十章行波法和分离变量法本征值问题课件.ppt

1、驻波驻波：u=u1+u2=A cos(t-kx)+A cos(t+kx)=2A 波腹波腹波节波节2.557.51012.515-1-0.50.51u1u2 驻波的数学表示驻波的数学表示：u(x,t)=X(x)T(t)。这是一个变量可分离函数这是一个变量可分离函数。驻波的数学描述驻波的数学描述：为简便起见研究为简便起见研究两列反向两列反向行进的同频率的波的叠加行进的同频率的波的叠加 u1=A cos(t-kx)，u2=A cos(t+kx)弦在弦在平衡位置的振动可用函数平衡位置的振动可用函数 T（t)描述；描述；振幅随位置的变化可用函数振幅随位置的变化可用函数 X（x)表示表示弦横振动方程：弦横

2、振动方程：20,ttxxux ta ux t边界条件：边界条件：0()tux 0()ttux 00(,)xu x t0(,)x lu x t初始条件：初始条件：由于两端固定，解应是驻波解，由于两端固定，解应是驻波解，求解求解两端固定两端固定的弦长为的弦长为l的的均匀细弦均匀细弦的横振动。的横振动。写出定解问题：写出定解问题：2.557.51012.515-1-0.50.51(,)()(u x tXT tx(0,0)xl t2TXXa T2()()()()TtXxX xa T t 代入波动方程代入波动方程移项整理得变量分离等式：移项整理得变量分离等式：20ttxxua u(,)()()u x t

3、X x T t把把20XTa XT得得：得出得出：200Ta TXX 0|0 xX|0 x lX()()0X l T t 5(,)()()u x tX x T t把把代入边界条件代入边界条件00(,)xu x t0(,)x lu x t本征问题本征问题:XXxX xX l 00,0,0(0)()0XT t 0 12()xxX xC eC e 00()X120CC0()X l 120llC eC e 120CC0 12()X xC xC20C 120C lC120CC000|0|0 xx lxx lXXXXXXXX 0 00()X0()X l 边界条件：边界条件：边界条件：边界条件：0 12()

4、cossinX xxCCx10C 22200000sin,sinsin,lCCllC C2非零解非零解222nnl 1 2 3,n 2()sinnnxXxCl Xn(x)称称00()X0()X l ii12()xxX xC eC e边界条件：边界条件：200,sinCl 12()xxX xC eC e n只能取分列特定值只能取分列特定值(正整数正整数)-)-称称 222nnnlT tTt n=1,2,31,2,3 解方程解方程 02 TaT nnn aTtTl 2()()0()cossinnn an aT tAtBtll 与与n对应的对应的本征解本征解un(x,t)：令令C2A=An C2B=

5、BnA、B 是积分常数是积分常数本征振动的线性叠加本征振动的线性叠加.上式正好是随位置变化的傅里叶正弦级数上式正好是随位置变化的傅里叶正弦级数.1(,)(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll1 2 3,n(,)()()(cossin)sinnnnnnn atn atn xux tXx T tABlll1 2 3,n 解解一般解一般解 对应于本征解对应于本征解Xn(x)的的含时函数解：含时函数解：1(,)(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll0txu()初始条件：初始条件：1nnxn xAl sin()02()sinlnnAdll

6、0ttxu ()1nnn an xBxll s n(i)02()sinlnnBdn al (,)nux t是驻波，是两端固定弦的是驻波，是两端固定弦的相邻节点之间距离等于半波长相邻节点之间距离等于半波长 2ln波长波长=节点数节点数 n+1 n+1,位置位置 即即:x=kl/n(k=0,1,2,n)n xkl （4 4）、用初始条件确定一般解的系数（傅立叶展开）、用初始条件确定一般解的系数（傅立叶展开 ）（1 1）、将齐次偏微分方程求解问题转化为若干常微分方程）、将齐次偏微分方程求解问题转化为若干常微分方程定解问题。定解问题。（2 2）、常微分方程与齐次边界）、常微分方程与齐次边界(或周期性或

