一凑微分法课件.ppt

1、YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算一、一、“凑凑”微分法微分法例如：例如：22(2)2xxee dxdx求 tx 2令dtdx21.2121212CeCedtextt形式上形式上“凑凑”成能由不定成能由不定积分公式求出的积分积分公式求出的积分!简单替换简单替换例例1.)(1constadxaxaxaxd)(tax令dtdx.|ln|lnCaxCttdtYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算“凑凑”微分法微分法:()f x dx求 设法凑成设法凑成()()gxx dx()tx令dttg)(积分公式积分公式CtF)(带回带回 x.)(CxF实

2、质上是一种简单换元积分法实质上是一种简单换元积分法.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例2.tanxdxsincosln|cos|.coscosxdxdxxCxx 例例3.xdxsec22cossincoscos1sindxxdxdxxxx111()sin21 sin1 sindxxx2211 sin1(1 sin)lnln21 sin2cosxxCCxxln|sectan|.xxCYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例4.xdxcsc2cos2sin2sinxxdxxdx2(tan)22tancostan222xxddxxx()2

3、ln|sectan|.cossin()2d xdxxxCxxln|csc|.xcotxC1 cos(tancsc)2sinxxxcotxx例例5.2343xx dx13321(43)(43)9xdx 1332212(43).99t dtx YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算二、换元积分法二、换元积分法例例6.121xe dxx求.)1(.111Cexdexx原式2112.,tdxdtxt 令.)1(122Cedtedttetxtt原式YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算Theorem:()()()()f xxttxt设连续,及皆连续,的

4、反1()tx函数存在且连续,且()()(),ftt dtF tC.)()(1CxFdxxf则证明：证明：)()()(11tFxFdxd).()(1)()(xftttfYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例7.3131xdxx求解：解：3223131,31,(1),3xttxxtdxt dt 令 则dtttdtttt)2(311)1(31423原式.)13)(2(5132CxxYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算22ax dx求例例8.解：解：sin,cos,xatdxatdt令 2222coscosax dxat atdtacos td

5、t.)2sin21(2)2cos1(222Cttadtta2222221(arcsin)21arcsin.22axxaxCaa aaxx axCa22(arcsin,sin22sin cos2).xaxtxtttaaYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例9.221dxxa求解：解：2tan,sec,xatdxatdt令 则22221sec1secln(tantan)secatdttdttaatCata原式).ln(,)ln(122aCCCaxx例例10.22dxxa求解：解：1.sec,sec tan.xatdxattdt令.|ln22CaxxCtdtashtas

6、ht原式ashtdtdxachtx,.2令YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算注：注：2222ln|.dxxxaCxa222221arcsin.22axax dxx axCa“凑凑”微分法与换元积分法比较微分法与换元积分法比较()()ftt dt求 dxxf)(xt)(设()()tx将函数替换为变量()xt 求出这个不定积分,再将结果中的 换成即得所求的不定积分.“凑凑”微分法微分法将函数替换为变量：将函数替换为变量：YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算换元积分法换元积分法将变量替换为函数：将变量替换为函数：()f x dx求,)()(d

7、tttf()xt设 dttdx)()()xt将变量 替换为函数1()tx 求出这个不定积分，再将结果中的 换成即得所求的不定积分.注：注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同结果在形式上可能不相同.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例如：例如：211.sin cossin(sin)sin.2xxdxxdxxC注：注：积分方法以积分方法以“化繁为简化繁为简”为目的为目的.212.sincoscos(cos)cos.2xxdxxdxxC 113.sin cossin2cos2.24xxdxxdxxC Yunn

8、anUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算三、分部积分法三、分部积分法()(),u xv x对于可微函数与有,)(vuvuuvor.)(vuuvvu作不定积分运算,即得,dxuvuvdxvuor,vduuvudv称之为称之为 分部积分公式分部积分公式.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算注注1.不能直接求不能直接求uv dxvdu求 ,u vvduudv 选则的原则是 要比 简单易求,从而达到化繁为简的目的.,vu dx求 udv改写改写转化转化YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算sinxxdx求解：解：(1),sin(co

