力学第5章刚体的转动课件.ppt

1、第五章第五章 刚体的转动刚体的转动站在钢丝上的陀螺站在钢丝上的陀螺15.1 刚体的运动刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 转动定律应用举例转动定律应用举例5.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系5.6 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理5.7 进动进动5.8 刚体平面运动简介刚体平面运动简介第五章第五章 刚体的转动刚体的转动25.1 刚体的运动刚体的运动一一.刚体的概念刚体的概念理想化模型：理想化模型：有自己独特的运动学和动力学规律。有自己独特的运动学和动力学规律。特殊质点系：特殊质点系：质点相对位置不变，质

2、点相对位置不变，质点系的质点系的规律都适用；规律都适用；二二.刚体运动形式刚体运动形式1.平动平动 基本的运动形式之一基本的运动形式之一无限刚性，受力不变形，可瞬无限刚性，受力不变形，可瞬时传力；时传力；常用质心运动代表整体平动。常用质心运动代表整体平动。体内任两点连线在任意时刻保持平行。体内任两点连线在任意时刻保持平行。3定点转动：定点转动：3.平面运动：平面运动：刚体各点运动都平行于某固定刚体各点运动都平行于某固定平面，各点轨道面平行或重合。平面，各点轨道面平行或重合。4.一般运动：一般运动：不受任何限制的自由运动，不受任何限制的自由运动，是下面两种运动的组合：是下面两种运动的组合：随随基

3、点基点 O（可任选）的可任选）的平动平动 绕通过基点绕通过基点 O 的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动定点转动刚体只有刚体只有一点固定不动，一点固定不动，整体整体绕通过该点的绕通过该点的瞬时轴瞬时轴转动。转动。2.转动转动 基本的运动形式之二基本的运动形式之二定轴转动：定轴转动：定点转动的瞬时轴成固定轴。定点转动的瞬时轴成固定轴。4 转动与基点选取无关。转动与基点选取无关。基点不同，基点不同，平动可不平动可不同，转动却相同。同，转动却相同。例如：例如：三三.定点转动及其运动学量定点转动及其运动学量反映反映瞬时轴瞬时轴方向及刚体转动的快慢。方向及刚体转动的快慢。或或1.角速度角速度 具有唯一性：与基点

4、选择无关。具有唯一性：与基点选择无关。O O OO5tdd tdd 2.角加速度角加速度 ：反映反映 的变化情况的变化情况 的方向沿瞬时轴。的方向沿瞬时轴。方向不一定与方向不一定与 一致，不一定沿瞬时轴。一致，不一定沿瞬时轴。基点基点OP瞬时轴瞬时轴刚体刚体 dv 63.角量和线量的关系角量和线量的关系rr vtrrttadddddd vv r旋转加速度旋转加速度 向轴加速度向轴加速度 四四.定轴转动定轴转动对定轴转动，对定轴转动，和和 都沿定轴，但两者方都沿定轴，但两者方向不一定相同，都退化为向不一定相同，都退化为代数量代数量。r r 基点基点OP瞬时轴瞬时轴刚体刚体v 7 rv 2 ran

5、 dddd rtrtatvt 0 匀加速转动匀加速转动（恒定恒定）)(20202 20 21)(tt PvO定轴定轴刚体刚体r r参考方向参考方向 z ,85.2 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。观点：把刚体看作无限多质元构成的质点系。)(dd点点对对外外OtLM)(2iiirm)(dd轴轴对对外外ztLMzziiiiiizzrmLLv 2iiizrmJ定义定义对对 z 轴的转动惯量轴的转动惯量iFimivO定轴定轴刚体刚体irirz ,9 zzJL zzzzJtJtLMdddd外外 刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律iiiizrFM)sin(外外对定

6、轴，略去下标对定轴，略去下标 z：JM 与牛顿第二定律相比：与牛顿第二定律相比：M F，J m，aiFimivO定轴定轴刚体刚体irirz ,i 105.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 2iirmJ质质点点系系 mmrJd2连续体连续体 J 由质量对轴的分布决定。由质量对轴的分布决定。质量分布对转动惯量的影响质量分布对转动惯量的影响一一.常用的几种转动惯量表示式常用的几种转动惯量表示式【演示演示】dmr m转轴转轴细圆环：细圆环：2mRJORmO11二二.计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律1.对同一轴对同一轴 J 具有可叠加性具有可叠加性 iJJ 21 2mRJC均匀圆盘：均匀圆盘