7、周期性)条件构成本征值条件构成本征值问题得出本征值与本征函数问题得出本征值与本征函数（3 3）、将本征函数）、将本征函数(满足边界条件满足边界条件)叠加成无穷级数，给叠加成无穷级数，给出一般解出一般解10本征频率本征频率lnavlannn22,n=1=1时时,1la 基频基频基波基波（决定了音调）（决定了音调）n 1 1 时时lann 谐谐频频谐波（决定了音色）谐波（决定了音色）例例10.1：长为长为l的均匀细的均匀细杆，侧面绝热。杆的杆，侧面绝热。杆的x=0端温度保持为端温度保持为零度，另一端（零度，另一端（x=l）按牛顿冷却定律与外界进行热交换，设）按牛顿冷却定律与外界进行热交换，设外界温

8、度恒为零度。已知外界温度恒为零度。已知杆的初始温度分布为杆的初始温度分布为f(x)。试求杆上。试求杆上温度的变化（设热交换系数为温度的变化（设热交换系数为h=b/k,其中其中b为传热系数和为传热系数和k为导为导热系数热系数）。）。22,(/)txxux ta ux tak c 00(,)xu x t；第一类边界条件第一类边界条件第三类边界条件第三类边界条件0(,)(,)/xx lux tbu x tk泛定方程和泛定方程和边界条件皆边界条件皆是齐次的是齐次的,可以应用分离变量法可以应用分离变量法 00()tufxxl解：解：记杆上温度为记杆上温度为u(x,t),写出热传导方程写出热传导方程(如图

9、如图)初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：0lx000u(,)u x t00/u x l1 1 分离变量分离变量:分离变量分离变量:(,)()()u x tX x T t20XTa XT20Ta T 0XX 12()cossinX xCxCx20000 0,txxxxxltua uuuhuufx12定解问题转化为定解问题转化为:即关于时间与位置的二个方程即关于时间与位置的二个方程:0()00()()XT t 0()()()()Xl T thX l T t2 2 X(x)方程和边界条件构成本征问题方程和边界条件构成本征问题,得解得解:00()X0()由边界条件：由边界条件：10C lh ta

10、n00()X0()()XlhX l得出：得出：220()sinX xCxC 上式应用到第二个边界条件：上式应用到第二个边界条件：引入量纲为引入量纲为1 1的量的量:1,lhltan 2221 2 3,nnnl 13前式改写为前式改写为:此方程是一个超越方程，只能用数值图解法求解（如图）此方程是一个超越方程，只能用数值图解法求解（如图）得本征值：得本征值：相应本征函数：相应本征函数：2nnXxCx()sintanlh 21 2()sin(,)nnXxCxn 1 2 3,n 220nnnTa T;22()exp;nnnT tBa t 221nnnnu x tBxa t(,)sinexp1420Ta

11、 T ：改写为改写为此方程的解此方程的解本征解本征解222(,)()()sinexpnnBC Bnnnnnnux tXx T tBxa t000()()sin();nntnu xf xBxxl 2002002022dddd2dsin/sinsin/sincossin/llnnnllnnlnnBfllflflh 由初始条件由初始条件()()t ou xf x利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有 22021d2lnnnnnxa tfu x tllh sinexpsin(,)cos220(,)sinexpnnnnu x tBxa t例例10

12、.2*：边长为边长为l1，l2的矩形薄板，两的矩形薄板，两板板面不透热，它的一边面不透热，它的一边y=l2 2为绝热，其为绝热，其余三边保持温度为零（见图）余三边保持温度为零（见图）.设板的设板的的初始温度分布为的初始温度分布为f(x,y)。试求板内的。试求板内的温度变化。温度变化。21200txxyyux y taux y tux y txlyl,(,)10(,)x lu x t；第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件泛定方程和泛定方程和边界条件皆边界条件皆是齐次的是齐次的,可以应用分离变量法可以应用分离变量法0(,),tu x y tfx y解：解：记板内任一点记板内任一