9、s),uxdvxdxdx令 dxxxxxd)cos(cos)cos(则原式.sincosCxxx2(2)sin,(),2xuxdvxdxd令 则).(sin2sin2)2(sinsin222xdxxxxxdxdxxsinxxdx比 更繁.例例11.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例12.arctan xdx求解：解：2arctan1xxxdxx原式21arctanln(1).2xxxC例例13.dxexx3232()3xex d2323333222()333399xxxxxxexxexdeee dx233233xxxexe dx2322().3927xxxeC

10、YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例14.求求dxax22解：解：222222xxxaxdxxaxa dx 2222222ax xaxa dxdxxa2222222ln|.22xaxa dxxaxxaC2222222ln(2.)2xaxa dxxaxxaC22222212ln|x xaaxxaCxa dx22aaYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例15.cossin.axaxebxdxebxdx求 及解：解：,sincos1cosbxdxeabbxeabxdxeaxaxax1sinsincos,axaxaxbebxdxebxebx

11、dxaa联立联立,解之得：解之得：22sincoscos,axaxbbxabxebxdxeCab22sincossin,axaxabxbbxebxdxeCabYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算注注2.类似的类似的,下列函数下列函数sin,cos,ln,arctan,()sin,()cos,()ln,(sin)kkkaxkmkaxxbxxbxx exxxxp xmxp xmxp xxpx e等等.的不定积分常可用分部积分法可得.注注3.使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时使用若 干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成 为求积分的方程式，解之可得所求积

12、分；有时应特别注 意如下情形：cos1cossin101sinsinsin?xxdxdxdxxxx YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算 将不定积分视为一个数进行运算是错误的将不定积分视为一个数进行运算是错误的,不定积分是不定积分是原函数的集合原函数的集合.此时此时,.|sin|lnsinsinsincosCxxxddxxx使用分部积分公式还可得到一些有用的使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式递推公式,例如例如：(ln),nnIxdxdxxxnxxxdxxInnnn1)(ln)(ln)(ln1,)(ln)(ln)(ln11nnnnnIxxdxxnxx.lnln

13、1CxxxxdxI其中，YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算 初等函数的导数仍是初等函数初等函数的导数仍是初等函数,但求不定积分却不那么但求不定积分却不那么简单简单,有些不定积分不能用初等函数来表示有些不定积分不能用初等函数来表示,如如,sin,sin,22dxxdxxxdxex是非初等函数是非初等函数,即即初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算()()()()()()()()P xP xQ xQ xP xP xQ xQ x若的次数的次数，称 为有理假分式；若的次数的次数，称

14、 为有理真分式.()()()()()P xF xT xQ xQ x多项式除法有理假分式有理真分式（多项式）（多项式）.1264321232224xxxxxxxx四、有理函数积分法四、有理函数积分法1.代数的预备知识代数的预备知识 设设P(x)与与Q(x)都是多项式都是多项式,则有理函数的一般形式是则有理函数的一般形式是.()()P xQ x例如：YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算()()().()()T x dxP xF xdxdxQ xQ x由于易求,因之求关键在于求(),()F xQ x对于有理真分式由代数实系数多项式的因式分解,可设22()()()()(),

15、Q xxax bxpxqxrxs22,(),(),abQ xxpxqxrxsQ x 其中，分别是的重实根，都没有实根，有共轭复根，即有重共轭复根；是自然数.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算根据代数分项分式定理代数分项分式定理,有)()()()()(221axAaxAaxAxQxF)()()(221bxBbxBbxB1122222211222222()().()()()C xDC xDC xDxpxqxpxqxpxqE xFE xFE xFxrxsxrxsxrxs,ijkkmmA B CDEF其中，都是常数.求解常数的方法：YunnanUniversity2.不定

