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1、3 二元函数的连续性二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分无论是单元微积分还是多元微积分,其中其中所讨论的函数所讨论的函数,最重要的一类就是连续函最重要的一类就是连续函数数.二元函数连续性的定义比一元函数二元函数连续性的定义比一元函数更一般化更一般化 了些了些;而它们的局部性质与在有而它们的局部性质与在有界闭域上的界闭域上的整体性质整体性质,二者完全相同二者完全相同.一、二元函数的连续性概念一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的性质二、有界闭域上连续函数的性质一、二元函数的连续性概念 连续性的定义连续性的定义.D 0,0,0(;)PU PD 若若只要只要,就有就有0|()(

2、)|,(1)f Pf P 则称则称 f 关于集合关于集合 D 在点在点 连续连续.在不致误解的情形在不致误解的情形 0P下下,也称也称 f 在点在点 连续连续.0P若若 f 在在 D 上任何点都关于集合上任何点都关于集合 D 连续连续,则称则称 f 为为 D 上的上的连续函数连续函数.2RD 定义定义1 设设 f 为定义在点集为定义在点集上的二元函数上的二元函数,0P由上述定义知道由上述定义知道:若若 是是 D 的孤立点的孤立点,则则 必定是必定是 0P0P00lim()().(2)PPP Df Pf P 0P f 的连续点的连续点.若若 是是 D 的聚点的聚点,则则 f 关于集合关于集合 D

3、 在点在点 连续等价于连续等价于 0P如果如果 是是 D 的聚点的聚点,而而(2)式不成立式不成立(其含义与一元其含义与一元0P函数的对应情形相同函数的对应情形相同),则称则称 是是 f 的的不连续点不连续点(或或 0P称称间间断点断点).特别当特别当(2)式左边极限存在式左边极限存在,但不等于但不等于 0()f P0P是是 f 的的可去间断点可去间断点.时时,22,(,)(0,0),(,)(0)0,(,)(0,0),xx yf x yxyx y 在坐标原点的连续性在坐标原点的连续性22(cos,sin)(cos)0,f rrrr (,)(0,0)lim(,)0(0,0),x yf x yf因

4、此因此 此时此时 f 在原点连在原点连例例1 讨论函数讨论函数 解解 由于当由于当 20r 且时,且时,(,)(0,0)2,lim(,)x yf x y 时时续续;而当而当 不存在，不存在，此时此时f 在原点间断在原点间断 全增量与偏增量全增量与偏增量 00000(,)(,),P xyP x yDxxxyyy 、设设0000(,)(,)(,)zf xyf x yf xy 称称0000(,)(,)f xx yyf xy 量形式来描述连续性量形式来描述连续性,即当即当为函数为函数 f 在点在点 的全增量的全增量.和一元函数一样和一元函数一样,可用增可用增 0P(,)(0,0)(,)lim0 xyx

5、 yDz 时时,f 在点在点 连续连续.0P00,xy 或或如果在全增量中取如果在全增量中取 则相应得到的则相应得到的 增量称为偏增量增量称为偏增量,分别记作分别记作000000(,)(,)(,),xf xyf xx yf xy 000000(,)(,)(,).yf xyf xyyf xy 一般说来一般说来,函数的全增量并不等于相应的两个偏增函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和量之和.若一个偏增量的极限为零若一个偏增量的极限为零,如如 000lim(,)0,xxf xy 0yy 0(,)f x y则表示当固定则表示当固定 时时,作为作为 x 的函数的函数,它它 在在 x0 连续连续.同理同

6、理,000lim(,)0,yyf xy若若 则表示则表示当当 容易证明容易证明:当当 f 在其定义域的内点在其定义域的内点 连续时连续时,00(,)xy0(,)f x y0(,)f xy在在 x0 与与 在在 y0 都连续都连续.但是反过来但是反过来,由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该函数的连续性函数的连续性(除非另外增加条件除非另外增加条件).例如二元函数例如二元函数固定固定 时时，0(,)f xy在在 y0 连续连续.0 xx10,(,)00 xyf x yxy ，在原点处显然不连续在原点处显然不连续,但由于但由于 f(0,y)=f(x

7、,0)=0,因此它在原点处对因此它在原点处对 x 和对和对 y 分别都连续分别都连续.连续函数的局部性质连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则以及相应的有理运算的各个法则.若二元函数在某一点连续若二元函数在某一点连续,则与一元函数一样则与一元函数一样,可以可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性定理定理16.7(复合函数的连续性复合函数的连续性)设函数设函数(,)ux y 和和 义义,并在点并在点 Q0 连续连续,其中其中 000000(,),(,).uxyvxy 则复合函数则复合函数(,)(,),(,)g x yfx yx y 在

8、点在点 P0 也也 连续连续.(,)vx y 在点在点 的某邻域内有的某邻域内有定义定义,并在并在 000(,)P xy点点 连续连续;f(u,v)在点在点 000(,)Q u v0P的某邻域内有定的某邻域内有定二、有界闭域上连续函数的性质二、有界闭域上连续函数的性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.定理定理16.8(有界性定理与最大、小值定理有界性定理与最大、小值定理)若二元若二元 函数函数 f 在在有界闭域有界闭域2RD 上连续上连续,则则 f 在在 D上有界

9、上有界,且能取得最大值与最小值且能取得最大值与最小值.定理定理16.9(一致连续性定理一致连续性定理)若函数若函数 f 在有界闭域在有界闭域 2RD 0,上连续上连续,则则 f 在在 D 上一致连续上一致连续.即即存存 0,(,)P Q 在只依赖于在只依赖于 的的 使得对一切满足使得对一切满足,P QD|()()|.f Pf Q 必有必有 的的点点定理定理16.10(介值性定理介值性定理)设函数设函数f在区域在区域2RD 上连续上连续,若若P1,P2 为为 D 中任意两点中任意两点,且且12()(),f Pf P 则对任何满足不等式则对任何满足不等式12()()(4)f Pf P 0PD 0(

10、).f P 的实数的实数 ,必存在点必存在点,使得使得 有连通性的有连通性的.界闭集界闭集(证明过程无原则性变化证明过程无原则性变化).但是介值性定理但是介值性定理 中所考察的点集中所考察的点集 D 只能假设是一区域只能假设是一区域,这是为了保这是为了保 证它具有连通性证它具有连通性,而一般的开集或闭集是不一定具而一般的开集或闭集是不一定具 续函数续函数,则则 f(D)必定是一个区间必定是一个区间(有限或无限有限或无限).注注2 由定理由定理16.10 又可知道又可知道,若若 f 为区域为区域 D 上的连上的连注注1 定理定理16.8 与与 16.9 中的有界闭域中的有界闭域 D 可以改为有可以改为有