13、点(x,y)的温度为的温度为u(x,y,t),满足定解问题满足定解问题(如图如图)初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：0l1l2绝热绝热00(,)yu x t20yy lu00(,)xu x t1 1 分离变量和本征问题分离变量和本征问题:分离变量分离变量:(,)()()()u x y tX x Y y T t 20XYTtaXYXYT t12200000 00 0,txxyyxxlyyyltuauuuuuuufx y17定解问题转化为定解问题转化为:等式两边除等式两边除:且且则则 相应边界条件：相应边界条件：2()()()a X x Y y T t得出：得出：2()()TtYY yXXa

14、 T tx 0()XXXX x 令令0()YYY yY 0()TtTTtT 12000000(),(),(),()XX lYY l 初始条件：初始条件：0()()(),X x Y y Tfx y0XX 180()2 2 X(x)和和Y(y)的常微分的常微分方程和边界条件构成本征问题方程和边界条件构成本征问题:对于对于X(x)由前面讨论：由前面讨论：00()X10()X l0YY 00()Y20()Y l3 3 本征值和本征函数本征值和本征函数:2221nnl 1 2 3,n 21()sinnnnxXxCl 0 12()cossinmmY yyCyC120()sinmmY yCyC 222222

15、00000cos,coscos,mmmlCCllC Cm2非零解非零解2222210 1 2 32(,)mmml 22212()()sinmmmyYyCl 00()Y20()Y lii12()xxmmY yC eCe边界条件：边界条件：2200,cosmCl 对于对于Y(y)类似前面讨论：类似前面讨论：1 2 30 1 2 3,nm2220;nmnmnmTaT 222222212212()()exp;mnmnnmTtBatll2222222011212212122,()()(,)sinsinexpnmmnn xmynmu x tCatllll2020TaT ：改写为：改写为此方程的解此方程的解

16、本征解本征解2222222221212212122(,)()()()()()sinsinexpnmnmnmnmnmnmCCCBnmux tXx Yy Ttn xmynmCatllll0112212,()(,)sinsinnmmnn xmyf x yCll12001 212421d d2(),sinsinllnmn xmyCfx yx yl lll 由初始条件由初始条件t ou x y tf x y(,)(,)利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有 10.620000ttxxxx ltttua uutuv tuxux,(),(),(),(

17、),000 xx lwu x tx tw x tw(,)(,)(,)目目标标x tA t xB t(,)()()0000()()xxxwutB tB tt设：设：1 1、一般处理方法、一般处理方法齐次方程齐次方程非零初值非零初值A(t)与与 B(t)是是待定参数，由边界条件确定：待定参数，由边界条件确定：解：解：设计一个设计一个新函数新函数,构成齐次边界条件的定解问题。构成齐次边界条件的定解问题。0()()()()()()x lx lx lwuv tA t lB tv ttA tl tx,令函数令函数 使使u(x,t)构成下列关系构成下列关系 (,)()v ttx txtl 即有：即有：即：即

18、：2000,0,0(),(),0(),(),0ttxxxx ltttua uxl tut uv ttux uxxl现在定解问题转换为：现在定解问题转换为：220000000ttxxxxttxx lttttttwa wawwwxwx,(),(),200000ttxxxx ltttxtvtwa wtlwwwxv ttx ltwxv ttx lt ,()/(),()/(),000 xxx lwu x tx tw x tw(,)(,)(,)目目标标(,)()()x tA t xB t 000000 xxxwuuB tB tu 仍设：仍设：则：则：解：定解问题解：定解问题000/()()/xx lxx

19、lx lwuqkA tA tqk 2000000txxxxx ltua uuu uqkuu,/,.例例10.310.3 长为长为l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题。它的侧面绝热的均匀细杆的导热问题。它的x=0端端保持恒温保持恒温u0,另一端（另一端（x=l）有热流量为）有热流量为q0的常热流进入。设杆的常热流进入。设杆的初始温度分布也是的初始温度分布也是u0,求杆上的温度分布。求杆上的温度分布。所以所以00(,)qx txuk 将定解问题分解为将定解问题分解为(x,t)和和w(x,t)两个定解问题之和：两个定解问题之和：现在定解问题转换为：现在定解问题转换为：020000000000txxxxl