16、积分的计算不定积分的计算方法一方法一：将将()式右端通分，得式右端通分，得)()()()()()(xRxForxQxRxQxF()()F xR x与同次幂的系数相等.由此得到一次联立 方程组，求解即得.方法二：方法二：使用使用“赋值法赋值法”简化对待定系数的求简化对待定系数的求解解.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例16.2222(1)(1)xxx分解 为简单分式之和.解：解：11222222222(1)(1)11(1)B xCB xCxAxxxxx设 43211121121212122()()(2)()().(1)(1)AB xCB xABBC xCCBB

17、xA CCxx1112112121210,0,20,2,2.ABCBABBCCCBBACC11221,1,1,2,0.ABCBC 解方程组,得:比较两端分子的同次幂系数比较两端分子的同次幂系数,得YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例16.2222(1)(1)xxx分解 为简单分式之和.解：解：11222222222.(1)(1)11(1)B xCB xCxAxxxxx设).1)()1)(1)()1(222221122xCBxxCxBxAx有144,1.xAA令，有 1211220,2.1,044422.xACCxABCBC 有有22222,2.BCBC得1122

18、1,1,1,2,0.ABCBC 联立解之得2222,22(),xiiBCBCi 有YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算2.有理函数的不定积分有理函数的不定积分()()F xQ x从式，任何有理真分式的不定积分都能归结为（）不定积分：求下列四种类型分式的(1)ln|.AdxAxaCxa2222222112.(1)(1)11(1)xxxxxxxx所以 2222(3).22ln()arctan244BxCBCBpxpdxxpxqCxpxqqpqp1(2).(2,3,)()(1)()nnAAdxCnxanxaYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算d

19、xqpxxBpCpxBdxqpxxCBx222)2(2224ptxpaq令简 化！)4()2()2()2()(22222pqpxpxdBpCqpxxqpxxdB22222ln()arctan.244BCBpxpxpxqCqpqpIn fact,YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算2(2,3,(4)()nnBxCdxxpxq222()()2()2()nnBd xpxqBpdxCxpxqxpxq211(),2(1)()2nnBBpCIn xpxqYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算422()()24()nnndxppxqdxIxpxq1222

20、21111()2(1)()nnIt daantanatdttn)()2)(1(22（分部积分法）（分部积分法）22()ndtta2222221()ntatdtata12222122111,2(1)()()nnntdtIaa ntata22,(4)2pptxaq令 YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算12221223.2(1)()2(1)nnntnIIa ntaa n因此,nI这是关于 的递推公式.此时,11221arctan,dttICtaaa1231.nnIIIII由 22222311arctan,22ttICataaa33222 24225,133arctan4

21、()88tttICataataaaYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算1(1)1nI nInn只是针对 中的 而言,应与题设中区别.注注2.有理函数总存在初等函数的原函数有理函数总存在初等函数的原函数.注注1.例例16.2222(1)(1)xdxxx求.解：解：2221211(1)dxxxdxdxxxx原式2222221(1)(1)1211(1)dxd xdxd xxxxx2211ln|1|ln(1)arctan.21xxxCxYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例17.求求 2.1(1)dxx x21(1)dxx x2111(1)1d

22、xxxx2111(1)1dxdxdxxxx.1ln|ln|(1)|1xxCx解：解：YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例18.求求 解：解：.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算五、其他类型的不定积分五、其他类型的不定积分（一）简单无理函数的不定积分（一）简单无理函数的不定积分原则：原则：简单无理函数简单无理函数变量替换变量替换有理