7、：RmC 121 2mlJC 31 2mlJA均匀细杆：均匀细杆：CAm2l2l123.对薄平板的正交轴定理对薄平板的正交轴定理 ri mix z yi y xiO 2iizrmJ 22iiiiymxm yxzJJJ 2.平行轴定理平行轴定理minJJC 2mdJJC（证明见书证明见书）JCdmJC平行平行13【例例】求求对薄圆盘的一条直径的转动惯量。对薄圆盘的一条直径的转动惯量。已知已知圆盘圆盘221mRJz yx z 圆盘圆盘 R C m 解：解：221mRJJJzyx 241mRJJyx 下图中的下图中的 Jz 如何求如何求？Caazm【思考思考】zlDm145.4 转动定律应用举例转动

8、定律应用举例已知：已知：R,m,h,v0=0,下落时间下落时间 t，绳轮之间无相对滑动，绳轮之间无相对滑动，绳不可伸长。绳不可伸长。求：求：轮对轮对 O 轴的轴的 J 解：解：动力学关系：动力学关系：对轮：对轮：对对 m：运动学关系：运动学关系：Ra (3)221ath(4)JRT(1)maTmg (2)mgmaTT定轴定轴 ORthmv0绳绳 RGTN15(1)(4)联立解得：联立解得：22)12(mRhgtJ分析结果：分析结果：量纲对；量纲对；h、m 一定，一定，J t ，若若 J=0，得得 ，221gth 正确。正确。合理；合理；这是一种用实验测定转动惯量的方法。这是一种用实验测定转动惯

9、量的方法。165.5 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系一一.力矩的功力矩的功力矩的空间积累效应：力矩的空间积累效应：)d(cosd rFW力矩力矩 d)cos(rF dM 力矩的功力矩的功 d 21 MW力矩力矩 d 定轴定轴x r F 17二二.定轴转动动能定理定轴转动动能定理21d MW力矩力矩21ddd tJ21d J21222121 JJ 21 2 JEk转动转动定义定义转动动能转动动能)2121 (22iimJv ：可证可证 刚体刚体定轴转动动能定理定轴转动动能定理 转动转动力矩力矩kEW18三三.刚体重力势能刚体重力势能iipghmE mhmmgii Cmgh 四四.应用举

10、例应用举例对于包括刚体的系统，功能原理和机械能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。守恒定律仍成立。ChChiEp=0 mi19解：解：（杆（杆+地球）系统，地球）系统，0sin4212 lmgJO222487)4(121mllmmlJO lg7sin62 只重力作功，只重力作功，E守恒：守恒：【例例】均匀直杆质量为均匀直杆质量为 m，长为，长为 l，初始水平，初始水平 静止。轴光滑，静止。轴光滑，。4/lAO 求：求：杆下摆到杆下摆到 角时的角时的 角速度角速度 和和轴对杆轴对杆 的作用力的作用力 。N 轴轴OCABl,ml/420 gmB C OAl,m aCnaCt应用应用

11、质心运动定理质心运动定理求轴力：求轴力：CamgmN CnnmaNmgn sin :(3)CttmaNmgt cos :(4)24 laCn sin76g(5)4laCt7cos3 g (6)OlJmgl cos44NnNttnN21B C OAl,mtn 由由(3)(4)(5)(6)解得：解得：sin713mgNn cos74mgNttnemgemgN cos74sin71316sin15372 mgNNnNNt225.6 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理质点系质点系对点对点1221dLLtMtt外外对轴对轴zttzzLLtM1221d外外刚体刚体 zzJL d 1221 z