20、ttxtwa wwwuuq xwq xkuk,(/),/1 1 分离变量分离变量:分离变量分离变量:w x tX x T t(,)()()20XTa XT20Ta T 0XX 定解问题转化为定解问题转化为:即关于时间与位置的二个方程即关于时间与位置的二个方程:0()00()()XT t 0Xl T t()()00 xX0 x lX0XX 12()cossinX xCxCx270()2 2 X(x)方程和边界条件构成本征问题方程和边界条件构成本征问题,得解得解:00 xX0()由边界条件：由边界条件：10C 00 xX0 x lX220()sinX xCxC 上式应用到第二个边界条件：上式应用到

21、第二个边界条件：解简化为：解简化为：0 x lX22200000lCCllCcos,coscos,C2非零解非零解22222 310 12nnnl ,()2212nnxXxCl()()sin 200Cl,cos 0 1 2 3n ,220nnnTaT;2222212nnnT tBatl()()exp;22220212122nnnxnw x tCatll()()(,)sinexp2820TaT ：改写为：改写为此方程的解此方程的解本征解本征解22222212122nnnnnCC Bnwx tXx T tnxnCatll(,)()()()()sinexp2121202201218221,esinn

22、natlnnxq lw x tkln 得：得：212120002201218221,esinnnatlnnxqq lu x txukkln 本定解问题的解本定解问题的解00212nnq x knxCl()sin/0022008221121d2221llnq lnnCllklnqk ()()sinsin 由初始条件由初始条件0t oqtkxxw(,/)利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有0221002222022810 2 42118812128121211 3 521nq lnknq lq lnkq lknnnkn,()sin,222

23、20212122nnnxnw x tCatll()()(,)sinexpu x tx tw x t(,)(,)(,),0 xxyyux yux y0,0yu x y0(,)0,xu x y0(,)x au x yu例例10.410.430 求半带形区域（求半带形区域（00 xa,y0)内的静电势内的静电势，已知边界，已知边界x=和和y=0=0上的电势都是零上的电势都是零,而且边界而且边界x=a上的电势保势为上的电势保势为u0 0（常数）。（常数）。解：由于本题是解：由于本题是无源无源静电场问题静电场问题，所以定解问题可写为：，所以定解问题可写为：为了齐次化为了齐次化x=0=0和和x=a处的边界

24、条件，设处的边界条件，设000 xx aw x yu x yx yw x yw x y,(,)(,)(,),目目标标x yA y xB y(,)()()00000 xxxwuB yB yo 仍设：仍设：则：则：000 x ax ax awuuA y aA yua()()/所以所以0ux yxa(,)现在定解问题转换为：现在定解问题转换为：000000 xxyyxx aywwu x awww,/,利用分离变量法和上式第一行与第二行方程得出利用分离变量法和上式第一行与第二行方程得出:1n yn yaannnn xw x yA eB ea(,)sin yw是有限值这里这里An n和和Bn n是待定常

25、数。但是待定常数。但不能确定不能确定An和和Bn。注意到注意到u|y y时应有限，所以相应地有时应有限，所以相应地有：0201 2 311 2 3nnnuAnBnn,0001221n ynanuuun xu x yxeana,sin 结合：结合：u|y y有限有限和和00ywu x a/得出得出定解问题解为：定解问题解为：u x yx yw x y(,)(,)(,)20ttxxua u00tu00ttu0(,)0 xu x t(,)sinx lu x tAt(,)()sinx tA xt 由于弦在由于弦在x=l端端受迫作受迫作Asint的的振动振动,它一定存在它一定存在(x,t),满足齐次方程

