。电视滩的两端，那么众多的电视观众就可以看作是散布在海滩上的游客。电视台常常将黄金时段的电视节目定位在中等档次，以提高收视率。台常常将黄金时段的电视节目定位

31、在中等档次，以提高收视率。2019-25四、智猪争食博弈四、智猪争食博弈1、问题的提出、问题的提出o猪圈里喂养两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的猪圈里喂养两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有一个猪食槽，对面的一边装有控制开关。只一边有一个猪食槽，对面的一边装有控制开关。只要猪用鼻头去拱控制开关，就会一次有要猪用鼻头去拱控制开关，就会一次有6个单位的个单位的饲料流进猪食槽。如果大猪和小猪都不去拱开关，饲料流进猪食槽。如果大猪和小猪都不去拱开关，那么它们都吃不到饲料。如果小猪去拱开关，那么那么它们都吃不到饲料。如果小猪去拱开关，那么等它跑到另一边的猪食槽时，大猪已将流出的饲料等它跑到另一边的猪

32、食槽时，大猪已将流出的饲料全部都吃光了。如果大猪去拱开关，那么等它跑到全部都吃光了。如果大猪去拱开关，那么等它跑到猪食槽旁边，小猪差不多已吃掉了猪食槽旁边，小猪差不多已吃掉了5个单位的饲料个单位的饲料，结果大猪只能吃到，结果大猪只能吃到1个单位的饲料。如果大猪、个单位的饲料。如果大猪、小猪一起去拱开关，再一起跑去吃食，那么大猪可小猪一起去拱开关，再一起跑去吃食，那么大猪可抢到抢到4个单位的饲料，小猪也只能吃掉个单位的饲料，小猪也只能吃掉2个单位的饲个单位的饲料。假定每拱一次开关需要消耗料。假定每拱一次开关需要消耗0.5个单位饲料的个单位饲料的能量。能量。大小猪分别大小猪分别是去拱还是是去拱还是

33、不去拱开关？不去拱开关？2019-262、分析与假设、建模、模型求解、分析与假设、建模、模型求解 大猪和小猪长期在一起进食，上面所说的情况（信息、知识）已为它们所大猪和小猪长期在一起进食，上面所说的情况（信息、知识）已为它们所掌握。所以可假设掌握。所以可假设大小猪都是理性的和智能的。大小猪都是理性的和智能的。o仿照例一囚徒困境的情形，就可以画出如图仿照例一囚徒困境的情形，就可以画出如图14所示的双变量矩阵。所示的双变量矩阵。o仿照例一囚徒困境的情形，可以建立出该问题的博弈模型并求出其解。仿照例一囚徒困境的情形，可以建立出该问题的博弈模型并求出其解。智猪争食问题的博弈论解是战略组合（拱，不拱）智

34、猪争食问题的博弈论解是战略组合（拱，不拱）注释：注释：在这个博弈中，大猪与小猪都有两种战略选择：拱、不拱。在这个例子在这个博弈中，大猪与小猪都有两种战略选择：拱、不拱。在这个例子中可以发现，不论大猪选择拱还是不供，小猪的最优选择总是不拱。这是因为中可以发现，不论大猪选择拱还是不供，小猪的最优选择总是不拱。这是因为，如果大猪去拱开关，小猪不拱（等在猪食槽旁边）比拱后再跑回去争食要划，如果大猪去拱开关，小猪不拱（等在猪食槽旁边）比拱后再跑回去争食要划算（算（51.5）；如果大猪不去拱开关，小猪不拱顶多都不得食，而去拱就要）；如果大猪不去拱开关，小猪不拱顶多都不得食，而去拱就要白白消耗能量，不划算（

35、白白消耗能量，不划算（0-0.5）。所以，不拱是小猪的占优）。所以，不拱是小猪的占优战略。给定小猪战略。给定小猪总是选择不拱，大猪的最优选择总是拱。这样，智猪争食问题的博弈论解是战略组合总是选择不拱，大猪的最优选择总是拱。这样，智猪争食问题的博弈论解是战略组合（拱，不拱）。（拱，不拱）。2019-273、结果分析与推广和、结果分析与推广和应用应用o比如股份公司中就有大股东和小股东之分。股东都有监督经理的职能，比如股份公司中就有大股东和小股东之分。股东都有监督经理的职能，他们从监督中得到的收益并不一样。在监督成本相同的情况下，大股东他们从监督中得到的收益并不一样。在监督成本相同的情况下，大股东从

36、监督中得到的好处显然多于小股东。通常在股份公司里，总是由大股从监督中得到的好处显然多于小股东。通常在股份公司里，总是由大股东担当监督任务，而小股东则搭大股东的便车。东担当监督任务，而小股东则搭大股东的便车。o股票市场上也有类似现象。一般大户总是重视搜集信息，积极进行行情股票市场上也有类似现象。一般大户总是重视搜集信息，积极进行行情分析。对小户而言，跟大户是常见现象。分析。对小户而言，跟大户是常见现象。o进行产品研究、开发以及新产品广告宣传时，对大企业而言，其资金实进行产品研究、开发以及新产品广告宣传时，对大企业而言，其资金实力及可望的收益会使大企业有投资的积极性，而小企业往往会得不偿失力及可望

