第12章-固体中的声波-理论声学-教学课件.ppt

1、第十二章第十二章 固体中的声波固体中的声波 流体：体积形变、声压、纵波 固体:体积形变和切形变、应力、纵波和横波2023-1-11 叉积 1 ,1,2,31 ,1,2,30 ijki j kci j k 是的偶排列是的奇排列其他iijkjkzc x y固体介质的弹性性质固体介质的弹性性质 2023-1-12应力矢量 固体内部的力的状态 假想切面 两部分的相互作用力 力的方向、大小 应力矢量 正应力矢量，剪应力或剪切应力矢量0limnSddSf2023-1-13 九个应力分量决定一点内部的受力状态 矩阵的形式，对称的实矩阵 1112132122233132332023-1-16坐标系绕原点转动

2、坐标系 新的坐标系 与 夹角余弦 一点在原坐标系中的坐标 新坐标系中 123x x x123x x x jxixija111213212223313233aaaaaaaaaAixiijjxa x 2023-1-17矢量 一矢量在新旧坐标系中的分量 由三个分量组成的物理量，在坐标旋转时分量的变换满足这个关系，这个物理量是矢量 ininiijjna n ijijna n2023-1-18 坐标旋转前后九个应力分量 的切面上正应力 正交变换，对称，相同的特征值 二阶张量转换公式 ijijinnijijnnnijijnn ijijijijijminjmnnnnna a n n ijimjnmna a

3、1 AA2023-1-19二阶张量 一个物理量有九个分量，坐标旋转时分量的变换满足二阶张量转换公式，这个物理量是二阶张量 应力是对称的二阶张量 分量随坐标变换而改变 应力张量决定固体内部作用力的状况 ijminjmna a2023-1-110例 111cossin0sincos0001211cos 222sin 1221sincos 2023-1-111 2 如果 1221112sincos 221221cossin222sincos 41122 2023-1-112主应力方向 方向和 是同向的，剪应力为零 矩阵的特征值问题，特征方程是 iliji jl0ij jill321230III111

4、2233I2222112222333311122331I 22231122331223311123223133122I 2023-1-113 正交实矩阵有三个实的特征值，对应三个特征矢量，互相正交 介质内任意一点存在三个法向方向切面 应力矢量方向与切面垂直 剪应力矢量为零，主应力方向 应力不变量，在主应力方向 1231I 1223312I 1233I 2023-1-114流体 剪应力为零 所有的方向都是主应力方向 123p 2023-1-115应变 位移 相对位移,tu x,ii jjduu dx2023-1-116矢量微分算子 转动坐标系，根据复合函数求导的规则 新旧坐标系中空间求导的规则与

5、矢量的变化一致，三个方向的空间坐标求导组成矢量算子 jijiijjxaxxxxiix 2023-1-117位移的梯度 二阶张量 有些刚性运动的位移梯度也不为零 位移梯度不适于作为形变的度量。,i jijnimmimjnm njnuuaa ua a uxx2023-1-118有限应变 刚性移动不改变任意线段的长度，形变时总有一些线段的长度会改变 位移前后线段长度的平方差作为形变的度量 22dddxux2iiiiiijkjkdxdudxdudx dxdx dx,12jkj kk ji ji kuuu u2023-1-119应变张量 声波位移及导数比较小，忽略高次量 应变分量，位移的线性函数 是张量

6、，称为应变张量,12jkj kk juu2023-1-120伸长应变 与 轴平行的一线元 变形后长度的改变 变形比较小时 线元的相对伸长 1x1dx123,x xx1123,xdx xx11112dx11111111dxdx1111111111dxdxedx2023-1-121剪切应变 在 方向 的分量 的分量 PQ2xP Q 1,22u dx2,221 udx3,22u dx1,33u dx2,33u dx3,331 udxP S 2023-1-122 夹角的余弦夹角的余弦 位移和导数都很小时位移和导数都很小时为 直角在变形后减小的角度 剪应变或剪切应变 1,22 1,332,222,333

7、,223,332222221,22,21,31,32,33,3231111u dx u dxudx u dxu dxudxuuuuuudx dx2,33,2232uu23e232,33,223sin2euu23232e2023-1-123应变张量 写成矩阵的形式 对角线单元等于拉伸应变 其他单元等于剪切应变的一半 jk2023-1-124应变张量不变量 任意一点都有一个特定的取向，这个方向应变张量对角化 应变张量也有三个不变量 介质的体积膨胀系数 112233 22221122223333 11122331 22231122331223311123223133 122 2023-1-125位移