26、、非齐次边界条件。满足齐次方程、非齐次边界条件。例例10.510.5322 2、特殊处理方法、特殊处理方法 弦的弦的x=0=0端固定，端固定，x=l端受迫作振动端受迫作振动Asint,弦的初位弦的初位移和初速度皆为零，求弦的振动。移和初速度皆为零，求弦的振动。解：建立本题定解问题：解：建立本题定解问题：又由于弦在又由于弦在x=l端点的振动为端点的振动为Asint,则弦上任一点的则弦上任一点的振动振动可以写作可以写作 设定特解：设定特解：22()0ttxxttxxwa wva v22(0)0,0().AAAA lAa()cos(/)sin(/)A xCx aDx a (0)0A0C()A lAs

27、in(/)ADl a sinsinsin(/(),)Atatlxxa 把把代入波动方程，得代入波动方程，得33,令:v xttu xw x t20ttxxa0(,)0 xx t(,)sinx lx tAt2000000sin(/)0sin(/)ttxxxx ltttwa wwwx awwAl a (,)()sinx tA xt1(,)(cossin)sin.nnnn atn atn xw x tABlll0nA 由位置初始条件得出由位置初始条件得出：02sin(/)sinsin(/)lnAanBdn al al 02sin(/)sinsin(/)lAnadn al alsin(/)sin(/)

28、sin(/)/()/()/Al anl ann al aanlanl342000000sin(/)sin0(/)ttxxxx ltttwa wwwx awAl aw 1(,)sinsin.nnn atn xw x tBll简化为简化为：由速度的初始条件得出由速度的初始条件得出：1222122(,)sin(/)sinsin(,)(,)2(1)sinsin/)nnx tAx atu x tw x tAn atn xnalllall a 10.13（1 1）确定相应齐次问题的本征函数）确定相应齐次问题的本征函数2(,)ttxxua uf x t2(,)txxua uf x t00|0 xx lXXX

29、X 本题的齐次本题的齐次本征值问题是本征值问题是nXxnxl()sin/满足满足的的是是20()ttxxua u以第一类齐次边界条件下的波动定解问题为例以第一类齐次边界条件下的波动定解问题为例2,ttxxua ufx t00(,)xu x t0(,)x lu x t0()tux 0().ttux 定解问题：定解问题：21 2nnln /,满足满足的的是是0(,)()sinnnn xu x tT tl 20()()()sin,nnnn an xTtT tfx tll即转为求即转为求Tn(t)的的定解问题定解问题（2 2）将）将u(x,t)按本征函数（傅里叶级数）展开：按本征函数（傅里叶级数）展开

30、：（3 3）将级数代入泛定方程求展开系数）将级数代入泛定方程求展开系数Tn n(t)，导出，导出Tn(t)的的：把把f(x,t)展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数:1()sin(,)nnn xf x tlft 2()()()nnnn aTtT tftl 比较系数得方程比较系数得方程把把f(x,t)代入前式代入前式:201nnnnnn an xn xTtTfttlll()()()snin()si（4 4）T(t)的初值问题的初值问题10nnn xu xxls(in,)10ntnn xuxxlsi)n,(得出得出020d()()sinlnnnTll 020d()()sinlnnnTll 把把 和和(

31、x)展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数 x0(,)()sinnnn xu x tT tl 把把 代入初值条件代入初值条件0100nnnnn xn xTllu xx()sinsin,()0100nnnntn xn xTlluxx()si(si,nn)200nnnnnnnn aTtT tftlTT()()()()()(5)(5)初值问题初值问题上述齐次常微分程的通解为上述齐次常微分程的通解为000nnnnnttn an atn an atTT tBllll()()sincos 0nnnnTA()nnnn atn atT tABll()cossin 由初值条件由初值条件,我们得出常数我们得出常数An

32、n和和Bn n：nnnnn alBBln a 齐次方程的通解：齐次方程的通解：nnnn atln atT tln al()cossin (6)(6)本征解本征解由非齐次常微分程通解公式由非齐次常微分程通解公式 01d()cossinsintnnnnn a tn atln atT tfln aln al 21121212121212nny fy fyA yB yydxydxy yy yy yy y由由8.4节非齐次常微分程通解公式，得节非齐次常微分程通解公式，得1n aty tl()cos 2n aty tl()sin 现在解现在解y1 1和和y2 2分别为：分别为：0(,)()sinnnn x