12、zttzJJtM外外 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 dd zzJtM外外或或所以所以23 0 常矢量常矢量则则若若 zzzJLM，外外 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律对刚体系对刚体系，M外外z=0 时，时，.const iizJ 角动量可在系统内各刚体间传递，而刚体系角动量可在系统内各刚体间传递，而刚体系对转轴总角动量不变对转轴总角动量不变（必须是同一轴）。（必须是同一轴）。两轮磨合问题两轮磨合问题两匀速转动的轮子接触后，两匀速转动的轮子接触后，讨论摩擦力、运动状态变化，讨论摩擦力、运动状态变化，能否用对轴的角动量守恒？能否用对轴的角动量守恒？r2

13、r1 20 10J2J1【思考思考】24克服直升飞机机身反转的措施克服直升飞机机身反转的措施尾浆推动大气，尾浆推动大气，产生的力矩阻产生的力矩阻止机身反转。止机身反转。双翼反向转动，双翼反向转动，产生反向力矩，产生反向力矩，相互抵消。相互抵消。25猫从树枝和手的下落猫从树枝和手的下落【TV】刚体定轴角动量守恒刚体定轴角动量守恒茹科夫斯基转椅茹科夫斯基转椅转台车轮转台车轮角动量守恒：角动量守恒：【演示演示】26【例例1】如图两轮磨合问题，如图两轮磨合问题，已知：已知：初始参量（初始参量（J1,10,r1）和（和（J2,20,r2），），求：求：接触达稳定后的接触达稳定后的 1和和 2r2r1 2

14、0 10J2J1O1O2解：解：此系统角动量并不守恒，因为此系统角动量并不守恒，因为O1和和O2处的处的轴力产生的力矩和不为零。轴力产生的力矩和不为零。应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。应对每个轮作隔离分析，用角动量定理求解。r2r1 2 1J2J1O1O2f1f2设摩擦力方向如图示，有：设摩擦力方向如图示，有：对轮对轮1：1111dd Jtrf 对轮对轮2：2222dd Jtrf 27r2r1 2 1J2J1O1O2f1f2利用利用 f1=f2 得：得：222111ddrJrJ 对初末态积分得：对初末态积分得：2202211011)()(rJrJ 稳定条件：稳定条件：接触点线速度相同：

15、接触点线速度相同：2211rr （注意负号，两轮反着转）（注意负号，两轮反着转）解得：解得：)()(2122212012102121rJrJrJrJr )()(2122212012102112rJrJrJrJr 28解：解：【例例2】粘粘土块斜射到匀质圆盘顶土块斜射到匀质圆盘顶点点 P 后后与圆与圆 盘盘粘合，粘合，已知：已知：v0，R，M=2m，=60。（水平）（水平）v0m(粘土块粘土块)yxP OM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘R求：求：当当 P 转到转到 x 轴时盘的轴时盘的 ,，轴对盘的作用力轴对盘的作用力 。N对对 m+M 系统，系统，碰撞瞬间，碰撞瞬间，外力（重力和轴力）对外力（重

16、力和轴力）对 O 轴的力矩轴的力矩=0，守恒，守恒，L（1）求）求、，碰撞过程：碰撞过程：过程分过程分 2 步：步：2922222mRmRMRJ (2)对对 m+M+地球系统，地球系统，E 守恒，守恒，令令m、x 重合时重合时 EP=0，有：，有：m+M 形成刚体，转动惯量为：形成刚体，转动惯量为：v0m OMR设碰后瞬间盘角速度为设碰后瞬间盘角速度为 0，有：，有：定轴转动过程：定轴转动过程：(3)2202121 JmgRJ (1)(2)(3)解得解得RgR 41620 v 0202021cos mRMRRm v(1)mOMRx,30m、x重合时重合时 m+M 系统所受力矩：系统所受力矩：m

17、gRM RgmRmgRJM222 （2）求）求轴力轴力 N 用质心运动定理求用质心运动定理求m+M 的质心的质心 C 在距在距 O 的的 R/3 处，处，质心加速度：质心加速度：,3RaCt ,32RaCn y 方向方向 x 方向方向mgmOMRx,yOx,CCnaCta31由质心运动定理有：由质心运动定理有：CtyaMmgMmN)()(CnxaMmN)(设轴力设轴力 的方向如图，的方向如图，N代入代入 的值得：的值得：CtCnaa ,mgNgRmNyx25),16(20 vNx F2)LdM/C1C2F1F2自转角动量自转角动量L40地轴地轴进动进动分点每年在黄分点每年在黄道上西移道上西移5

