D11-8一般周期函数的傅里叶级数课件.ppt
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- D11 一般 周期函数 傅里叶 级数 课件
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1、第八节第八节一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 以以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f(x)周期为 2 函数 F(z)变量代换lxz将F(z)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 设周期为2l 的周期函数 f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f(x)的连续点处)naxlxnxflbllndsin)(1其中定理定理.l1xl
2、xnxflldcos)(),2,1,0(n),2,1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数),2,1(n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其中系数其中系数),2,1,0(n证明证明:令lxz,则,llx,z令)(zF,)(z lf则)2()2(zlfzF)2(lz lf)(z lf)(zF所以)(zF且它满足收敛定理条件,将它展成傅里里叶级数:10sinc
3、os2)(nnnznbznaazF(在 F(z)的连续点处)(xf变成是以 2 为周期的周期函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1令lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2,1,0(n),3,2,1(n),2,1,0(n),3,2,1(n(在 f(x)的 连续点处)xlxnxflldcos)(证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1)(nnbxf),2,1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f(x)的连续点处)lxnsinl20l如果 f(x)为
4、偶函数,则有(在 f(x)的连续点处)2)(0axf),2,1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注:无论哪种情况,).()(21xfxf在 f(x)的间断点 x 处,傅里里叶级数收敛于l20l如果 f(x)为奇函数,则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.把周期为4函数,一个周期表示为展开成()(22)f xxx 傅里叶级数;.解解:2oyx),2,1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2,1()1(41nnn14)(nxf).)12(2,.6,2,(2sin)1(1kxxxnnn在 x=2
5、k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束).)12(2,.6,2(0)(kxxf二、非周期函数的展开二、非周期函数的展开1 1。周期延拓的情形周期延拓的情形 设函数设函数 f(t)在在-l,l )上满足上满足Dirichlet 条件条件为了将其展开为为了将其展开为Fourier 级数,需要将级数,需要将 f(t)在在-l,l )以外进行周期性延拓,也就是作一个周期以外进行周期性延拓,也就是作一个周期为为 2 l 的函数的函数 F(t)使得使得F(t)在在-l,l )上上与与f(t)恒等,将恒等,将F(t)展开成展开成Fourier 级数级数 10)sincos(2)(nnnlt
6、nbltnaatF )1(而而在在 -l,l )的连续点处,的连续点处,有有 10)sincos(2)(nnnltnbltnaatf 若若 t 0 是是 -l,l )内的间断点,则在该点处,级内的间断点,则在该点处,级数收敛于数收敛于2)0()0(00 tftf)2(2 2。非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓 如果函数如果函数 f(t)只是定义在只是定义在 0,l 上,且上,且在在 0,l 上满足上满足Dirichlet 条件,需要展开条件,需要展开成成 Fourier 级数,就要先在级数,就要先在 -l,0)上上 补充补充 定义,或者说构造一个新函数定义,或者说构造一个新函数 F(
7、t)使得在区间使得在区间 0,l 上有上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方然后按照周期延拓的方法将法将F(t)展开成展开成 Fourier 级数级数,当限制自变量在,当限制自变量在 0,l 上上时,就得到时,就得到 f(t)的的Fourier 展开式展开式一般而言,一般而言,奇延拓的收敛域不包括端点奇延拓的收敛域不包括端点 偶延拓的收敛域包括端点偶延拓的收敛域包括端点例例2.把展开成()(22)f xxx 傅里叶级数;.解解:将 f(x)作周期延拓,则有2oyx),2,1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2,1()1(41
8、nnn14)(nxf2sin)1(1xnnn(22)x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.把展开成)20()(xxxf(1)正弦级数;(2)余弦级数.解解:(1)将 f(x)作奇周期延拓,则有2oyx),2,1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2,1()1(41nnn14)(nxf2sin)1(1xnnn)20(x在 x=2 k 处级数收敛于何值?2oyx(2)将 作偶周期延拓,)(xf),2,1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1)1(422nnxxf)(200d22xx
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