23、函数有理函数符号符号 R(u,v)表示以表示以 u 和和 v 为为变量的有理函数变量的有理函数.1.(,)2 0.naxbR xdxnadbccxd型积分，其中且YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算于是则设 ,)(),(,dttdxtctabdtxtdcxbaxnnn(,)naxbR xdxcxd(),)().Rt tt dt积分积分有理化有理化()()tt由于与皆为有理函数，故求这个有理函数的不定积分即可.12(,)knnnaxbaxbaxbR xdxcxdcxdcxd推广求 型的积分，12 (,)nkaxbtnn nncxd可令其中 为的最小公倍数 使其有有理化

24、求解有理化求解.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例1.7781514.xxdxxx解：解：141314,14,xtxtdxt dt设 则有：1114142772131381516151414714()()1414()()ttttt dtt dttttt原式=543211414(1).1tdtttttdtt YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例2.11.1xdxxx解：解：2222114 ,11(1)xtttxdxdtxtt设则 有222222214=41(1)(1)(1)ttttdtdttttt 原式22.111dtdtdttt

25、tYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例3.23(1)(1)dxxx解：解：311=.11xdxxx原 式32333321126,1,111(1)xtttxdxdtxttt 设则323323163 2(1)1tttdtdtttt 原式2211dttdtttt YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算2221(1)(21)ln|1|321(21)3d ttdttttt 2121ln|1|ln(1)3arctan.23ttttC 31().1xtx例例4.21 23xdxxx解：解：22221(1 23)163411 233()331131ln

26、 1 23arcsin.323 3dxxdxxxxxxxC YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算222.(,)0,40(R xaxbxc dxabac型积分，其中无重根).分以下情况考虑：分以下情况考虑：2(0(1)MxNdx aaxbxc形如 的积分222()2MxNMd axbxcdxaaxbxcaxbxc2(),2bMdxNaaxbxc2222 .()()24dxdxaxbxcbba xcaa而YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算此积分形式同此积分形式同：22,arcsindxxCaax或或2222.ln|dxxxaCxa例例5.2

27、214xdxxx222(4)(2)344(2)dxxd xxxx 解：解：22243arcsin.2xxxC YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算2222 ()(),24bbaxbxcdxa xcdxa而2(2)()(0)MxNaxbxcadx形如的积分2()MxNaxbxcdx22()2Maxbxcd axbxca2(),2MbNaxbxcdxaYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算此积分形式同此积分形式同：22222,arcsin22xaxax dxaxCa或2222222ln|.22xaxa dxxaxxaCYunnanUnivers

28、ity2.不定积分的计算不定积分的计算例例6.2(1)25xxxdx222125(25)2(1)42xxd xxxdx原式24ln(125).xxxC 解：解：32221(25)(1)253xxxxxYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算（二）三角函数的不定积分（二）三角函数的不定积分11sincos sec,csc,tan,cossincossinxxxxxctgxxxxx由于 sin cos xx都可化为及的函数，因之，三角函数的不定积分22 tan,()2arctan,21xtxxt dxdtt设则2222222tan1tan2122sin,cos,111tan

29、1tan22xxttxxxxtt(sin,cos)Rxx dx只要讨论形如的积分即可.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算就有就有2222212(sin,cos)(,)111.ttRxx dxRdtttt 这样就把积分有理化了这样就把积分有理化了.从而三角函数从而三角函数 R(sinx,cosx)存存在初等函数的原函数在初等函数的原函数.tan (sin,cos)2xtRxx变量替换 称为关于三角函数的.万能替换YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例7.sincos1ctgxdxxx解：解：2222222 tan,2arctan,sin

30、,2111cos1cos,1sin2xdtttxt dxxtttxtxctgxtxt设则222221212.2112111tttdtdttttttt原式YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例8.221 (01,|)12 cosrdxrxrxr解：解：22 tan,2arctan,21xdttxt dxt设则222222222122(1)=11(1)(1)1 21rrdtdtttrrtrrt原式21()1211()1rdtrrtrtan2xt 12arctan.1rtCrYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算关于关于 R(sinx,cosx