18、0.2 太阳年（回归年）：太阳由春分太阳年（回归年）：太阳由春分 秋分秋分 春分春分恒星年：地球绕太阳一周的时间恒星年：地球绕太阳一周的时间岁差岁差=恒星年恒星年 太阳年太阳年=20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球黄道面黄道面赤道面赤道面西西太阳太阳东东秋分点秋分点春分点春分点41我国古代已发现岁差：我国古代已发现岁差：每每50年差年差1度（约度（约72/年，年，精确值精确值50.2/年）。年）。前汉刘歆（公元前前汉刘歆（公元前53 后后23）发现岁差。）发现岁差。晋朝虞喜（公元晋朝虞喜（公元265 316）最先确定岁差：）最先确定岁差：先将岁差引入历法：先将岁差引入历法：391年有年有1

19、44个闰月。个闰月。祖冲之（公元祖冲之（公元429 500）编）编大明历大明历最最42三三.自由度自由度自由度是确定力学体系空间几何位形所需的自由度是确定力学体系空间几何位形所需的独立坐标数，与几何约束条件直接相关。独立坐标数，与几何约束条件直接相关。1.质点的自由度质点的自由度 不受约束（自由）的不受约束（自由）的质点，质点，约束在曲面上运动的质点，约束在曲面上运动的质点，约束在曲线上运动的质点，约束在曲线上运动的质点，x,y,z 相互独立；相互独立；自由度为自由度为 3，x,y,z 中有中有1个不独立，如个不独立，如 z=z(x,y)；自由度为自由度为 2，x,y,z 有有2个不独立，如个

20、不独立，如 z=z(x)，y=y(x)自由度为自由度为 1，432.刚体的自由度刚体的自由度自由自由刚体的自由度最大，等于刚体的自由度最大，等于6。解释：解释：3 点可固定（完全约束）刚体：点可固定（完全约束）刚体：C 点固定，则刚体固定。点固定，则刚体固定。.A.B.C所以刚体最大自由度是所以刚体最大自由度是 6。A 点固定，点固定，仍可绕仍可绕 A 转动，转动，BCB 点固定，点固定，C 点仍可绕点仍可绕 转动，转动，AB3 个点总坐标数是个点总坐标数是 9，但，但 距离距离不变，这不变，这 3 个条件使独立坐标数减少个条件使独立坐标数减少 3 个。个。CABCAB ,44转动用转动用 3

21、 个欧勒角描述：个欧勒角描述：6=3（基点平动）（基点平动）+3（绕基点转动）（绕基点转动）刚体最大自由度：刚体最大自由度：进动角进动角 章动角章动角 自转角自转角455.8 刚体平面运动简介刚体平面运动简介一一.基本概念和运动学关系基本概念和运动学关系1.基面、基点、基轴基面、基点、基轴 可任选一轨道平面可任选一轨道平面 作为作为基面，基面，如如 1 面。面。与基面垂直的任意直与基面垂直的任意直线上的各点运动相同。线上的各点运动相同。在基面上可任选一点为参考在基面上可任选一点为参考基点，基点，如如 O1 点。点。过基点垂直基面的直线为过基点垂直基面的直线为基轴，基轴，如如 O1O3 轴。轴。

22、基面各点运动可代表刚体运动。基面各点运动可代表刚体运动。46刚体平面运动为下列组合：刚体平面运动为下列组合：基轴平动基轴平动 绕基轴的转动绕基轴的转动选质心为基点，选质心为基点，有利于动力学问题分析。有利于动力学问题分析。2.基面上各点速度关系基面上各点速度关系 ROA vv 是基点是基点 O 的速度，的速度，OvOAR 注意：注意：是唯一的，与基点选择无关。是唯一的，与基点选择无关。基面各点运动为下列组合：基面各点运动为下列组合：基点平动基点平动(自由度自由度2)绕基点转动绕基点转动(自由度自由度1)OARAv 473.瞬心（瞬时转动中心）、瞬轴（瞬时转轴）瞬心（瞬时转动中心）、瞬轴（瞬时转