37、的收益会使大企业有投资的积极性，而小企业往往会得不偿失。小企业通常采取与大企业建立协作生产或移植部分技术的做法。小企业通常采取与大企业建立协作生产或移植部分技术的做法。智猪争食模型在社会智猪争食模型在社会经济领域也可以找到经济领域也可以找到许多实例。许多实例。知识的灵活应用知识的灵活应用2019-28五、库诺特双寡头垄断竞五、库诺特双寡头垄断竞争模型争模型这两个企业如这两个企业如何决策产量才何决策产量才会得到最大利会得到最大利润呢？润呢？1、问题的提出、问题的提出2019-292、问题的分析与模型建、问题的分析与模型建立立o为了求出库诺特博弈中的解及纳什均衡，首先要将其转化为标准博弈。为了求出

38、库诺特博弈中的解及纳什均衡，首先要将其转化为标准博弈。（1）参与者集合）参与者集合：=企业企业1，企业，企业2（2）战略空间：）战略空间：S1 S2=0,+）（3）收益函数）收益函数:注释：注释：接下来就需要把企业接下来就需要把企业1、企业、企业2的收益表示为它自己和另一企业所选战略的函数。的收益表示为它自己和另一企业所选战略的函数。假定企业的收益就是其利润额，这样在一般的两个参与者标准式博弈中，企业假定企业的收益就是其利润额，这样在一般的两个参与者标准式博弈中，企业1和企业和企业2的的收益函数就可表示为收益函数就可表示为 11211122122212,u q qq P Qcq aqqcu q

39、 qq P Qcq aqqc 2019-30 112112212212,u q qu q qu q qu q q o 纳什均衡定义不等式（纳什均衡定义不等式（NE）的条件）的条件:11122211211202122120max,maxmax,maxq Sqq Squ q qq aqqcu q qq aqqc 均衡（均衡（q1*,q2*)对应的最优化问题：对应的最优化问题：2019-31解法一：微分法解法一：微分法3、模型求解、模型求解 注释：注释：利用微积分求极值的办法，对每个企业的收益函数求一阶导数并令其等于零，利用微积分求极值的办法，对每个企业的收益函数求一阶导数并令其等于零，即可求出纳什

40、均衡。即可求出纳什均衡。112121222020uaq qcqua qqcq .(1)注释：注释：那么，要使产量成为纳什均衡，由式（那么，要使产量成为纳什均衡，由式（1）可知，两个企业的产量选择必须满）可知，两个企业的产量选择必须满足方程组足方程组 12211212qa qcqa qc .(2)o由此得：由此得：2019-32解方程组（解方程组（2），得），得均衡解均衡解为为 1213qqa c21122121,9u q qu q qa c 这时，将上式代入各自的这时，将上式代入各自的收益函数收益函数。每个。每个企业的纳什均衡利润为企业的纳什均衡利润为 2019-33解法二：几何法解法二：几何

41、法注释：注释：库诺特模型还可以用几何图形的方法找出均衡解。库诺特模型还可以用几何图形的方法找出均衡解。11222221111,21,2qR qa qcqa cqR qa qcqa c .（3）o这两个函数称为该博弈最优反应函数。这两个函数称为该博弈最优反应函数。2019-34图图1-52019-35解法法三：运用逐步剔除严格劣解法法三：运用逐步剔除严格劣战略的方法战略的方法o首先证明对两个企业来说，产量首先证明对两个企业来说，产量q0(ac)/2严格优于其他任何更高的产量。严格优于其他任何更高的产量。对企业对企业1 来说，如果它选择产量来说，如果它选择产量q1q0(ac)/2，而企业，而企业2

42、 选择产量选择产量q2，当当Qq0q2a时，企业时，企业1 的收益（利润）为的收益（利润）为 10222,2222a ca ca c a cu q qaqcq 如果企业如果企业1选择产量选择产量q1=q0+x(x0)，企业，企业2选择产量选择产量q2，当，当Q=q0+q2a时，时，企业企业1的利润为的利润为 10221022,22a ca cu qxqx ax qcu q qx x q 2019-36比较上面两式结果，就能得出比较上面两式结果，就能得出),(),(201201qxquqqu 对于企业对于企业2 来说，类似可导出来说，类似可导出),(),(012012xqquqqu 2019-3

43、7第二步：已知上步的战略空间为第二步：已知上步的战略空间为22caq 2/)()(221qcaqR )211(3)2(21)(21221 cacacaqcaq得企业一第二次删除后剩下的战略空间得企业一第二次删除后剩下的战略空间 )211(3),211(3122cacao第三步：第三步：)211(3,0 ca)211(322 caq)211(3)2(21)(211421 cacacaqcaq得企业一第三次删除后剩下的战略空间得企业一第三次删除后剩下的战略空间 2/)()(221qcaqR )211(3),211(3142caca2019-38第四步：已知上步的战略空间为第四步：已知上步的战略空间