33、u x tT tl 常数常数An n和和Bn n分别为：分别为：nnA nnlBn a （7 7）一般解）一般解2xxyyuu 00 xu例例10.610.6：0 x au00yu0y bu(,)()x yx ax 20(0)xxyywww000 xx aww0()()yy bwx xawx xa41(,)(,)(,)()(,)u x yx yw x yx axw x y 解解：方法：通过齐次化泛定方程建立本征方程方法：通过齐次化泛定方程建立本征方程设定设定1：uw 2222(,)20 w x yu设定设定2：222222xy 由这些设定得：由这些设定得：为此设：为此设：定解问题转化为定解问题

34、转化为w的定解问题的定解问题：2,sinnnnn xXAaa 420000 xx aXXXX变量分离变量分离：设：设由边界条件得本征函数由边界条件得本征函数：本征本征问题：问题：()()0/wX x Y yYXXYXXYY 解解：sincosXAxBx2nYYa 对应于对应于Y的常微分方程的常微分方程：解解：expexpnnnYCyDyaa变量分离形式解变量分离形式解：,expexpsinnnnnnnnn xwx yX YAyByaaa1(,)expexpsinnnnn yn yn xw x yABaaa10111sin()()expexpsinsisin()()nynnny bnnnnnnn

35、n xn xCan xCawABx xaax xan bn bn xwABx xaaaax xa 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数43一般一般解：解：用用y变量变量对应的边值条件确定展开系数对应的边值条件确定展开系数：先确定先确定Cn233024()sin(1)1annn xax xadxaaCn 1()sinnnn xxaaCx 注意上式在注意上式在n=2k时为零，即时为零，即C2k=0。为此只有奇数项。为此只有奇数项223318(21)kakC 212112121112112121sin221sin21si12121expexpsinnkkkkkkkkkkkxABakbkxCakxCkba

36、kxABaaa 边值条件确定展开系数关系改为边值条件确定展开系数关系改为：令令n=2k-12121,kkAB的联立代数方程的联立代数方程212121kkkABC21221121exp21expkkkkbACkBaba 21212121211 exp2121expexp2121expexp22212121expexp2ch222kkkkkbaACkbkbaakbkbaaCCkbkbkbaaa 1212122121expex21exppkkkkbkbACabakBa 第第1式两边乘式两边乘21expkba（1）（2）（3）（2）减）减(3)并整理得并整理得23321exp28(21)212ch2k

37、baakkba 212121kkkBCA23323321exp281(21)2121expexp2221exp28(21)212ch2kbaakkbkbaakbaakkba 21210212121(,)expexpsinkkkkykykxw x yABaaa一般一般解：解：2213321exp28(21)212ch2kkbaaBkkba 2213321exp28(21)212ch2kkbaaAkkba 230321ch/2218(,)sin21(21)ch2kkybakxaw x yakbka 本题本题解：解：230321ch/2218(,)sin21(21)ch2kkybakxau x yx

38、 axakbka 47 10.14（1）二端固定弦的横振动的本征问题：二端固定弦的横振动的本征问题：00(0)0,()0yyxlyy l 222,sin1,2,3,nnnn xynll 49本征值和本征函数：本征值和本征函数：分离变量法解定解问题的核心是获取并求解分离变量法解定解问题的核心是获取并求解本征值问题。本征值问题。在前面讨论中我们已遇到下列本征问题：在前面讨论中我们已遇到下列本征问题：（2）无热源均匀细杆一端与外界有热交换的热传导的本征问题：无热源均匀细杆一端与外界有热交换的热传导的本征问题：00(0)0,()0yyxlyy lhy l 22,sin1,2,3,nnnnxynll 本