23、轴）,RRAAvv 基面上必存在一个瞬时速度为零的点基面上必存在一个瞬时速度为零的点 P 瞬心瞬心 过瞬心垂直基面的直线为过瞬心垂直基面的直线为瞬轴。瞬轴。瞬心位置一般随时间变化。瞬心位置一般随时间变化。瞬心速度为零，但加速度不一定为零。瞬心速度为零，但加速度不一定为零。选瞬心为基点，选瞬心为基点，有利于运动学问题分析。有利于运动学问题分析。PAR PARAv 48求瞬心位置的求瞬心位置的 2 个简便方法：个简便方法：瞬心位置可能在刚体内，也可能在刚体外。瞬心位置可能在刚体内，也可能在刚体外。APARv 2.已知已知 2 点速度方向点速度方向1.已知已知 1 点速度和点速度和 方向沿方向沿 的

24、方向的方向R AvPARAv BAvPBvA494.均匀圆柱（盘、环、球）等在曲面上作均匀圆柱（盘、环、球）等在曲面上作 纯滚动的运动学条件纯滚动的运动学条件纯滚动：纯滚动：接触点接触点 P 是瞬心，无相对滑动是瞬心，无相对滑动。rC v质心质心 C 的切向加速度：的切向加速度：raC 质心质心 C 的速度：的速度：（为何？）（为何？）PCr（在平面上就是质心（在平面上就是质心 C 的加速度）的加速度）50二二.动力学关系动力学关系1.质心运动定理质心运动定理 CamF外外2.对通过质心的基轴的转动定律对通过质心的基轴的转动定律 轴轴外外轴轴CJMC 瞬瞬轴轴外外瞬瞬轴轴JM若瞬心加速度方向与

25、瞬心质心连线平行，若瞬心加速度方向与瞬心质心连线平行，则惯性力对瞬心的力矩为零，对瞬轴也有：则惯性力对瞬心的力矩为零，对瞬轴也有：PC 如均匀圆柱如均匀圆柱体的纯滚动体的纯滚动Pa513.对通过质心的基轴的角动量定理对通过质心的基轴的角动量定理 dd tLMCC轴轴外外轴轴角动量关系角动量关系 CCCOmrJLv 轴轴轴轴O轴轴：刚体所在空间中平行于：刚体所在空间中平行于C 轴的固定轴轴的固定轴 ：质心：质心 C 相对相对 O 轴的垂直位矢轴的垂直位矢 ：质心速度：质心速度Cr Cv如图，均匀圆球对如图，均匀圆球对 O 轴轴角动量是多少？守恒否？角动量是多少？守恒否？CvRO m524.能量关

26、系能量关系 质心平动能质心平动能（刚体平动能）（刚体平动能）绕过质心的基轴的转动能绕过质心的基轴的转动能（刚体转动能）（刚体转动能）动能关系动能关系 科尼希定理科尼希定理 2121 22 轴轴CCkJmEv 功能原理功能原理 dd 00 轴轴外外外外外外CMrFWErrCk53 d)21(02rrCCrFm外外v刚体动能改变刚体动能改变 外力对质心作的功外力对质心作的功 外力矩对过质心的基轴作的功外力矩对过质心的基轴作的功 d)21(02 轴轴外外轴轴CMJC质心平动能改变质心平动能改变 外力对质心作的功：外力对质心作的功：绕过质心的基轴的转动能改变绕过质心的基轴的转动能改变 外力矩对外力矩对

27、过质心的基轴作的功：过质心的基轴作的功：54解：解：设摩擦力向右，设摩擦力向右，由质心运动定理得：由质心运动定理得：CmafF(1)【例例1】质量质量 m、半径、半径 R 的圆球的圆球 在水平力在水平力 F 作用下在水平面上作用下在水平面上 作纯滚动，作用点作纯滚动，作用点 A 在接触点在接触点 P 与质心与质心 C 的连线上，的连线上，AC=d。CdFAPR求：求：接触点接触点 P 处的静摩擦力处的静摩擦力 f。设顺时针方向为正，对质心轴的转动定律：设顺时针方向为正，对质心轴的转动定律：522 mRJfRFdC(2)纯滚动条件：纯滚动条件：RaC(3)f55(1)(2)(3)解出：解出：FR

