不定积分的概念54127课件.ppt

1、分的几分的几何意义，熟练掌握不定积分的何意义，熟练掌握不定积分的性质何基本积性质何基本积分公式，并能用公式来分公式，并能用公式来理解不定积分的概念，了解不定积理解不定积分的概念，了解不定积不定积分的概念，基本积分公式不定积分的概念，基本积分公式计算不定积分计算不定积分基本导数公式基本导数公式()0c1()xx(sin)cosxx(cos)sinxx 2(tan)secxx 2(cot)cscxx (sec)sec tanxxx(csc)csc cotxxx ()lnxxaaa()xxee 1(log)lnaxxa 1(ln)xx 21(arcsin)1xx 21(arccos)1xx 21(a

2、rctan)1xx 21(cot)1arcxx 微微分分学学导数导数微分微分积积分分学学不定积分不定积分定积分定积分:d ”“记记为为，求求导导数数与与求求微微分分统统称称为为 微微分分运运算算xxfxFxfxFxFd)()(d ),()()(d ”“记记为为，）（其其逆逆运运算算称称为为 积积分分运运算算不不定定例例 ),(,cossin xxx ),0(1|ln xxx一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义 若在若在 I 上恒有上恒有 F(x)=f(x)（即即 dF(x)=f(x)dx），），称称 F(x)为为 f(x)在在 I 上的一个上的一个原函数原函数。上上的的

3、一一个个在在是是原原函函数数),(cos sin Ixx,),0(1|ln上上的的一一个个原原函函数数在在是是 xx上上的的一一个个原原函函数数。，在在也也是是)0 (1 x积分常数积分常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量称为称为的不定积分的不定积分()f x的所有原函数的所有原函数CxF)(是任意常数是任意常数)C()f x1、已知函数、已知函数),(xf找出导函数等于找出导函数等于函数函数)(xf的全体原的全体原,)(CxF 可表可表示为：示为：CxFdxxf)()(说明说明2、并非所有函数都有原函数，

4、但、并非所有函数都有原函数，但函数一定存在函数一定存在闭区间上的连续闭区间上的连续3、初等函数在其定义区间内一定、初等函数在其定义区间内一定有原函数有原函数.原函数原函数.因此，求已知函数的不定积分，因此，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上就是求出它的一个原函数，再加上任意常数任意常数C.求求 的不定积分的不定积分.xxfcos)(xcos)(sinx是是 的一个原函数的一个原函数.xsinxcosCxosxdxcsin即即求求 的不定积分的不定积分.xxf1)(当当 时，时，0 x)(lnxx1dxx1Cxln当当时，时，0 x )ln(xx1)(x)1(x1x1Cxdxx

5、)ln(1从而有：从而有：Cxdxxln1x0y函数函数 的不定积分的不定积分 的图形是的图形是)(xfCxF)(一族平行的曲线，一族平行的曲线，)(xF所有曲线可通过所有曲线可通过)(xF沿沿 上下平移而得到这一族上下平移而得到这一族y曲线曲线.这一族曲线在同一点这一族曲线在同一点0 x处的切线平行处的切线平行.0 x不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系 1、不定积分的导数、不定积分的导数(或微分或微分)等于等于被积函数被积函数(或被积式或被积式)即：即：dxxf)()(xf或或dxxf)(dxxf)(d 2、任一函数的导数、任一函数的导数(或微分或微分)的不的不定积分等于这个函数加上任

6、意定积分等于这个函数加上任意常数。即常数。即dxxF)(CxF)()(xdFCxF)(或或sin71dxxxex、)71(2103dxx、)(3dxxh、dxxg)(4、xxexsin7103)71(x)(xhCxg)(Cedxxfx2)()(dxxf)(2Cex即即)(xfxe2)2(xxe22已知：已知：求求:Cedxxfx2)()(xf211)(xxfdxxf)(dxx211CxarcsinCxxffarcsin)(,23)1(已知：已知：且且 求求:211)(xxf23)1(f)(xf即即)(xf)1(fC1arcsin23即即Cxxfarcsin)()0()()(kdxxfkdxxk