8、梯度 前两项是拉伸应变和剪切应变 最后一项是与形变无关的刚体转动 1,11,21,311121312132,12,22,322122312233,13,23,333132313230 000110000220 000uuueeeuuueeeuuue,.iji jj iuu2023-1-126广义虎克定律 应力和应变是互相依赖的 在应力为零的平衡状态介质的应变为零 应力和应变都很小，线形的关系 81个分量，称为弹性系数分量 ijijklklc,ijijklk lc uijklcijijklkls2023-1-127坐标转动 新坐标系中 两边同乘 四阶张量 mnmnopopcminjmnijklo

9、kplopa ac a aqirja aqrqirjokplijklopa a a a cijklimjnkolpmnopca a a a c2023-1-128张量 由 个分量组成的物理量 坐标系转动时 阶张量 矢量是一阶张量，标量是零阶张量 3n1 2.ni iib1 21 12 21 2.nn nni iii ji ji jj jjbaaabn2023-1-129弹性系数 81个弹性系数并不是独立的 应力和应变都是对称 独立的弹性系数下降为36个 弹性系数是对称的 21个独立的弹性系数，各向异性 对称性使独立的弹性系数减少 各向同性的介质ijkljiklijlkcccijklklijcc

10、2023-1-130缩写下标的方式缩写下标的方式 应力和应变是对称二阶张量，有6个独立分量，缩写下标 应力和应变有一个下标，取值范围从1到6，排成六个单元的列矢量 111222333423513612 1112223334232513261222023-1-131广义虎克定律111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC2023-1-132 21个独立的弹性系数 IJC,1,2,.,6I J ijklc

11、,11,22,33,23,13,12ij kl IJijklCcIJJICCIIJJC弹性系数2023-1-133各向同性的介质 弹性性质与方向无关 坐标系绕旋转180 112233SSS445566SSS5353S5353S 350S2023-1-134各向同性的介质 转动14151624252634360SSSSSSSS4546560SSS111212121112123211444444000000000000000000000000CCCCCCCCCCCC1112442CCC2023-1-135用拉密系数用拉密系数表示11223344556620002000200000000000000

12、0000ijklijklikjliljkc 2023-1-136理想的流体介质理想的流体介质 不能承受剪切应力不能承受剪切应力 三个正应力等于压强的相反数三个正应力等于压强的相反数 绝热体积弹性系数绝热体积弹性系数 04560123123p p usK2023-1-137固体中的运动方程 体元的运动方程 高斯散度定理 运动方程jijiiSVVn dSf dVu dV,j jjjVSA dVA n dS,0ji jiiVfu dV,iji jiuf2023-1-138 对原点力矩的平衡 第一项为 第一项与两项体积分抵消 ijkjmkmijkjkijkjkSVVc xn dSc x f dVc x

13、 u dV,ijkjmkijkjmk mijkj mmkmVVVcxdVc xdVc xdV应力张量的对称性0ijkjkVcdV0ijkjkcijji2023-1-139 各向同性介质的弹性波方程 固体中的运动方程声波方程,iijklk jliuc uf2,0ijklk jlic UU2,0j jii jjiUUU2023-1-140能量密度能量密度 动能密度 势能 准静态 受力212TiEv123jdx dx1123jjuxdx dx 11123jjuxdxdx dx,Vijj iijijIIEu 2023-1-141VijklijklIJIJEcC 011112222klVijklijkl

14、ijklijklijijIJIJIIEccC 2VijklijklEcijklklijcc2023-1-142玻印亭矢量 通过单位面积的功率 玻印亭矢量 反映介质中能量传递的物理量 ijjin v dSiiPniijjPv 2023-1-143能量守恒 外力做功 面积分为 第一项与 合并 jijiiiSVn v dSf v dV,jiiji jijii jjVVvdVvvdViiVf v dV212iiiVVv v dVv dVt2023-1-144 第二项 等于体积内动能和势能的增量 能量守恒12jiijijklijklVVdVcdVt 2023-1-145平面波解平面波解 传播方向 偏振方