28、Rdf725 当当 时，时，f 与与 F 同向；同向；Rd52 当当 时，时，f=0；Rd52 当当 时，时，f 与与 F 反向。反向。Rd520755 ,07552mFRRdmFRRdaC 球沿顺时针方向加速转动、加速前进。球沿顺时针方向加速转动、加速前进。56【例例2】质量均匀、半径质量均匀、半径 R 的的 圆球在斜面上作纯滚动，圆球在斜面上作纯滚动，P 是是 瞬心，瞬心，C 是质心。是质心。证明：证明：P 点相对水平面的加速度点相对水平面的加速度 沿沿 PC 连线方向。连线方向。Pa用相对运动关系证明。用相对运动关系证明。如图建立坐标系如图建立坐标系 ，设圆球向下运动。，设圆球向下运动。

29、ntee ,teneCaCPR证：证：设顺时针方向为正，不妨设角加速度设顺时针方向为正，不妨设角加速度 0，即圆球沿顺时针方向加速转动。即圆球沿顺时针方向加速转动。57设设 是是 P 点相对质心点相对质心 C 的加速度，的加速度，PattCCeReaa (2)CPPaaa(1)teneCaCPR 根据相对运动关系有：根据相对运动关系有：在质心系，在质心系，P 点瞬间随球作沿顺时针方向的点瞬间随球作沿顺时针方向的加速转动，所以：加速转动，所以：RaPtRaPn2 方向为方向为ne方向为方向为tetnPeReRa 2 (3)58由由(1)(2)(3)解出：解出：nPnPeRaa2 沿沿 PC 连线

30、方向。连线方向。PateneCaCPR Pa本题所证明的结论也适用于其它质量分布本题所证明的结论也适用于其它质量分布均匀的圆形物体。均匀的圆形物体。59【例例3】刚体撞击问题，如打击中心。刚体撞击问题，如打击中心。棒球手要做到轻松击球，必须棒球手要做到轻松击球，必须使球击打合适位置，此位置称使球击打合适位置，此位置称为打击中心。为打击中心。CrCr手手已知：已知：棒质量棒质量 m，对手的转动，对手的转动 惯量惯量 J，棒的质心，棒的质心 C 距距 离手离手 rC。求：求：打击中心到手的距离打击中心到手的距离 r。60棒受力棒受力CrCr手手轻松击球轻松击球分析：分析：击球瞬间手的作用力击球瞬间

31、手的作用力 0棒绕手作定轴转动棒绕手作定轴转动冲冲F冲冲F球的冲击力球的冲击力手手F手的作用力手的作用力手手F解法一解法一 对质心的动量定理、对质心的动量定理、设：设：打击时间打击时间 ，此时间内：，此时间内：t棒质心的动量改变为棒质心的动量改变为Cm v棒的角速度改变为棒的角速度改变为 对手的角动量定理对手的角动量定理61对质心：对质心：CrCr手手冲冲F手手F正向正向对手：对手：CmtFFv)(手手冲冲(1)CCr v(3)(JtrF 冲冲(2)动量定理动量定理角动量定理角动量定理(1)(2)(3)消去消去 量得：量得：冲冲手手FJmrrFC)1(CmrJr 0手手F令令得打击中心位置：得

32、打击中心位置：角量与线量关系：角量与线量关系：62对质心：对质心：CrCr手手冲冲F手手F正向正向由由(1 4)并令并令 得：得：CmrJr 0手手F解法二解法二 对质心的动量、角动量定理对质心的动量、角动量定理2CCmrJJ(3)CmtFFv)(手手冲冲(1)CCr v(4)(CCCJtrFrrF手手冲冲(2)角量与线量关系：角量与线量关系：63此法简单实用！此法简单实用！对质心：对质心：CrCr手手冲冲F手手F正向正向对手：对手：CmaFF手手冲冲(1)CCra(3)JrF冲冲(2)解法三解法三 质心运动定理、对手的转动定律质心运动定理、对手的转动定律角量与线量关系：角量与线量关系：由由(

