62-多元函数的基本概念汇总课件.ppt

1、6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念二、二元函数的定义二、二元函数的定义三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性下一页下一页 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点，是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx一、平面区域的概念 下一页下一页（2）区域）区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个点如果存在点一个

2、点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE.EE 的内点属于的内点属于EP.为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集.EPE)P(UP的外点的外点为为点点则称则称的某个邻域的某个邻域如果存在点如果存在点 下一页下一页的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界

3、点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 下一页下一页连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo下一页下一页0|),(yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切

4、即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41|),(22 yxyx下一页下一页二、二元函数的定义二、二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数下一页下一页例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域

5、为.,42|),(222yxyxyxD 下一页下一页二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz （如下页图）（如下页图）下一页下一页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.下一页下一页xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:下一页下一页二元函数极限的精确定义二元函数极限的精确定义：使得当2020)()(0yyxx时，|f(x,y)A|定义定义 如果对于任意给定的0，总存在正数，恒成立，则称当P(x,y)趋于P0(x0,y0)时，函数f(x

6、,y)以 A为极限，记为 Ayxfyxyx),(lim),(),(00或Ayxf),(lim0。比较：比较：一元函数极限的定义一元函数极限的定义 如果对于任意给定0，总存在0，使当0|xx0|时，|f(x)A|，则称当 x 趋于 x0时，函数 f(x)以常数 A为极限。三、二元函数的极限三、二元函数的极限下一页下一页而 22)2()1(|1|yxx，证明：证明：因为|(3xy)5|(3x3)(y2)|3|x1|y2|，22)2()1(|2|yxy，所以，当22)2()1(0yx时，于是，只要取41，则当22)2()1(0yx时，|(3xy)5|34。恒成立，因此5)3(lim)2,1(),(y

7、xyx。|(3xy)5|例例 6 证明5)3(lim)2,1(),(yxyx。例例1下一页下一页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似下一页下一页例例 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在下一页下一页不存在

8、不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 播放播放下一页下一页（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：下一页下一页 (2)极限),(lim),(),(00yxfyxyx存在；定义定义3 设函数f(x,y)满足条件：(1)在点

9、(x0,y0)的某邻域内有定义；(3),(lim),(),(00yxfyxyxf(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点(x0,y0)连续，否则称点(x0,y0)是函数 f(x,y)的间断点。例如例如 函数f(x,y)=3xy在(1,2)的邻域内有定义，且)3(lim)2,1(),(yxyxf(1,2)5，所以函数在点(1,2)连续。四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性下一页下一页 如果函数f(x,y)在平面区域D内每一点都连续，则称函数f(x,y)在区域D内连续。函数f(x,y)=3xy在整个xOy面内是连续的。DOxyz yf(x,y)DOxyz yf(x,y)提问：提问：连续函数f(

10、x,y)在几何上有什么特点？四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性下一页下一页 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的多元函数称为多元初等函数。哪些多元函数是连续的？哪些多元函数是连续的？解解：xyyxyxf),(是初等函数，在点(1,2)有定义，所以函数f(x,y)在点(1,2)是连续的，因此 是初等函数，在点(1,2)有定义，xyyxyx)2,1(),(lim)2,1(),(limyxf(x,y)f(1,2)f(x,y)f(1,2)f(x,y)f(1,2)23。例例

11、9 求xyyxyx)2,1(),(lim。例例3下一页下一页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理下一页下一页小结1 1、平面区域的概念、平面区域的概念2 2、二元函数的定义、二元函数的定义3 3、二元函数的极限、二元函数的极限4 4、二元函数的连续性、二元函数的连续性5 5、与一元函数比较、与一元函数比较作业作业6-26-23 3、选一、选一4 4、选二、选二5 5*结束结束