44、为 )211(3),211(3142caca)211(3142 caq)211(3)211(3(21)(2141421 cacacaqcaq2/)()(221qcaqR .第第2k步：删除后剩下的战略空间为步：删除后剩下的战略空间为 得企业一第四次删除后剩下的战略空间为得企业一第四次删除后剩下的战略空间为 )211(3),211(3144caca 3,3)211(3),211(3122cacacacakkk第第2k+1步：删除后剩下的战略空间为步：删除后剩下的战略空间为 3,3)211(3),211(3122cacacacakkk2019-394、结果分析、结果分析o下面将双寡头垄断竞争与寡头

45、垄断情况作一比较。设寡头垄断企业的最下面将双寡头垄断竞争与寡头垄断情况作一比较。设寡头垄断企业的最优产量为优产量为q*，这时最优化问题是，这时最优化问题是 0m axqq a q c 注释：注释：但这样安排存在一个问题，就是每家企业都有动机偏离它。因为寡头垄断产量但这样安排存在一个问题，就是每家企业都有动机偏离它。因为寡头垄断产量q较低较低，相应的市场价格，相应的市场价格p(q)就比较高，在这一价格下每家企业都会倾向于提高自己的产就比较高，在这一价格下每家企业都会倾向于提高自己的产量，而不顾这种产量的增加会降低市场价格。这又出现了在囚徒困境问题中的个人理量，而不顾这种产量的增加会降低市场价格。

46、这又出现了在囚徒困境问题中的个人理性与团体理性冲突的现象。性与团体理性冲突的现象。2019-40六、两个博弈论研究著名六、两个博弈论研究著名学者简介学者简介1、计算机之父、博弈论创始人、计算机之父、博弈论创始人冯冯诺伊曼诺伊曼 约翰约翰冯冯诺伊曼诺伊曼(John Von Neumann，19031957)，美籍匈牙利人。美籍匈牙利人。19211923年在苏黎世大学学习。年在苏黎世大学学习。很快又在很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯学博士学位，此时冯诺伊曼年仅诺伊曼年仅22岁。冯岁。冯诺伊曼是诺伊曼是20世纪最优秀的数学家之一，

47、因世纪最优秀的数学家之一，因1946年发明电子计年发明电子计算机而被西方人誉为算机而被西方人誉为“计算机之父计算机之父”。1957年年2月月8日在医院逝世，享年日在医院逝世，享年53岁。岁。2019-41o 主要科学研究贡主要科学研究贡献献注释：冯诺伊曼从小就显示出数学天才，关于他的童年有不少传说。大多数的传说都讲到冯诺伊曼自童年起在吸收知识和解题方面就具有惊人的速度。六岁时他能心算做八位数乘除法，八岁时掌握微积分，十二岁就读懂领会了波莱尔的大作函数论要义。冯诺依曼的第一篇论文是和菲克特合写的，是关于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理推广，注明的日期是1922年，那时冯诺依曼还不满18岁。（1）、

48、三项最重要的数学工作：）、三项最重要的数学工作：在19301940年间，冯诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中，创作更趋于成熟，声誉也更高涨。后来在一张为国家科学院填的问答表中，冯诺依曼选择了量子理论的数学基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。（2）、一般应用数学：）、一般应用数学：1940年，是冯诺依曼科学生涯的一个转换点。在此之前，他是一位通晓物理学的登峰造极的纯粹数学家；此后则成了一位牢固掌握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他开始关注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具偏微分方程。研究同时他还不断创新，把非古典数学应用到两个新领域：对策论和电子计算机。2019-42

49、(3)、博弈论、博弈论 冯诺依曼不仅曾将自己的才能用于武器等研究，而且还用于社会研究。1928年，冯诺依曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。由他创建的对策论，无疑是他在应用数学方面取得的最为令人羡慕的杰出成就。注释：注释：1944年，冯年，冯诺依曼和诺依曼和摩根摩根斯特思合著的斯特思合著的博弈论和经济行为博弈论和经济行为是这方面的奠是这方面的奠基性著作。将二人博弈推广到基性著作。将二人博弈推广到n人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体系。论文包含了博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对奠定了这一学科的

50、基础和理论体系。论文包含了博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际应用的详细说明。这篇论文以及所作的与某些经济理论的基本问题的讨论，引于实际应用的详细说明。这篇论文以及所作的与某些经济理论的基本问题的讨论，引起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同研究，时至今日，这已是应用广泛、羽起了对经济行为和某些社会学问题的各种不同研究，时至今日，这已是应用广泛、羽毛日益丰盛的一门学科。有些科学家热情颂扬它可能是毛日益丰盛的一门学科。有些科学家热情颂扬它可能是“20世纪前半期最伟大的科学世纪前半期最伟大的科学贡献之一贡献之一”。2019-43(4)、计算机、计算机o对冯诺依曼声望有所贡献的最后一个课题是电子