两个重要极限64097课件.ppt

1、xxxsinlim0极限xxx)11(lim极限1-4v预备知识预备知识1.有关三角函数的知识有关三角函数的知识00 sin sintancosxxx 2.有关对数函数的知识有关对数函数的知识lnlogexx 以以e为底的指数函数为底的指数函数y=ex的反函数的反函数 y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为记为 y=ln x.数数 e 是是一个无理数，它的前八位数是：一个无理数，它的前八位数是：e=2.718 281 8 cos0=1|sin|1 x|cos|1 x 3.有关指数运算的知识有关指数运算的知识()nnnaba b

2、n mnmaa a mnmnaa 4.无穷小量无穷小量定义定义 在某个变化过程中，以在某个变化过程中，以0 0为极限的变量为极限的变量称为在这个变化过程中的称为在这个变化过程中的无穷小量无穷小量，常用字母，常用字母性质性质 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.,a b ga b g等等表表示示。5.极限的运算法则极限的运算法则 limlimlim(1)()()()()fxg xfxg x2)lim()()lim()lim()(f xg xf xg x ()lim()lim()lim().f xf xg xg x lim()(3)0g x 若若，(4)lim

3、()lim()cf xcf x (5)lim()lim()kkf xf x X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.99999981sinlim0 xxxxxsin0sinlim?xxxX 1 0.5 0.1 0.01 0.001 .0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998xxsinv第一个重要极限第一个重要极限OxBACD0sinlim1.xxx证明证证 sintanxxx即sin (sin0),xx 各式同除以因为得,cos1sin1xxx .1sincos xxx即即0s

4、inlim1.xxx00tansin1limlim()cosxxxxxxx00sin1limlimcosxxxxx解解1 11 0sin1lim()cosxxxx这个结果可以作为公式使用这个结果可以作为公式使用1tanlim0 xxx0tanlimxxx例例 1求求例例 2 5,0,0 xtxt令当时 有0sin,5limttt所以 原式注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：0sin5 limxxx求,推广：设为某过程中的无穷小量sinlim1某过程0sin5 limxxx解：05sin5lim5xxx0sin55lim5xxx0sin55lim5 155

5、xxx 0sin5limxxx5 15 练习练习1.求下列极限求下列极限:00sin3 1 limsin52 lim3xxxxxx（）（）00sin33sin3 limlim3xxxxxx解：0sin33lim3xxx3 13 00sin5sin55 limlim()()353xxxxxx解：55133 0sin lim1 :xxx使用时须注意(1)类型：(2)推广形式:sinlim1某过程 lim0 某过程（）0 lim1si(3)nxxx等价形式：00型21sin(1)lim1xxx求211sin(1)sin(1)limlim1(1)(1)xxxxxxx11lim1)1sin(lim11x

6、xxxx211111 例例 3解解1 lim sinxxx求例例 41lim sinxxxxxx11sinlim1解解1sin(1)1lim11xxxxxxxsinlim1sinlim0 xxx1limsinxxx10|sin|1 xxx 当 时且sin lim0 xxx故练习练习3 3：下列等式正确的是（：下列等式正确的是（）sin.lim1;xxAx1.lim sin1;xBxx 01.lim sin1;xCxx1sin.lim1xxDx B练习练习4 4：下列等式：下列等式不不正确的是正确的是（）A;1sinlim0 xxx B;1sinlim0 xxx C;11sinlimxxx D1

7、1sinlim0 xxxD0.lim1xxAx0.lim1xxBx01.lim sin1xCxxsin.lim1xxDx练习练习5.下列极限计算正确的是（下列极限计算正确的是（）B练习练习6.已知已知1tan)(xxxf当（当（）时，）时，)(xf为无穷小量为无穷小量.0Ax.1Bx.Cx.Dx Axxxfsin1)()(xf，当，当 时，时，为无穷小量为无穷小量 sinlim_xxxx0sinlim_xxxx练习练习7.已知已知练习练习8.练习练习9.0 x 10 X -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828