33、1 3)并令并令 得：得：CmrJr 0手手F64对质心和过质心的轴：对质心和过质心的轴：CrCr手手冲冲F手手F正向正向CmaFF手手冲冲(1)CCra(4)解法四解法四 质心运动定理、对质心轴转动定律质心运动定理、对质心轴转动定律角量与线量关系：角量与线量关系：CCCJrFrrF手手冲冲)(2)2CCmrJJ(3)此法此法也不错。也不错。由由(1 4)并令并令 得：得：CmrJr 0手手F65【例例4】在固定斜面上的圆在固定斜面上的圆 柱体从静止开始作纯滚动，柱体从静止开始作纯滚动，圆柱体质量圆柱体质量 m，半径，半径 R，转动惯量转动惯量 J，斜面倾角，斜面倾角 。求求（1）接触点接触点

34、 O 是否存在摩擦力？若有，是否存在摩擦力？若有，其作用是什么？做功否？其作用是什么？做功否？（2）圆柱体下落高度）圆柱体下落高度 h 时，质心时，质心 C 的速的速 度度 ，转动角速度，转动角速度 ，摩擦力，摩擦力 f 分分 别是多少？别是多少？CvRCO Cv66证：证：对面对面OfrfWdd CO Cv斜面参考系：不易判断！斜面参考系：不易判断！（1）讨论摩擦力）讨论摩擦力以质心以质心 C 为基点的参考系：为基点的参考系：圆柱体作定轴转动，圆柱体作定轴转动，mgN重力、重力、斜面压力力矩斜面压力力矩=0，可断定必存在静摩擦力可断定必存在静摩擦力（纯滚），（纯滚），f力矩力矩 0。对斜面系

35、，静摩擦力对斜面系，静摩擦力 f 作功否？作功否？不做功。不做功。tfCCOd)(对面对面对对vv tRfCd)(对面对面v 0=0（纯滚）（纯滚）方向与质心运动相反，方向与质心运动相反，)dd(对面对面对对CCOrrf 67f 对质心作负功，平动能对质心作负功，平动能 二者相等二者相等总功总功=0f 力矩对质心轴作正功，转动能力矩对质心轴作正功，转动能 0d)(tRfC对面对面v fC ,v（2）计算）计算CO CvmgNf解：解：机械能守恒机械能守恒 质心运动定理质心运动定理 质心运动学质心运动学mghJm2C22121 v(1)tffRCdd 对面对面v 68(14)解出：解出：212m

36、RJghCvCmafmg sin(2)(3)sin22haCCv(4)RCvCO CvmgNfRJmRmgf21sin mJRgh22 69求摩擦力另法：求摩擦力另法：对过质心基轴的转动定律对过质心基轴的转动定律质心运动定理质心运动定理CO CvmgNfR或者或者 对瞬轴对瞬轴 O 的转动定律的转动定律用用(5)(6)(7)或或(5)(6)(8)都可解出都可解出 f。Cmafmg sin(5)RaC(6)JfR(7)()sin(2mRJJJRmgOO (8)70J ，J 大的滚动慢大的滚动慢CvJ/mR2 恒定，钢的、铝的一样快。恒定，钢的、铝的一样快。R ，R 大的滚动快大的滚动快Cv212

37、mRJghCv比较不同转动惯量、半径的圆柱体、球体比较不同转动惯量、半径的圆柱体、球体在斜（曲）面上作纯滚动的快慢。在斜（曲）面上作纯滚动的快慢。mJRgh22 导轨滚柱演示仪，曲面桌滚盘演示仪导轨滚柱演示仪，曲面桌滚盘演示仪【演示演示】71刚体刚体 rigid body平动平动 translation转动转动 rotation定点转动定点转动 rotation about a fixed point定轴转动定轴转动 rotation about a fixed axis转动惯量转动惯量 rotational inertia进动进动 precession自转自转 spin章动章动 nutation 第五章结束第五章结束中英文名称对照表中英文名称对照表72