--扩域和分裂域课件.ppt

1、目录后页返回1 1前页 引理5.3.1 -同构 定理5.3.1 -扩域和分裂域 定理5.3.2 -域中元的唯一表示 例3 例45.35.3 多项式的分裂域多项式的分裂域(1)(1)一、分裂域的定义一、分裂域的定义 定义5.3.1 -分裂域 例1 例2 定义5.3.2 -导数 定理5.3.3 -分裂域的同构 例6 推论2 例5 推论1 例7目录后页返回2 2前页 定理5.3.5 -重根的判断 定理5.3.7 -完备域上多项式 定理5.3.8 -不可约多项式与分裂域 定理5.3.6 -有限域是完备域 定义5.3.3 -完备域 例8 参考资料参考资料 推论3 引理5.3.2 -导数的性质 定理5.3

2、.4 -多项式重根条件5.35.3 多项式的分裂域多项式的分裂域(2)(2)目录后页返回3 3前页数多项式.如果 能分解成 中一次因式的乘积，()f x E xE则称 在在 上是分裂的上是分裂的.如果 在 上是分裂的,()f x()f xE但在 的任一包含 的真子域 上不分裂,则称()f xEFE为多项式 在 上的分裂域分裂域(splitting field).()f xF定义5.3.1 设 是 的扩域.为 上的一个非常()f xEFF一、分裂域的定义一、分裂域的定义目录后页返回4 4前页注注 多项式在域上的分裂域不仅依赖于该多项式，还依赖于域.下一例子就是要说明 上的多项式 F的分裂域是如何

3、依赖于域 的.()f xF目录后页返回5 5前页例例1 考虑多项式 .因为,我们发2()1 Qf xxx 现 在 中是分裂的,但它在 上的分裂域是()f xCQ(i)i|,.QQaba b在 上的分裂域是 .又 21xRC如,在 上是分裂的,但它在 上的分裂23 QxxRQ域 是 (它也等于 ).(3)3|,QQaba b 3Q目录后页返回6 6前页注注 分裂域的定义与不可约多项式的定义有相似之处.就象我们说“是不可约的”没有意义一样,()f x说“是 的分裂域”也同样是没有意义的.在上述E()f x两种情况中都必须指明基域,即必须说“在 上()f xF不可约”和“是 在 上的分裂域”.E()

4、f xF目录后页返回7 7前页定理定理5.3.1 设 是域,是 的非常数多项式,那 F()f xF么存在 的扩域 ,使 为 在 上的分裂域.FEE()f xF证证 我们对 用数学归纳法.deg()nf x那么已经 是一次的,所以 .()f xEF5.2.1,存在 的扩域 ,使 在 中有根,设为 .E1aF()f xE则 .1()()(),()f xxa g x g xE x因为 ,由数学归纳法,存在包含 deg()deg()g xf x1n 如果及所有次数小于 的多项式结论都成立,则由定理()f x假设对所有的域目录后页返回8 8前页和 的所有根(设为 )的 域 ，显然E()g x2,naaK

5、就是 在 上的分裂域.12(,.)()nEF a aaK()f xF例例2 考虑 4222()2(2)(1).f xxxxxxQ(2,i)(2)(i)i|,(2)(2)(2)i|,.abcda b c d QQQQ显然,的根是 和 .所以 在 上的分裂i()f x2()f xQ域是目录后页返回9 9前页例例3 考虑 .则 23()2 f xxxxZ (见3.2习题14)是在 上 33ii|,aba bZZ()f x3Z的分裂域.这是因为()(1i)(1 i).f xxx同时,由定理2.1的证明知道 的元23/2ExxxZ素 是 的根.22xxx()f x于是 在 中分裂.又因为 只有九个元素,

6、显然()f xEE因为 是2次的,所以 的另一个根也在 ()f xE()f x内.目录后页返回1010前页在 中分解 时会出现记号上的混淆.E()f x因为我们既用 表示 上的未定元,又用 表示 中的x3ZxE陪集代表元.为了避免记号的混乱,我们可以将陪集 与 中的1等同,并将陪集22xxx3Z22xxx记作 .于是,0,1,2,2,1,21,2,22.E 这些元素间的加和乘与多项式的运算是一样的.但是 也是 在 上的分裂域.但是我们在 中怎样来()f x3ZEE分解 呢?()f x目录后页返回1111前页由于 ,因此 ,22220 xxxx 所以 .由于 221 2(22)222(21)22