8、)11(xx X 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827)11(xxexxx )11(lim?)11(limxxxv第二个重要极限第二个重要极限exxx )11(lim,1xt 令令1lim(1)xxx 10lim(1)ttte )1()1(10lim(1)ttte ,为某过程推中的无穷小量广1lim(1)e某过程1 lim(1):xxex使用须注意1型(2)推广形式:1lim(1)e 某某过过程程10 lim(3)(1)ttte等价形式：(1)类型:lim0 某某过过程程（）.11lim2xxx 计计算算解解因为因为，

9、1111212 xxxx，且e11limxxx所以，有所以，有21211lim11limxxxxxx.e11lim2121 xxx例例 1 .1lim20 xxx 计计算算例例 2 解解方法一方法一令令 u=-x，因为因为 x 0 时时 u 0，uuxxux2020)1(lim1lim 120lim(1)uuu 2e 所以所以120lim(1)uuu 方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量 12200lim 1lim(1)xxxxxx 120lim(1)xxx 2e 3311lim()lim(1)xxxxxxx 31lim()xxxx 例例331lim1)xxx（3e解解.)

10、21(lim10 xxx 计计算算练习练习1.1.解解221010)21(lim)21(lim xxxxxx.e2.)1(limxxxx求.e1)11(lim1xxx练习练习2.xxxxxxx)11(1lim)1(lim解解练习练习3.3.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 两个重要极限两个重要极限:;1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,设为某过程中的无穷小量v小结小结xxx3cotlim30、xxxsinlim10、xxx3sin2sinlim20、练练 习习 题题xxxsinlim0323sin322

11、sinlim3sin2sinlim00 xxxxxxxx31313cos3sin3lim0 xxxx_)1(lim62xxxx、._)11(lim7xxx、2211limexxxe1._2sinlim4xxx、._)1(lim510 xxx、0e22lim3xxxx 计计 算算思考题思考题解解因为因为.3113)1(332 xxxxx所以令所以令 u=x -3，当当 x 时时 u ，511lim32lim uuxxuxx.e1e1111lim5 uuuu因此因此第一章第一章 作业作业2两个重要极限的证明两个重要极限的证明OxRABC.1sinlim0 xxx证证明明证证 AOB 面积面积 扇形

12、扇形AOB 面积面积 AOC 面积面积,即即,tan22sin2222xRxRxR 得得各各式式同同除除以以正正值值,sin22xR,cos1sin1xxx .1sincos xxx即即例例两个重要极限的证明.1coslim0 xx下下面面我我们们来来证证明明因为因为,11lim,1coslim0)cos1(lim 000 xxxxx又又因因为为可可知知，推推得得所所以以由由定定理理且且6,0lim0 xx 所以再次所以再次运用定理运用定理 6 即可得即可得.1sinlim0 xxx,2122sin2sin2xxxx 2sin2cos102xx 重要极限1 .1sinlim 0 xxx其中的两

13、个等号只在x=0时成立.(7)|,tan|sin|,2|:xxxx时当先证不等式证设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作,OABD,xAOB 则sin x=BD，tan x=AC，,OACOABOABSSS扇形.tansin xxx即从而有有时而当,20 ,02xx),tan()sin(xxx.tansin xxx即.|tan|sin|2|0 xxxx时，有即当,tan2121sin21 20 xxxx时，当.|tan|sin|,0 xxxx有时当这就证明了不等式(7).的各端，得除不等式时，用当|tan|sin|sin|2|0 xxxxx|,sintan|sin|1 xxxx

14、,cos1sin1 xxx即(8).1sincosxxx从而有,11lim ,1)21(lim 020 xxx因为.1sin21 )8(2xxx式得由上式与,21)2(21sin21cos 222xxxx注意.1sinlim 0 xxx由夹逼准则，可得.e)11(limxxx重要极限2从而都以整数变量趋于和时，当,1xxx1)11()11()111(xxxxxx.e1e )111()111(lim)111(lim11xxxxxxx，所以，都有因为对任何实数11xxxx证.e1e )11()11(lim)11(lim 1xxxxxxx又.e)11(lim xxx由夹逼准则知，于是时，则当设下面证