15、向 特征值问题 0expiijjUUik x2000ijkljlkick kUU200EI Uijikjlklec k k2023-1-146 三个正的特征值 每个频率确定一个传播速度 对应的偏振方向 2 iik iickk2023-1-147各向同性介质各向同性介质 ikikikjjikek kk kk k 230kk22101221022210320000000kUkUkU2023-1-148纵波 偏振方向与传播方向一致，纵波 2212k100 112ck 11011 10111expexplUUik xitUikxc t230UU2023-1-149 111111011 122expik

16、Uik xit 1111,11011 1expUikUik xit 12233111011 1expik Uik xit 211222011 111sin22TiEuUk xt 12221011 1112sin22VijijEk Uk xt 1122111 11011 12sinPvkUk xt 2023-1-150 位移偏振方向与波矢方向一致位移偏振方向与波矢方向一致 纵波纵波 声场的动能密度等于势能密度 能流速度 11ElPccE230EEcc2023-1-151横波 偏振方向与传播方向垂直，横波 221k2,31ck010 001 22021 1expUUik xit 22,110212

17、211 1exp22UikUik xit 21212211021 1expikUik xit 2023-1-152 能流速度 222222021 111sin22TiEuUk xt 22221021 111sin22VijijEk Uk xt 222211221021 1sinPvkUk xt 11EsPccE230EEcc2023-1-153位移势 220 UUU2,0j jii jjiUUU2 UUU220 UUU2023-1-154位移位，位移势0 U222220 2220pc2220sc2023-1-155各向同性固体中 纵波膨胀波，压缩波，膨胀波，P波 横波切变波或等体积波，S波 纵

18、波和横波的方程互相独立 无限大的介质中独立传播，互不转化 在介质的边界或不均匀的地方耦合 2023-1-156横向各向同性介质横向各向同性介质 11223344556620002000000000000000000000AANFANAFFFCLLN2023-1-15720k 222131 30122213022221 3310300000AkLkFL k kUNkLkUFL k kCkLkU2023-1-158水平偏振的横波，水平偏振的横波，SH波波 222130NkLk 22213NkLk 200200UU 2222sincospNLck2023-1-159 能流速度的方向不一定与波矢方向一

19、致 不同波矢方向的波速不一样122sinsincosENcNL322cossincosELcNL2023-1-160准纵波，垂直偏振准横波，qL，qSV2222222221331130AkLkCkLkFLk k221,3sincos2pACLBc2023-1-1612023-1-162一般的各向异性弹性体 有三个特征值 20EI 123(,)nnnk k k k nnnpc kk nnnlll kkk nnnpckks 1nns2023-1-163一般的各向异性弹性体 任意传播方向都有三个平面波 传播速度不同，偏正方向互相正交 一个波速度比较大，偏正方向接近传播方向，准纵波 两个的速度比较低，

20、偏正方向与传播方向接近垂直，准横波。角谱表示 301expiiiiAitdUk Ukk xkk2023-1-164各向同性2023-1-165平面波的能量关系 0cosniimmuUk xt 0sinnniimmuUk xt,0011sin22niji jj ijiijmmuuk UkUk xt 00sin2nijklijijklklkllkmmcck UkUk xt 0sinnijkllkmmc kUk xt 2023-1-166 2222011sin22nnTiimmEuUk xt 20001sin24nijklVijijjiijlkmmcEk UkUkUk xt 200sin2nijkl

21、jlkimmck kU Uk xtTVEE 2220sinnnTVimmEEEUk xt 200sinnniijjijkllkjmmPvckU Uk xt 2023-1-167能流速度曲面 0020nijkllkjiEinmc kU UPcEU2023-1-168群速度 波包 0expAitdk Ukk xk0t kkk x gkk ck gigiiicckkkkkkgEcc2023-1-169gpcckk1g cs2023-1-1700gd cs2023-1-1712023-1-172平面波在平界面上的反射和折射界面为x=0入射波在xy平面内不带撇和带撇的符号分别表示两种介质的量 2023-

22、1-173平界面边界条件 刚性连接 滑移 一边固体，一边液体 自由界面yyuuxxxxzzuuxxuuxyxyxzxzxxuuxxxx0 xyxy0 xzxzxxuuxxp 0 xy0 xz0 xz0 xxxy2023-1-174入射声波 从介质1入射到界面 方向在 平面内，入射角 入射波可以是纵波或横波 横波可以有不同的偏振方向 偏振方向与界面平行的横波称为水平偏振横波 偏振方向与水平偏振方向垂直的横波称为垂直偏振横波xy2023-1-175水平偏振横波入射水平偏振横波入射 其余出现在边界条件中的位移和应力分量都为零 expIIIzxyUAi kxky cosIIxskk sinIIyskk

