BBD31不定积分的概念及性质课件.ppt

1、主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学 第二十讲1第三章微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算一元函数积分学 2三、三、基本积分表基本积分表 二、不定积分的性质二、不定积分的性质一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第三章 3一、一、原函数及其性质原函数及其性质引例引例:).(tv),(tv求质点的运动规律试求质点在时刻定义定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)即已知某一函数的导数或微分要求出原来的函数。为了便于研究这

2、类问题，我们引进原函数与不定积分已知作直线运动的质点的运动规律是)(tss t则)()(tstv已知作直线运动的质点在任一时刻的瞬时速度).(tss 的概念。的瞬时速度逆问题：逆问题：4例：例：xxxln1ln是x1的一个原函数xx2)(252x是的一个原函数x2xx2)5(2xx2)7(22x是x272x是x2的一个原函数的一个原函数5问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理定理1.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数6,)()(的一个原函数是若x

3、fxF定理定理 2.的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)(C 为任意常数)内。证证:1)的全体原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF)()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C属于函数族.)(CxF定理定理3：设)(x和)(xF是)(xf的两个不同的原函数，则它们之间只差一个常数。7)(xf在区间 I 上的全体原函数称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)(被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若,)

4、()(xfxF则CxFxxf)(d)(C 为任意常数)C 称为积分常数体现了积分常数体现了全体原函数全体原函数不可丢不可丢!例如例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作二、不定积分二、不定积分定义定义 2.8不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x的积分曲线积分曲线.9例例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解解:xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点(1,2),故有C2121C因此所求曲线为12 xyyxo)2

5、,1(10三、不定积分的性质三、不定积分的性质xxfkd)(.1xxgxfd)()(.2xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k（提因性质）（和差的不定积分等于不定积分的和差）11xdd)1(xxfd)()(xfdxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号与微分运算记号d连在一起时，或相互抵消，或抵消后只差一个常数。即“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。”从不定积分定义可知:1221d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sin或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx

6、cosarcxxdsin)7(Cx cosxx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x)1()ln()ln(xxx1xkd)1(k 为常数)Cxk 四、四、基本积分公式基本积分公式(P171)13xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(CaaxlnCxd0)14(xx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan14例例1.求求.d3xxx解解:原式 =xxd34134Cx313例例2.求.dcossin22xxx解解:原式=xxdsin21Cxcos21134xC.c

7、ossin2sin21xxx 15dxxxex)5sin32(dxxxdxdxex215sin32Cxxxex310cos32注：注：在分项积分后，别含有任意常数，则只要在最后总的加上一个任意常数即可。例例3：解：解：原式虽然中间的几个不定积分都分但由于其代数和仍为任意常数，16例例4.求.d)5(2xexx解解:原式=xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C例例5dxxx122dxx)111(2Cxxarctan例例6dxxx2cos1cos1dxxx2sin2cos1csccotcsc212xdxxxdxCxxcsccot2117例例7.求求.d

8、tan2xx解解:原式=xxd)1(sec2Cxx tan例例8.求.d)1(122xxxxx解解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctanCx ln例例9：求dxxx2)1(解：解：原式dxxx1121Cxxx4ln18例例10.求求.d1.124xxx解解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313xdx2cos.22解解:原式=xdxcos121Cxxsin2119例例11.求下列积分:.cossind)2(;)1(d)1(2222xxxxxx解解:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x)1(d22xxxxxx22cossind221xxdxxdCxxarctan1xdxxdx22cscsecCxxcottan20内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P 171)2.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质21作业作业P174 1 ;2 22