15、txxtxxx.e)11(limttxxtx)11(lim)11(limtttt)1(lime,1e)111()111(lim1tttt.e)11(lim e)11(lime)11(limxxxxxxxxx，得及由.e)1(lim 0110zzzzxxz，从而有时，则当在上式中，令这是重要极限2常用的另一种形式.57)1(lim1233xxxx求极限例分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则

16、求解。直接利用极限的运算法则求解。62485373)13(57lim)1(lim57)1(lim232333233解：xxxxxxxxx极限综合练习题极限综合练习题(一一).01coslim1cos1cos1|1cos|00lim00 xxxxxxxxxxx是无穷小量，于是有知，是有界变量，由性质可，即又时的无穷小量。是，即解：因为01 lim cosxxx例2.例例3 求下列极限：求下列极限：52312lim)2(3213lim)1(22232xxxxxxxxx32523112lim52312lim)2(01032113lim3213lim)1(222233232xxxxxxxxxxxxxx

17、xxxxx解：)(lim0011)(40 xfxxxxfx，求设例解：解：当当x从从0的左侧趋于的左侧趋于0时，时，1)1(lim)(lim00 xxfxx 当当x从从0的右侧趋于的右侧趋于0时时,11lim)(lim00 xxxf不存在。，所以因为)(0lim)(0lim)(0limxfxxfxxfx例例5 求下列极限求下列极限11lim)2(965lim)1(220223xxxxxxx分析分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的分子、分母的 极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求极限均为零，不能直接用极限商的

18、运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：寻找致零因式常用的方法为：若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：（一般采用：“十字相乘法十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；、公式法、或提取公因式法）；若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。解：（解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限

19、。61332332lim)3)(3()3)(2(lim965lim33223xxxxxxxxxxxx再求极限。去致零因式，把分母有理化后，消分子、分母同乘以)112()2(x2)11(lim11)11(lim11lim202220220 xxxxxxxxx)(sinsinlim60均为常数，求极限例babxaxx两个函数乘积的极限，于是可把上极限化为解：因bxxxaxbxaxsinsinsinsin求解。又当x0时，ax0，bx0，于是有bababxbxbaxaxabxxxaxbxaxxxxxx1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsinlim00000txttsi

20、nlim7求极限例xxxtxtxtxttttxtxtt1)sin(limsinlim0是无穷小量，于是有，即时，是变量，当解：在极限过程中，220sin11lim8xxx求极限例分析：分析：当当x0时，分子，分母的极限均为时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以以 ，然后看是否可利用第，然后看是否可利用第1个重要极限。个重要极限。)11(2 x21211111limsinlim)11(sin11limsin11lim202202220220解：xxxxxx

21、xxxxxx)()1(lim9为常数求极限例knknn个重要极限求解。，即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型，无穷小是无穷小量，符合“，即时，分析：当”）无穷大21(0nknknkkknnnnenknk)1(lim)1(lim解：)()1(lim1010为常数求极限例kkxxx极限求解。个重要”，即可利用第”的倒数“配成“”型，再把无穷小）“于是无穷大量，即极限属是无穷小量，时，分析：当无穷大2111(10kxkxxxkxxkkkxxxxekxkx)1(lim)1(lim1010解：3)5(lim11xxxx求极限例5355331)51(lim)51(lim)51(lim)5(

22、limexxxxxxxxxxxx解：nnnn)13(lim12求极限例444141)11(lim)11(lim)11(lim)13(lim14114141141131eetttnntttttnntntntnnnnnn，于是有：时，且当，即故令因为：解法解法2：413133)11(lim)31(lim)11(lim)31(lim)1131(lim)13(limeeennnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxx31)3(1lim130求极限例形后再求极限。式，一般采用先通分变”型未定属“均趋于无穷大，此极限与时，分析：当xxxx3131091)3(31lim)3(3)3(3lim31)3(1l

