-引-言-8-格的定义(离散数学)课件.ppt
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- 定义 离散数学 课件
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1、8.1 引引 言言对对 A,B,C(S),运算运算,满足:满足:l等幂律等幂律 A AA=AA=A,A AA=AA=A,l交换律交换律 A AB=BB=BA A,A AB=BB=BA A,l结合律结合律 A A(B BC C)=(A AB B)C C,A A(B BC C)=(A AB B)C C,l分配律分配律 A A(B BC C)=(A AB B)(A AC C),),A A(B BC C)=(A AB B)(A AC C),),l吸收律吸收律 A A(A AB B)=A=A,A A(A AB B)=A=A,若引进余集若引进余集的概念,的概念,有有De Morgan定律定律:BABABA
2、BA对对 A,B,CS,运算运算,满足:满足:l等幂律等幂律 AA=A,AA=A,l交换律交换律 AB=BAAB=BA,AB=BA AB=BA l结合律结合律 AA(BCBC)=(ABAB)CC,A A(BCBC)=(ABAB)C C l分配律分配律 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC),A A(BCBC)=(ABAB)(ACAC)l吸收律吸收律 A(AB)=A,A(AB)=A,若引进否定若引进否定 的概念,的概念,有有De Morgan定律定律:(AB AB)=A A B,B,(A AB B)=AA B,B,半序格半序格 定义定义A 给出一个部分序集(给出一个部分序集(L
3、,),如果对于任意如果对于任意a,bL,L的子集的子集a,b在在L中都有一个最大下界中都有一个最大下界(记为记为infa,b)和一个最小上界(记为和一个最小上界(记为supa,b),),则则称(称(L,)为一个格。为一个格。例例.S S是任意一个集合,是任意一个集合,(S S)是是S S的幂集合,的幂集合,则,部分序集则,部分序集(S S),)是一个格。是一个格。因为对因为对 A,B(S),supA,B=ABsupA,B=AB(S),),infinfA,B=ABA,B=AB(S)例例.设设I I+是所有正整数集合,是所有正整数集合,D D是是I I+中的中的“整除关整除关系系”,对任意,对任意
4、a a,b bI I+,aDbaDb当且仅当当且仅当a a整除整除b b,于是,(于是,(I I+,D D)是一个格。是一个格。supasupa,b=ab=a,b b的最小公倍的最小公倍I I+,infinfa,b=aa,b=a,b b的最高公因的最高公因I I+。例例.设设n n是一个正整数,是一个正整数,S Sn n是是n n的所有正因数的集的所有正因数的集合,于是,(合,于是,(S Sn n,D D)是格。因为是格。因为supasupa,b=ab=a,b b的最小公倍的最小公倍 S Sn n,infinfa,b=aa,b=a,b b的最高公因的最高公因 S Sn n。例例.设设S S是所
5、有的命题集合,定义是所有的命题集合,定义“”如下:如下:A B A B 当且仅当当且仅当 B B蕴涵蕴涵A A。则(则(S S,)是一个格。因为是一个格。因为supAsupA,B=ABB=ABS S,infinfAA,B=ABB=ABS S。定义定义A 设(设(L,)是格,是格,S L,如果(如果(S,)是格,是格,则称(则称(S,)是格(是格(L,)的子格。的子格。例例.(S6,D)是(是(S24,D)的子格。的子格。定义定义B 设设L是一个集合,是一个集合,是是L上两个上两个二元代数运算,如果这两种运算对于二元代数运算,如果这两种运算对于L中元中元素满足:素满足:(1)交换律交换律:ab=
6、ba,ab=ba。(2)结合律结合律:a(bc)=(ab)c,a(bc)=(ab)c。(3)吸收律吸收律:a(ab)=a,a(ab)=a。则称此代数系统(则称此代数系统(L,),)为一个格。为一个格。note:定义定义B中由,中由,满足吸收律可推出它们满足吸收律可推出它们一定满足等幂律。一定满足等幂律。证明:证明:任取任取L中元素中元素a,由,由,满足吸收律知,满足吸收律知,a(aa)=a,a(aa)=a。故故aa=a(a(aa),),aa=a(a(a a)。)。又由,又由,满足吸收律知,上面两式的等式右满足吸收律知,上面两式的等式右端都等于端都等于a。因此,因此,aa=a,a a=a。即,即
7、,定义定义B中的,中的,运算亦满足等幂律。运算亦满足等幂律。例例.设设S是一个集合是一个集合,(S)是是S的幂集合,于是,的幂集合,于是,(S),)是一个代数格。而是一个代数格。而(S S),)是半序是半序格。易见对格。易见对 A,B(S),A B AB=A AB=B。例例.设设I+是所有正整数集合是所有正整数集合,两个正整数的最高公两个正整数的最高公因因,最小公倍最小公倍是是I+上两个代数运算,于上两个代数运算,于是是,(I+,)是一个代数格。而(是一个代数格。而(I+,D)是半序是半序格格,D是整除关系。易见,对任意是整除关系。易见,对任意a,bI+,a D b ab=a ab=b。例例.
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