39、征值和本征函数：本征值和本征函数：上式：上式：1 xx和=1（3）勒让德方程：勒让德方程：2220(1)(1)xyyyxx 50也是也是勒让德方程的勒让德方程的正则奇点正则奇点.有限级数解要求有限级数解要求是系数函数的一级极点是系数函数的一级极点(正则奇点正则奇点)11yy有限，有限（4）20yxyy厄米方程：厄米方程：,y xy xy和有限x 是厄米方程的是厄米方程的正则奇点正则奇点.物理问题要求物理问题要求(1),()0.1,2,3,llll lyP xn 本征值和本征函数：本征值和本征函数：1 本征值问题的一般提法本征值问题的一般提法 1111dddd11()()()(1)()()()0

40、pxpxpxxxxxpxeyxep x yxq x eyx ey：()()0yxp x yq x y51 常见的常见的本征值问题都可以归结为本征值问题都可以归结为 111()()0yxyq xp xyx y改写为改写为上式两边乘因子上式两边乘因子 1()dpxxk xe整理后得方程：整理后得方程：111()ddd1()1()d()()0dpxpxpxxxxeyq x eyx eyx 记记52()d()d(1)d1d()()0da xxaa xxxxyq x eyx eyxe d()()0()()dyq x yk xx yaxbx 得得()d()d()d11()()(),()(),aaxxxa

41、xxxk xq xq x exx ee 在在只有当只有当时时方方程才有程才有这种这种值称为问题的值称为问题的，而相应的，而相应的非零解称非零解称为问题的为问题的，所求解的问题就叫，所求解的问题就叫。使使 通常有三类情况通常有三类情况 00k ak a k ak b（1）分离变量后与空间位置相关的方程：分离变量后与空间位置相关的方程：0yxy x()1()1,()0(0,)1k xq xxk a 而整合边界条件：而整合边界条件：d()()0()()dyq x yk xx yaxbx 以两端固定弦横向振动和无热源细杆热传导问题为例。以两端固定弦横向振动和无热源细杆热传导问题为例。()0k a 此方

42、程本质上是此方程本质上是中系数函数取下中系数函数取下列值列值：(0)0,()0yy l(0)0,()0yy lhy l对于两端固定弦横向振动对于两端固定弦横向振动细杆一端与外界有热交换的传导细杆一端与外界有热交换的传导推论：推论：时，时，()0k a ()0 x ayxy x上式：上式：1 xx和=1（2）2()1,()0,()1 k xxq xx 2222(1)200(1)(1)xxyxyyyyyxx 54由勒让德方程得勒让德多项式要求由勒让德方程得勒让德多项式要求是系数函数是系数函数p(x)的一阶零点（或一级极点）。的一阶零点（或一级极点）。11yy有限，有限 以由勒让德方程求勒让德多项式

43、问题为例。以由勒让德方程求勒让德多项式问题为例。()0k a d()()0()()dyq x yk xx yaxbx 此方程本质上是此方程本质上是中系数函数取如中系数函数取如下形式下形式：而而1 xx和=1处：处：201()101xk xxx 推论：推论：时，时，()0k a()y a 即有限（3）()()k ak b 下列本征问题属于这一类：下列本征问题属于这一类：002(0)2,(0)(2)yyxyyyynmxyxmxcos()sin120y xxCCx()cossin2nm 0 1 2 3m ,本征函数：本征函数：本征值：本征值：时，时，(),()()y ay by ay b2 本征值问

44、题的一般性质本征值问题的一般性质（1）如）如 连续或最多以连续或最多以x=a 和和x=b为一阶极点，为一阶极点，则存在无限多个本征值：则存在无限多个本征值：(),(),()k x k x q x123 及无限多本征函数及无限多本征函数123(),(),(),yxyxyx（2）所有本征值所有本征值0n 证：证：dd()()()ddnnnnyk xq x yx yxx 22ddd()d()d()ddbbbnnnnnaaayxyk xxq xyxxyxx22dd()()()ddnnnnnyyk xq x yx yxx 222dd()d()ddd()d()bbnnnbbnannaaaxq xyyk x