31、)具有某种性质时的一些特殊变量替换具有某种性质时的一些特殊变量替换：1.(sin,cos)cos Rxxx若是的奇函数，即(sin,cos)(sin,cos),sin .RxxRxxtx 设即可例例9.64tan cossinxxdxx解：解：6543tan coscos(sin,cos)cos sinsinxxxRxxxxx是的奇函数.sin,cos,txdtxdx设则有YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算43cos cossinxxdxx原式223(1)tdtt223(1 sin)(sin)sinxdxx32.dtdttdtttYunnanUniversity2

32、.不定积分的计算不定积分的计算2.(sin,cos)sin Rxxx若是的奇函数,即(sin,cos)(sin,cos),cos .RxRxxtx 设即可例例10.334sincosxdxx解：解：334sin(sin,cos)sin cosxRxxxx是的奇函数，cos,sin,tx dtxdx 设 则2341 cos(sin)cosxxdxx 原式15353333333cos.55costtCxCx42233431 tdttdtt dtt YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算3.(sin,cos)(sin,cos),tan .RxxRxxtx若设即可例例11.2

33、sincossincosxxdxxx解：解：21 tan,costx dtdxx设有252tancos sincoscosxxdxxxx原式2222tan(1tan)(1tan)cosxdxxxxYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算2222222211(1)(1)(ln|1|2)4121(1)(1)dtdtdtdtttttt222(1)(1)tdttt222111(2)411(1)dtttdtdtttt22111(ln|).411ttCttYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算sinco,s4.nmxx若被积函数是分以下两种情形讨论：(1)

34、21(),nmmkkN若 与至少有一个是奇数，不妨设 n 为正数，于是22sincossincoscossin(1sin)sin,nmnknkxxdxxxxdxxx dx2(1 sin)kx将按二项式定理展开,逐项积分可解,其形如1sinsinsin.1pPAAxdxxCpYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例12.3tancosxdxx解：解：732 cossinxxdx原式7322coscoscoscosxdxxdx51222cos2cos.5xxC722cos(1 cos)(cos)xxdxYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算(2

35、)nm若与都是偶数，这时由三角公式221 cos21 cos2sin,cos,22xxxxa)含有含有 sin2x 或或 cos2x 的奇次幂，此时可由的奇次幂，此时可由(1)求之；求之；将被积函数化简将被积函数化简,其结果：其结果：b)含有含有sin2x 或或 cos2x 的偶次幂，用上述三角公式化简的偶次幂，用上述三角公式化简,化成含化成含 sin4x 与与 cos4x 的函数，依次类推的函数，依次类推.1sin cossin2,2xxxYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例13.44sincosxxdx解：解：441 sin 22xdx原式66111cos8

36、(12cos4)222xx dxdx1sin8(3sin 4).1288xxxC2411cos4()22xdxYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算5.sincos (,)mxnxdxm nR型解：解：sincos mxnxdx11sin()sin()22mn xdxmn xdx:sincos,sinsin,coscos,Exmxnxmxnxmxnx被积函数是利用三角函数的积化和差公式可解.积化和差cos()cos().()2()2()mn xmn xCnmmnmn YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例14.cos4 cos7xxdx1

37、(cos11cos3)2xx dx原式解：解：sin11sin3.226xxCYunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 1、三角函数有理式的积分、三角函数有理式的积分五、其它形式的不定积分五、其它形式的不定积分YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算2sec2

38、tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222YunnanUniv

39、ersity2.不定积分的计算不定积分的计算duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例8 8 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx YunnanUniversity2.不定积分的

40、计算不定积分的计算解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd.cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法,故三角有理式的计算

41、中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例9 9 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412

42、dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x.tan41Cx YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算讨论类型讨论类型),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt

43、 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例1111 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算例例1212 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx YunnanUniversity2.不定积分的计算不定积分的计算六、小结六、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)合理选择合理选择 ，正确使用分部积分公，正确使用分部积分公式式vu,dxvuuvdxvu