23、im000 xxxxxxxxxx解：xxxxtancos1lim140求极限例分析分析：当当 x0时，分式中分子分母的极限均为时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍限的运算法则，但前面所介绍“分解因式分解因式”、“有理化有理化”的方法在的方法在此又不适用。能否利用第此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。恒等式对函数进行适当的变形。xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcos1cossin)cos1(cossinsin)cos1(tancos1)cos1(tan

24、)cos1)(cos1(tancos122解：21211cos1coslimsinlimtancos1lim000 xxxxxxxxxx所以，1sinlim152xxxx求极限例解：因当解：因当x时，时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到求解，考虑到 是无穷小量，即的性质，是有界变量，由无穷小，即是无穷小量，而时，即xxxxxxxxsin12sin1sin1201sinlim2xxxx0111lim1lim22xxxxxx)4421(lim22xxx2224lim()(2)(2)4xxxxx22lim(2)(2)xxxx211lim(2

25、)4xx解1.求极限求极限:)4421(lim22xxx极限综合练习题极限综合练习题(二二)1)1sin(lim21xxx 解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即)1)(1()1sin(lim1)1sin(lim121xxxxxxx11lim1)1sin(lim11xxxxx2111112.求下列极限：求下列极限：解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即xxx33sin9lim0 xxx33sin9lim0)33sin9()33sin9)(33sin9(lim0 xxxxx003sin31limlim39sin33xxxxx216133.求下列极限：求

26、下列极限：15510)13()23()12(lim4xxxx求极限例分析分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。来计算。解：分子分母同除以解：分子分母同除以x15，有有 101551015510151555101015510)32(332)13()23()12(lim)13()23()12(lim)13()23()12(limxxxxxxxxxxxxxxx)cos112sin(lim0 xxxx0(1 1)sin2limcos0(1 1)(

27、1 1)xxxxx 002sin2lim(1 1)lim12xxxxx=2 2+1=5 解)cos112sin(lim0 xxxx5.求)1sin1(2)1sin1)(1sin1(lim21sin1lim00 xxxxxxxx解000sinlim2(1 sin1)sin1limlim2(1 sin1)xxxxxxxxx416.求极限xxx21sin1lim0 解：容易算出分式分子的最高次项是 ，分式分母的最高次项是 ，所以2532x25x32132)3()1()21(lim25205xxxx7.求极限25205)3()1()21(limxxxx1112220003lim()lim(1)lim(

28、1)(1)3333xxxxxxxxxx解：203130)31(lim)31(limxxxxx203130)31(lim)31(limxxxxx3231e1e8.求极限210)33(limxxx9.设函数设函数000,sin,1sin)(xxxxxabxxxf问：（问：（1）当）当a为何值时，为何值时，f(x)在在x=0右连续；右连续；（2）a,b为何值时，为何值时，f(x)在在x=0处有极限存在；处有极限存在；（3）当）当a,b为何值时，为何值时，f(x)在在x=0处连续。处连续。处右连续。在时，。故当，从而，又右连续，须有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(

29、xxfaaaxxxaffxfxxxf1sinlim)(lim)1sin(lim)(lim)2(0000 xxxfbbxxxfxxxx因根据根据f(x)x=0处极限存在的充分必要条件：处极限存在的充分必要条件：)(lim)(lim00 xfxfxx。，可取任意值，此时，存在且极限值为时，即当有abbxfx111)(lim0处连续，须有在，于是，要使，又时，知，当由0)()0(11)2()3()(lim0 xxfafbxfx即即a=1,故当故当a=b=1时，时，f(x)在在x=0处连续处连续 0lim0 xf xfxxx10)21(lim解:利用第二重要极限计算，即 xxx10)21(lim12220(1 2)xxxelim10.求下列极限求下列极限