任意角的三角函数课件正式.ppt
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1、一、背景知识一、背景知识 任意角的三角函数任意角的三角函数是三角学中最基本是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究,始于古希腊的喜帕恰形边角关系的研究,始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量,斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量,在相当长的时期里隶属于天文学。直到在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年,德国数学家雷基奥蒙坦著论各年,德国数学家雷基奥蒙坦著论各种三角形,才独立于天文学之外对三角种三角形,才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说;知识作了较系统的阐说;1416世纪,三角世纪,三角学曾一度成为欧
2、洲数学的主要内容,研究学曾一度成为欧洲数学的主要内容,研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法,三角恒等式的角形和球面三角形的解法,三角恒等式的建立和推导等等。建立和推导等等。1631年,三角学输入中年,三角学输入中国,三角学在中国早期比较通行的名称是国,三角学在中国早期比较通行的名称是“八线八线”和和“三角三角”。“八线八线”是指在单位圆上是指在单位圆上的八种三角函数线:的八种三角函数线:正弦线、余弦线、正正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、正矢线、余矢线。随着科学的发展,三角函数成为余
3、矢线。随着科学的发展,三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具,它在测量、力学工程和无重要数学工具,它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。线电学中有着广泛的应用。温故而知新温故而知新sinBCAAB tanBCAAC cosACAAB ACB对边邻边斜边在直角三角形在直角三角形ABCABC中,角中,角A A的取值范围是?的取值范围是?(0 0o o,9090O O)sin120sin120o o=?=?cos150cos150o o=?=?tan315tan315o o=?=?问题问题:1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的?、在
4、初中我们是如何定义锐角三角函数的?sincostancacbba 复习回顾OabMPc1.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数OabMP yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?新课 导入22:barOPbMPaOM其中 yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan新课 导入baP,Mo如果改变点在终边上的位置,这三个比值会改变吗?如果改变点在终边上的位置,这三个比值会改变吗?PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOP
5、MPOOMMOPM诱思 探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan,则若1 rOPbaab3.锐角三角函数(在单位圆中)锐角三角函数(在单位圆中)以原点以原点O为为圆心,以单位圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆长度为半径的圆,称为单位圆.yoP),(bax1M探究:在直角坐标系中,锐角探究:在直角坐标系中,锐角 的三角函数能用其的三角函数能用其终边上的点的坐标表示吗?终边上的点的坐标表示吗?OxyM),(yxP22|yxOPr记rysinOPMP=yrxcosOPOM=xtanOMMP=xy思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数?思考:如何利用单位圆定义任意角的三
6、角函数?),(yxP=12.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点),(yxP 那么:(1)叫做 的正弦正弦,记作 ,即 ;ysinysin (2)叫做 的余弦余弦,记作 ,即 ;cosxxcos(3)叫做 的正切正切,记作 ,即 。xytanxytan 所以,正弦,余弦,正切都所以,正弦,余弦,正切都是以是以角为自变量角为自变量,以,以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数,我们将他们称为函数,我们将他们称为三角函数三角函数.0,1AOyxyxP,)0(x使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角
7、函数的定义域即为三角函数的定义域.)0,1(AxyoP),(yx的终边说说 明明(1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值.的横坐标,的横坐标,正切就是正切就是 交点的纵坐标与交点的纵坐标与.(2)正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的终边在的终边在 y横坐标等于横坐标等于0,xytan无意义,此时无意义,此时)(2zkk轴上时,点轴上时,点P 的的(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.任意角的
8、三角函数的定义过程:任意角的三角函数的定义过程:直角三角形中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin直角坐标系中定义锐角三角函数 abrarbtan,cos,sin单位圆中定义锐角三角函数 ababtan,cos,sin单位圆中定义任意角的三角函数,sinyxcosxytan,【引引例】:如图已知角例】:如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 ,求角,求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。)23,21(P解:根据任意角的三角函数定义:23sin21cos3tanOxy)23,21(P点评:若已知角点评:若已知角的终边与单位圆的交点坐标,则可的终边与单位圆的
9、交点坐标,则可直接利用定义求三角函数值。直接利用定义求三角函数值。例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解:在直角坐标系中,作解:在直角坐标系中,作 AOB,易知,易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为)23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考:若把角思考:若把角 改为改为 呢呢?3567,2167sin,,2367cos3367tan实例 剖析xyoAB35点评:若已知角点评:若已知角的大小,可求出角的大小,可求出角终边与单位终边与单位圆的交点,然后再利用定义求三角函数值。圆的交点,然后再利用定义求三角函数值。7
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