45、 yxk xxyxxyx56(),(),()0k x q xx 研究表明研究表明:时时,此类本征问题有下列共性此类本征问题有下列共性:分步积分分步积分上式两边乘任意本征函数上式两边乘任意本征函数 y*n对等式两边分别积分对等式两边分别积分222dd()()()d()d()dbbbnnnnnx annx bnaaayxxyk x y yk x y yxk xxq xyx 对于第一类、第二类对于第一类、第二类边界条件及边界条件及周期性周期性自然边界条件自然边界条件对于第三类对于第三类边界条件：边界条件：()0 nnx ayhy 22()0nx annx annnx anx ak x y ykkh

46、ykh yyhyy()0 nnx byhy 22()0nnnx bnnnxxbnx bbk x y ykh ykyyhk yhy所以所以2()0bnnadxxy即即0k 57222dd()d()ddd()d()bbnnnbbnannaaaxq xyyk x yxk xxyxxyx上式改写为上式改写为0nx ay0nx by0nx ay0nx by()()0nnx annk x y yk x y y22d()d()0bbnnaaxk xyxq xy又由于又由于/()()()0hnnx annx annx ayyyyyhy /()()()0hnnx bnnnnx byyyyyhy （3）对应于不同

47、的本征值的本征函数带权对应于不同的本征值的本征函数带权 正交：正交：()x 本征值与本征函数一一对应：本征值与本征函数一一对应：()()nnmmyxyx ()()()d0bnmax yx yxxnm 58证：证：对应于对应于n n的方程的方程 d0dmmmmk x yqyyx d0dnnnnk x yqyyx d0dmnnmnnmyk x yqy yy yx d0dnmnmmnmyk x yqy yy yx 乘乘ym改写为改写为乘乘y*n改写为改写为 dd()0ddnmmnmnnmyk x yykyy yxx两式相减两式相减 对应于对应于m m的方程的方程 dd()0ddnmmnmnnmyk

48、x yyk x yy yxx dd0 d()dddbbnmmnmnmnaayk x yyk x yxy yxxx d0 d()ddbbnmmnmnmnaak x y yk x y yxy yxx()(0()d)x bbnmmnnmmnmnmnax aky yky yky yky yy yx第一、第二类齐次或自然边界条件：第一、第二类齐次或自然边界条件：()()0nmmnx bnmmnx aky yky yky yky y上式两边积分上式两边积分,得得由复合函数求导运算规则由复合函数求导运算规则,上式改写为上式改写为积分积分第三类齐次边界条件：第三类齐次边界条件：()0 mmx byhy()0

49、nnx byhy1()()()0nmmnx bnmnnmx bmkykyky yky yyhyyhyh同样：同样：()0nmmnx aky yky y()d0bmnmnay yxd0bmnay yx mn （4）本征函数族本征函数族y1(x),y2(x),y3(x),是是完备的完备的。0()()nnnf xc yx 对于一个对于一个具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件的足本征函数族所满足的边界条件的函数函数f(x)。则可以用。则可以用本征本征函数族函数族yn(x)展开为绝对且一致收敛的广义傅里叶级数展开为绝对且一致收敛的广

50、义傅里叶级数则有：则有：d0bmnay yx mn 和由本征函数带权正交关系：和由本征函数带权正交关系：级数级数 称为函数的广义傅里叶级数，系称为函数的广义傅里叶级数，系数数cn称为广义傅里叶系数。函数族称为广义傅里叶系数。函数族yn(n=1,2,3)称作函数基称作函数基。1nnnfxc yx x d0bmnayx yx 易得广义傅里叶系数：易得广义傅里叶系数：广义傅里叶级数两边乘广义傅里叶级数两边乘 myxx 1dd bnmanbmnafcyyy 则有：则有：2ddbbnnnaafycy 21d,bnnancfyy 2d.bnnayy 令：令：例例10.710.7 证明证明（x-x0 0）（