9-8多元函数的极值及其求法课件.ppt

1、四川大学数学学院 邓瑾2023-1-1四川大学数学学院 邓瑾xyz一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如:在点在点(0,0)有极小值有极小值;在点在点(0,0)有极大值有极大值;在点在点(0,0)无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.00(,)(,)f x yf xy 00(,)(,)f x yf xy 或或2234zxy22zxy zxy 00(,)(,)zf x yxy 在在点点的某去心邻域的某去心邻域xyzxy

2、z2内有内有四川大学数学学院 邓瑾说明说明:使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为的点称为驻点驻点.例如例如,定理定理1(必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy取得极值取得极值,取得极值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点(0,0),但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值,则有则有00(,)(,)zf x yxy 在在点点存在存在00(,)(,)zf x yxy 因因在在点点0(,)zf x

3、 y 在在0 xx 故故0(,)zf xy 在在0yy zxy 3四川大学数学学院 邓瑾时时,具有极值具有极值定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当证明见证明见 第九节第九节(P122).时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数00(,)(,)zf x yxy 在在点点的的0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy20ACB20ACB20ACB4四川大学数

4、学学院 邓瑾例例1 1.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组ABC(,)xfx y 23690 xx(,)yfx y 2360yy的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数(,)66,xxfx yx(,)0,xyfx y (,)66yyfx yy 12,A 0,B 6,C 21260,ACB(1,0)5f 0,A 3322(,)339f x yxyxyx5四川大学数学学院 邓瑾在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为

5、极大值.(,)66,xxfx yx(,)0,xyfx y (,)66yyfx yy 12,A 0,B 6,C 21260,ACB (3,0)f12,0,6ABC (3,2)31f212(6)0,ACB 0,A 在点在点(1,2)处处不是极值不是极值;12,0,6ABC (1,2)f212(6)0,ACB ABC6四川大学数学学院 邓瑾例例2.讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解:显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值可能为点邻域内的取值可能为因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此220,xy 当当时时222()zxy(0,0)0z为

6、极小值为极小值.正正负负033zxy222()zxy在点在点(0,0)并且在并且在(0,0)都有都有 20ACB33zxy222(0,0)(0,0)()0zxy222()zxy7四川大学数学学院 邓瑾将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导2224022240 xxyyxz zzyz zz 将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解2212012020 xxxxxyyyyyxyyxxyz zzzz zzzz zzzz =012xxyyzzz 0 xyz8四川大学数学学院 邓瑾11|,|0,|,22xxPxyPyyPAzBzCzzz函函数数在在P有有极极值值.将将

7、)1,1(P代代入入原原方方程程,有有6,221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1,1(fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所以所以6)1,1(fz为极大值为极大值.9四川大学数学学院 邓瑾求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.10四川大学数学学院 邓

8、瑾最值应用问题最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,f(P)为极小为极小 值值f(P)为最小为最小 值值(大大)(大大)依据依据11四川大学数学学院 邓瑾解解xyo6 yxDD如图如图,先求函数在先求函数在D内的驻点内的驻点.0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1,2(,解方程组解方程组12四川大学数学学院 邓瑾

9、在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4,021 xx,2|64 xxy,64)2,4(f 比较后可知比较后可知4)1,2(f为最大值为最大值,64)2,4(f为最小值为最小值.xyo6 yxD13四川大学数学学院 邓瑾,0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21(,解解 由由14四川大学数学学院 邓瑾即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为所以最大值为21，最小

10、值为，最小值为21.因为因为01lim22 yxyxyx15四川大学数学学院 邓瑾二、二、条件极值条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如,转化转化(,)0,x y 在在条条件件下下(,)zf x y 求求函函数数的的极极值值(,)0()x yyx从从条条件件中中解解出出(,()zf xx 16四川大学数学学院 邓瑾(,)0,x

11、y 在在条条件件下下方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记(,).zf x y 求求函函数数的的极极值值(,)0 x y (),yx (,()zf xx 例如例如,故故 dd0ddxyzyffxxd,dxyyx 因因0 xxyyff yxxyff 故有故有 17四川大学数学学院 邓瑾引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数 L 称为称为拉格朗日拉格朗日(Lagrange)函数函数.0 xxxLf0yyyLf0L 参数参数 称为称为拉格朗日乘子拉

12、格朗日乘子.极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf(,)0 x y 则极值点满足则极值点满足:利用拉格朗日函数求极值的方法称为利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘拉格朗日乘数法数法.(,;)(,)(,)L x yf x yx y18四川大学数学学院 邓瑾推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形.设设解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件(,)uf x y z(,)0,x y z (,)0 x y z 12(,)(,)(,)Ff x y z

