三重积分的定义课件.ppt

1、一、三重积分的定义一、三重积分的定义第四节第四节 三重积分的概念和计算方法三重积分的概念和计算方法即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv,的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz在空间直角坐标系中将三重积分化为三次积分在空间直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算二、三重积分的计算xyzo D

2、1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz方法一方法一坐标面投影法坐标面投影法函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(,),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF

3、 ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz z=0y=0 x=00y x：平面平面 x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1 所围成的区域所围成的区域 先画图先画图x0z y1121Dxy 是是曲曲顶顶柱柱体体 Dxy:x=0,y=0,x+2y=1 围成围成：上顶上顶yxz21 ：下底下底z=0121 yxxzyxxddd 481.例例1 1

4、 计算三重积分计算三重积分x+2y+z=1DxyzyxxIddd yxDzxyxxydddI =.例例2为为三三次次积积分分化化三三重重积积分分zyxzyxfIddd),(所围成的区域所围成的区域和和由平面由平面 6 1223 63 ,0,0 zyxyxyxzy：666x+y+z=63x+y=62.x0z y666x+y+z=63x+y=62.x0z y3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y423x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42z=0y=042x+y+z=6.x0z y66642.x0z y666.D0y x24D.yxDzz,y,xfyxI

5、6 0)d(dd.yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd.0y x6241 1 找出上顶、下底及投影区域找出上顶、下底及投影区域2 2 画出投影区域图画出投影区域图Dxy:y=0,3x+y=6,3x+2y=12 围成围成yxz 6z=0不画立体图做三重积分不画立体图做三重积分Dxy yxDzz,y,xfyxIxy6 0)d(dd yxyyzzyxfxy6032 43 260d),(dd.是是曲曲顶顶柱柱体体：上上顶顶：下底下底.例例3 所围成的区域。所围成的区域。平面平面与与抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy2 0 0 :化化为为三三次次积积分分将将zyxzyxfId

6、dd),(xyzo.y2=x zx2 2 2 y2=xxyzo.z=0y=0 2 2 xyzo。y2=x.zzyxfyxxxd),(dd2 002 0 。Dxzz,y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy .Dxyz1D：1002yxz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原式原式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2D：11222yxzxzx2D(3)计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),(其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z方法二方法二坐标轴投影法坐标

7、轴投影法zyxzIddd2 所围成的闭区域所围成的闭区域 是由是由 其中其中 1222222 czbyaxx0yzbc例5 计算aD0 Dz.bc.x0yzD0a1)1()1(22222222 czbyczax.2222221)(czbyax,czc|z,y,xz ccdzz2 zDdxdy.dxdydzzI 2 cczzczabd)1(222.3154abc .解解（一）（一）zdxdydz,10 zDdxdyzdz1|),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241.xozy111 zdxdydz解解（二）（二）zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1(102)1(21dzzz241.xozy111