23、sskc expIIIIIzxzxxyui kAi kxkyx2023-1-176反射波和折射波 反射波和折射波各有纵波、水平偏振和垂直偏振横波 稳态入射波，反射波和折射波是同样频率的稳态波 水平偏振入射横波只牵涉到一部分边界条件 水平偏振的反射波和折射波有同样的性质 水平偏振横波与其他两种波在界面上脱耦 只产生同样偏振的反射横波和折射横波 2023-1-177Snell定律 反射角等于入射角 折射角和入射角的正弦与两种介质的横波速度成比例 与流体介质的情况类似 coscoscoscosITsssITssBccRAcc 2coscoscosIssITssBcTAcc 2023-1-178钢和有

24、机玻璃 2023-1-179垂直偏振垂直偏振横波入射横波入射 expIIIsssssAikzkUkx2023-1-180 反射波 折射波 expRRRlppplBikkUkx expRRRsssssBik zkUkx expTTTlppplBikkUkx expTTTsssssBikzkUkx2023-1-181Snell定律 RI sinsinsinsinRTTIppsscccc2023-1-182反射系数和折射系数 sincossin2cos2IpIpsIssIssBBABkBkMppssBRAppssBTAssssBRAssssBTA2023-1-183 具体求解用数值方法 临界角 如果

25、反射纵波和两个折射波都是凋落的，发生全反射，反射横波的反射系数的绝对值为1 2023-1-184纵波入射纵波入射 入射波 Snell定律 expIIIlppplAikkUkx RI sinsinsinsinRTTIspspcccc2023-1-185反射波和折射波幅度 cossin2cos2sin2IIpRpIpAkkppppBRAppppBTAssppBRAssppBTA2023-1-186自由界面的反射自由界面的反射 水平偏振横波入射 自由表面上的反射系数是1 2023-1-187垂直偏振横波在自由表面上反射 sinsinpscc222sin2cos2sin2sin2cos 2ppspss

26、pscBcRAcc2222sin2sin2cos 2sin2sin2cos 2pssssspsccBRAcc 2023-1-188纵波入射到自由界面 2222sin2sin2cos 2sin2sin2cos 2ppspppscBcRAcc222sin2 cos2sin2sin2cos 2pssspppscBcRAcc2023-1-189ppssRR 21pppsspRR R2023-1-190声波导声波导 板、棒、钢轨等结构，地层 可以从弹性波方程，边界条件求解 对于平行界面的板状结构，可以采用分波叠加的方法2023-1-191自由平板自由平板 0expzi kxtUU2023-1-192自由

27、平板模式的对称性自由平板模式的对称性 自由平板有一个对称面 模式是对称 或反对称的 0z 00 xxuzuz 00yyuzuz 00zzuzuz 00 xxuzuz 00yyuzuz 00zzuzuz2023-1-193 非简并的模式或者是对称的，或者是反对称的 简并的模式必然是对称模式、反对称模式或两者的线性叠加 只需要研究对称和反对称的模式。2023-1-194 SH模式模式 分波的叠加 反射系数为1 1expyzUi k zkx222zskkc 2expxzUik zkx expexp22zzk bk bikxikx2023-1-195 SH模式与层状流体波导的模式相象 截止频率、传播模

28、式、凋落模式zmmkb222msmkbccosexpmm zik xbsinexpmm zik xb2023-1-196Lamb波波 SV波和纵波在自由界面上的耦合 1expzpAi k zkx 1expzsBi k zkx 2expzpAik zkx 2expzsBik zkx222zppkkc222zsskkc2023-1-197 模式的对称性和反对称性 在上表面 21AA 21BB 1111expexp22expexp22zpzppppsspsszszsik bik bAARRRRik bik bBB2023-1-198 存在非零解得条件 对称模式，反对称模式expexpexp2220e

29、xpexpexp222zpzpzspppszpzszsspssik bik bik bRRik bik bik bRR12222tan42tan2zszpzszpzsk bk k kk bkk 2023-1-199模式 对称模式 反对称模式 22cossincossinexp222zpzszszzpzszpzsk bk bkkUkk kk zk zikx222coscoscoscosexp222zpzszsxzszpzsk bk bkkUikkk zk zikx22sincossincosexp222zpzszszzpzszpzsk bk bkkUk k kk zk zikx222sinsin