13、x y zx y z 120 xxxxFf 120yyyyFf 120zzzzFf 10F 10F 19四川大学数学学院 邓瑾故极值点必满足故极值点必满足(,)0(,)0 x y zx y z (),(),yy xzz x (,(),()uf x y x z x事实上事实上,ddd0dddxyzuyzfffxxxd1(,)d1(,)(,),d(,)d(,)(,)yzJxJz xxJx yy z 因因其其中中(,)(,)(,)0(,)(,)(,)xyzfffy zz xx y 故有故有200 xyzxyzxyzfff 即即1212120000,0 xxxyyyzzzfff 四川大学数学学院 邓瑾

14、例例6.要设计一个容量为要设计一个容量为V0的长方体开口水箱的长方体开口水箱,试问试问 则问题为求则问题为求x,y,令令解方程组解方程组解解:设设 x,y,z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件xF 20zyyz yF 20zxxz zF 2()0 xyxy F 00 xyzV水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？0 xyzV 2()Sxzyzxy02()()FxzyzxyxyzV xyz21四川大学数学学院 邓瑾22210210220yzxzxy xy 2yz 00 xyzV3022,xyzVxF

15、 20zyyz yF 20zxxz zF 2()0 xyxy F 00 xyzV四川大学数学学院 邓瑾得唯一驻点得唯一驻点3022,xyzV3042V 由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此,当高为当高为034,Vxyz思考思考:1)当水箱封闭时当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知利用对称性可知,30 xyzV2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价欲使造价最省最省,应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数?长、宽

16、、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何?提示提示:02()()FxzyzxyxyzV 2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等.23四川大学数学学院 邓瑾解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为24四川大学数学学院 邓瑾25 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 3232323020012xyzxFx y zxyFx y zyzFx y zzxyz 3,2xz yz2z32xyz四川大学数学学院 邓瑾解解设设),(00

17、0zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ，202|byFPy ，202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为26四川大学数学学院 邓瑾 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,27四川大学数学学院 邓瑾在条件在条件1220220220 czbyax下

18、求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu 28四川大学数学学院 邓瑾当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min.01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 29四川大学数学学院 邓瑾内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函

19、数的条件极值问题(1)简单问题用代入法简单问题用代入法(,),zf x y(,)0(,)0 xyfx yfx y 如对二元函数如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法30四川大学数学学院 邓瑾设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定定义域确定定义域(及约束条件及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件在条件求驻点求驻点.(,)zf x y(

20、,)0 x y (,)(,)Ff x yx y0 xxxFf0yyyFf0F 31四川大学数学学院 邓瑾已知平面上两定点已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C,使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设设 C 点坐标为点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习1 2 310130ijkxy 1(0,0,310)2xy221(0,0)94xyxy则则 12SABAC 13102xy32四川大学数学学院 邓瑾设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知,点点 C 与与 E

21、重合时重合时,三角形三角形面积最大面积最大.222(310)(1)94xyFxy 22(310)09xyx 26(310)04xyy 221094xy1.646S 34,55xy2,3.5,DESS点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停33四川大学数学学院 邓瑾备用题备用题 1.求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则则2,xyz zyx它们所对应的三个三角形面积分别为它们所对应的三个三角形面积分别为2112sin,SRx 2122sin,SRy 2132s

22、inSRz 0,0,0 xyz设拉氏函数设拉氏函数sinsinsin(2)Fxyzxyz解方程组解方程组cos0 x,得得23xyz 故圆内接正三角形面积最大故圆内接正三角形面积最大,最大面积为最大面积为 2max23sin23RS 23 3.4R cos0y cos0z 20 xyz 34四川大学数学学院 邓瑾为边的面积最大的四边形为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件试列出其目标函数和约束条件?提示提示:11sinsin22Sabcd(0,0)目标函数目标函数:22222cos2cosababcdcd约束条件约束条件:,a b c dabcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最

23、大即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以求平面上以35四川大学数学学院 邓瑾例例5.解解:设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水箱的有盖长方体水箱,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?2m,xy 2A xy2xyy 2xyx 222xyx y00 xy 222()0 xxAy222()0yyAx因此可因此可断定

24、此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时,水箱所用材料最省水箱所用材料最省.33(2,2)323332222 36四川大学数学学院 邓瑾例例6.有一宽为有一宽为 24cm 的的长方形长方形铁板铁板,把它折起来做成把它折起来做成解解:设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,A 2422 cosxx 242x1(2)sinx 2224 sin2sincossinxxx242x x积最大积最大.2(:012,0)Dx 为为问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面37四川大学数学学院 邓瑾24 cosx 22cosx 222(cossin)0 x令令xA 24sin 4 sinx 2 sincos0 xA 解得解得:由题意知由题意知,最大值在定义域最大值在定义域D 内达到内达到,而在域而在域D 内只有内只有一个驻点一个驻点,故此点即为所求故此点即为所求.sin0,0 x 2224 sin2sincossinAxxx2(:012,0)Dx 122cos0 xx 2224cos2 cos(cossin)0 xx60,8(cm)3x 38