一区域连通的分类课件.ppt

1、YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DDYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系22221,001xyxxy 例例如如，平平面面上上的的圆圆右右半半平平面面都都是是单单连连通通区区域域,而而圆圆环环使使复复连连通通区区域域.注注：单单连连通通区区域域是是不不含含有有 洞洞

2、甚甚至至不不含含有有 点点洞洞 的的区区域域.YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系二、格林公式二、格林公式定理定理YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LDYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐标轴的

3、直线和坐标轴的直线和L至至多交于两点多交于两点.),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 若若区区

4、域域D由由按按段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线围围成成.如如图图,证明证明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32,1来说为正方向来说为正方向对对DLLLYunna

5、nUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系GD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3)由由(2)知知 DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32,1来说为正方向来说为正方向对对DLLLYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系xyoL1.1.简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用三、简单应用ABDBOABOAL YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 LDxdydxd

6、y,BOABOAxdyxdyxdy,0,0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系2.2.简化二重积分简化二重积分xyoAB11DYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 eYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系解解YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系L1DrlxyoLDyxo220 xdyydxxy YunnanUnivers

7、ity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy.2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件)drrr22222sincos 20YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 LDydxxdydxdy23.3.计算平面面积计算平面面积YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系解解 LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0,(aANMYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 AMOydx

8、xdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0,(aANMYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系其中其中L是曲线是曲线|x|+|+|y|=1|=1围成的区域围成的区域D的正向边界。的正向边界。11-1-1LDyxO格林公式的应用格林公式的应用 （格林公式）（格林公式）从从 证明了证明了：练习练习1 1 计算积分计算积分 Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A DyxyPxQdd LyyxQxyxPd),(d),(Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(Yu

9、nnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系练习练习2 2求星形线求星形线tytxL33sin,cos ：所界图形的面积。所界图形的面积。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxODL11-1-1 DyxyPxQddYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系重要意义：重要意义：1.1.它它建立了建立了二重积分二重积分与与曲线积分曲线积分的一种等式关系的一种等式关系2.2.它它揭示了揭示了函数在区域函数在区域内部内部与与边界边界之间的内在联系之间的内在联系4

10、.4.它的应用范围可以它的应用范围可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的应用应用 3.3.从它出发，可以从它出发，可以导出导出数学物理中的数学物理中的许多重要公式许多重要公式更加广泛更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。，而这只需要改变边界的正向定义即可。二二 高斯公式高斯公式YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 设空间区域设空间区域G,如果如果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G,则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域;如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲

11、面,则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域.GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或或高斯公式高斯公式YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系证明证明xyzo),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyDYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法dxdydzzRdv

12、zRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxRYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系,),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR),(于是于是.0),(3 dxdyzyxR.),(dxdyzyxRdvzRYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系,),(dydzzyxPdvxP同理同

13、理,),(dzdxzyxQdvyQ-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos()(dSRQPdvzRyQxP 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系xozy113解解,0,)(yxRQxzyP 2.2.简

14、单应用简单应用:YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系,0,0,zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr)sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)xozy113 301020)(sinrdzzrdrdYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系xyzoh YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系xyDxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为x

15、oyxyD)(:2221hyxhz 补充补充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式取上侧，取上侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围成空间区域围成空间区域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.|),(222hyxyxDxy 其中其中 xyDhyxdzyxdxdy22,0)(xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221 .214h YunnanUniversity1.

16、各种积分间的联系各种积分间的联系 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系三、斯托克斯三、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式-斯托克斯公式斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系n 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 右手法则右手法则xyzo),(:y

17、xfz xyD Cn证明证明如图如图YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系思路思路曲面积分曲面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos(代入上式得代入上式得又又,coscos yfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)(YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)(即即,),(,dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联

18、系 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲线平面有向曲线2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空间有向曲线空间有向曲线YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可证同理可证,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR 故有结论成立故有结论成立.YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPz

19、yx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系StokesStokes公式的实质公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形.1 ,0 ,0cos,cos,cos n此时，此时，YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系1.1.简单应用简单应用0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式,有

20、有dzyxdyzdx dxdydzdxdydzYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系 dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦都为正，弦都为正，的法向量的三个方向余的法向量的三个方向余由于由于 再由对称性知：再由对称性知：如图如图xyDdzyxdyzdx YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系解解则则1,1,131 nzxyo n YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)(34 ds2334 x

21、yDdxdy332.29 )23(zyx上上在在xyD23 yx21 yxYunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联

22、系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系YunnanUniversity1.各种积分间的联系各种积分间的联系