30、sinsinexp222zpzszsxzszpzsk bk bkkUikkk zk zikx2023-1-1100 Lamb波的频散曲线 2023-1-1101A1模式的位移 2023-1-1102S1模式的位移 2023-1-1103复波数Lamb波的频散曲线 2023-1-1104A2模式的位移 2023-1-1105S2模式的位移 2023-1-1106表面波 声波沿固体的平面自由表面传播 地震波在地面转化为表面波 大地震在大范围里引起破坏的元凶 压电晶体的表面波实现模拟信号处理 通讯、雷达、手机、电视机、传感器2023-1-1107稳态表面波稳态表面波 厚度无限增大,模式 的极限情况

31、1A1Sexp/2exp/21tan/2exp/2exp/2zszszszszsbbk biibb22264288 321610RRRsRsssspspcccccccccccc2023-1-1108 决定表面波速度的方程 有一个比 1 略小的根 速度比横波速度稍低222expexpexpzpzszRzszpRzsRUikzzik xk 2222expexpexpRxzszszpRzsRkUzzik xk2023-1-11092023-1-1110瞬态表面波瞬态表面波 u,Rzxc t z 2222222pxzct,Rzxc t z 2222222sxzct2023-1-1111 取一个收敛的解

32、析函数 纵波位 横波位 ReRpxc tiz1ImRsxc tiz2023-1-11122023-1-11132023-1-1114细梁和薄板的低频近似理论细梁和薄板的低频近似理论棒的纵振动棒的纵振动 忽略了横向位移，不完全满足波动方程，近似理论,xuu x t2023-1-1115xxux0 xyyyyz0 xzyzzz2xxxxyyzz 02yyxxyyzz 02zzxxyyzz 2023-1-1116 泊松比 杨氏模量 一般不为零,近似 yyzzxx 2xxxxuEEx32Exyxz2 1E11 2E2023-1-1117薄板内的低频波薄板内的低频波 对称模式 1S12222214ssl

33、ckcc224 22pck 2023-1-1118反对称模式 截面回转半径 1A222442222222434112ssllslsbckkccccc c12222442222221323sslckcbcbc K 221SKz dSS2023-1-1119位移 主要分量是板厚方向，与位置无关 横振动 中性面22exp4zlzsxsik k bzUikxc2exp4zlzskk bUikxcxzUikzU 4exp4xzzlsUUik bikxzxc2023-1-1120薄板的横振动薄板的横振动 22222221xykkc K22422210zzUUc K22422201zzEKuuvt2023-

34、1-11212220zzUU2220zzUU1224221c K 00zUAJBI2023-1-1122平面应变问题和平面应力问题平面应变问题和平面应力问题 平面应变问题 0yu 0 xzuuyy2xxxxzz 2zzzzxx xzxz2023-1-1123 平面应力问题 0 xyyyyz42222xxxxyyzzxxzz 42222zzxxyyzzzzxx xzxz2023-1-1124平面应变问题和平面应力问题有对应的关系 222023-1-1125梁的横向振动的基本方程梁的横向振动的基本方程 2242221232kbc K 01222244tuKcxu424220d UUdxc K 位移

35、的四阶微分方程 expUx2422c K2023-1-1126 两个解是稳态传播的波 相速度 群速度 适用条件 波长远大于梁尺度 两个代表衰减和发散的位移pccKk22gccKkcKkKc222gcccKkcK2023-1-1127无限长的梁中传播的瞬态波 初始的扰动向两边传播 频率高的部分传播得快 频率低的部分传播得慢 脉冲拖长 dktkCtkBikxusincosexp2023-1-1128梁位移 中性面 剪应力 弯矩xuuzx 22xxxuuEEzxx 2322xsUUiUikc K Uzxkc323xzuEKx 222xxSuzdSESKx 2023-1-1129有限长的梁有限长的梁 四阶方程，四个边界条件,每个端点两个 钳定边界条件 简支边界条件 自由边界条件 0u 0ux0u 220ux220ux330ux2023-1-1130一端钳定一端自由的梁 超越方程，用数值方法 高阶频率不是基频的整数倍 振型满足正交性 klcosh cos1 l2023-1-1131强劲弦强劲弦 弦的横振动的回复力是张力引起的 梁的横振动的回复力是劲度引起的 张力和劲度起回复力的作用，强劲弦 低频时相当于弦，高频时相当于梁 2244222tuSxuESKxuT2023-1-1132