7、fdxxgdxxfdxxgxf)()()()(说明：说明：dx01、dxx、2dxx13、dxax、4CCx111Cx|lnCaaxln1dxex、5Cexxdxsin6、Cxcosxdxcos7、xdx2sec8、xdx2csc9、CxsinCxtanCxcotxdxxtansec10、xdxxcotcsc11、CxsecCxcscdxx21112、dxx21113、CxarcsinCxarctanCxarccosCxarccot 被积函数经过适当的恒等变形被积函数经过适当的恒等变形(包包括代数或三角的恒等变形或分式拆项括代数或三角的恒等变形或分式拆项)再利用基本法则，然后由基本公式求再利用

8、基本法则，然后由基本公式求出结果的积分方法出结果的积分方法.1cos22cos2xxxx22tan1secxxxabba)(xxxbaba)(coscossinxxx222cossinxx2212csccotxx 221dxx3求求Cx 441dxx3dxexxx)2sin33(2求求dxexxx)2sin33(2dxx23xdxsin3dxex2dxx2inxdxsdxex332331x)cos(xCexCexxx2cos33332dxxx)11(sin12、)1,0,()(3uaRaudxaxxu、dxxx)111(22、dxexdxdxxx2sin332dxxx)1111(422、dxx

9、xx)tansec(sec52、Cxxarcsincos1、Cxxarctan|ln2、Caaxuxuln11131、Cxxarcsinarctan4、Cxxsectan5、dxxx)2(求求dxxx)2(dxxx)2(23dxx 2dxx23Cxx25252dxexx)23(求求dxexx)23(dxeexx)2(3dxex3dxex)2(Ceeexx2ln)2(3dxxx)2(12、dxxxxx2234232、dxeexx1132、dxxx2)53(4、Cxx24411、Cxxxx4|ln232122、Cxex、3Cxxx25ln251515ln29ln94、dxxx)2(12、dxxx)

10、2(3Cxx2441dxxxxx2234232、dxxxx)423(2Cxxxx4|ln23212dxeexx1132、dxxx2)53(4、dxeeexxx1)1)(1(dxex)1(Cxexdxxxxx)55323(22dxxxx)251529(Cxxx25ln2515ln1529ln9dxxx241求求dxxx241dxxx)111(22dxxx2411)1(Cxxxarctan313求求dxxxxx)1(122dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxx1dxx112Cxxarctanlndxxx2211、dxxxx)1(122222、dxxxx)1()1(322、Cxx

11、arctan1、Cxxarctan12、Cxx arctan2|ln3、dxxx2211、dxxx22111dxx)111(2Cxxarctandxxxx)1(122222、dxxxxx)1()1(2222dxxxx)1(1222dxxxx)1(222dxx21dxx112Cxxarctan1dxxxx)1()1(322、dxxxxx)1(1222dxxxxx)1(2)1(22dxx1dxx122Cxxarctan2lndxx2sin2求求dxx2sin2dxx2cos1dx121dxxcos21Cxxsin2121求求dxxxx)tan(sectandxxxx)tan(sectandxxxx

12、)tantan(sec2xdxxtansecxdx2tanxsecdxx)1(sec2Cxxxtansecdxxxxsincos2cos1、dxx2cos112、dxxxx)tan(secsec4、dxxx22coscos23、Cxxcossin1、Cxtan212、Cxxtan23、Cxxsectan4、dxxxxsincos2cos1、dxxxxxsincossincos22dxxx)sin(cosCxxcossindxx2cos112、dxx2cos21xdx2sec21Cxtan21dxxxx)tan(secsec4、dxxx22coscos23、dxx)1cos2(2dxx)1sec2(2Cxx tan2dxxxx)tansec(sec2Cxxsectan本节主要讲解了不定积分的概念、本节主要讲解了不定积分的概念、性质和基本性质和基本积分公式，在判断积分结积分公式，在判断积分结果是否正确时，只要对果是否正确时，只要对结果求导，看结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等它的导数是否等于被积函数，相等结结果正确，否则结果是错误的果正确，否则结果是错误的.