7、22,所以 22()(22)()(1).xxxxxx于是,我们已经找到了 在 上的两个 分裂域，22xx3Z一个是 ,而另一个则具有形式 (这里，()F i/()F xp x).23,()2FP xxxZ目录后页返回1212前页定理定理5.3.2 设 是域,在 上不可约.如果 是 F()p xaF 在 的某个扩域 中的根,那么 同构于 FE()F a()p x/().F xp x 而且,如果 ,那么 中的元deg()p xn()F a都能惟一地表为如下的形式 121210,nnnncacac ac其中 .011,nc ccF目录后页返回1313前页证证 考虑从 到 的映射 .F x()F a:

8、()()f xf a因为 ,所以 .()0p a()p xKer另一方面,由于 是 上的不可约多项式,所以由定()p xF,KerF x于是我们有 .从而 是 的子域.KerF x()F x()F a注意到 包含 和 ,而 是满足这一性质()F xFa()F a的最小域,所以有 F x理4.4.3知,是 的极大理想,但理想()p x/()()().F xp xF xF a然 是环同态.目录后页返回1414前页由于 中的每个元素都能惟一地表为 /()F xp x12120()nnnncxcxcp x的形式,这里,011,.nc ccF，且从 到 的同构将上述/()F xp x()F a元素映为1

9、21210.,nnnncacac ac后一部分成立.因此 定理的目录后页返回1515前页推论推论1 设 是域,是 的不可约多项式.如果 F()p xFa是 在的某个扩域中的根,是在 的另一扩域 中 FbFE的根，那么域 与 同构.()F a()F b证证 由定理3.2,()/()().F aF xp xF b根据域 上 维向量空间的基的定义,定理5.3.2实际 Fn上告诉我们,如果 是 上的 次不可约多项式的根,aFn么 就是 上向量空间 的基.11,.,naa()F aF那目录后页返回1616前页例例4 考虑 上的不可约多项式 .因为 Q3()2F xx是 的根,由定理5.3.2,是 上向量

10、 空间32()f x331,2,4Q的基.于是 3(2)Q333012012(2)24|,.aaaa a aQQ该域同构于 ,且 (见习题3/2xx Q33(2)2QQ3.2.4）目录后页返回1717前页例例5 将 表 为 的线性组合.33112 23 4331,2,4Q解法一解法一 设 ,3232,()2,()123f xxg xxx 则由于 是 上的不可约多项式,因此 .()f xQ(),()1f x g x从而由高等代数知识得:存在多项式 ,(),()u x v xxQ使得()()()()1.f x u xg x v x由于 ,3()(2)0ff所以,()()()()()()1.gvfu

11、gv目录后页返回1818前页于是,是 的逆.()v()g由辗转相除法计算得,若取 211()(503),()(11 16),8989u xx v xxx 则(5.3.1)式成立.于是,333311(11 16 24)8912 23 4目录后页返回1919前页解法二解法二 用待定系数法.设,其中,。则221123abc,a b cQ22(123)()1.abc展开(5.3.3)式,将等式 代入,并注意到 在 3221,上线性无关,故得 Q641,260,320.abcabcabc目录后页返回2020前页解上述线性方程组得 11161,.898989abc 从而得结论(5.3.2).目录后页返回2

12、121前页例例6 设 为 的根.在 中,将31xx Q2168表示为 的 线性组合.21,Q目录后页返回2222前页解解 由于 不是 的根,所以 在 13():1f xxx()f xQ上可约.如例5,设 ,2()68g xxx211()(11527),()(394727),427427u xxv xxx则有()()()()1f x u xg x v x于是,如例5,有 2211(274739).68427则 与 互()f x()g x素，经计算,若取 目录后页返回2323前页在例3中我们构造了多项式 在 上的两22xx3Z个裂域.那么这两个看上去不同的分裂域在代数结构上是否真的不同呢?事实上,

13、分裂域在同构的意义下 是惟一的.为证明这一结论,我们先来证明一个更一般 的结论.首先注意到如果 是域 到 的同构,那么 可 FF自然扩张成 到 的环同构:F x F x目录后页返回2424前页11101110.()().()()nnnnnnnnc xcxc xccxcxc xc 由于该映射在 上 与 一致,为了方便起见我们F仍将这一映射记为 .目录后页返回2525前页引理引理5.3.1 设 是域,是 上的不可约多项式,F()p xFa是 在 的某个扩域中的根.如果 是从 到域 的()p xFFF域同构,是 在 的某个扩域中的根,那么存在 b()p xF到 的同构,它在 上 与相同,且将 映到

14、.()F a()F bFab目录后页返回2626前页证证 首先,由于 在 上不可约,因此 在()p xF()p xF上也不可约.直接验证可知()()()()f xp xf xp x是从 到 的域同构.我们 /()F xp x/()F xp x仍记该映射为 .由定理5.3.2,存在从 到()F a的同构 ,它在 上是恒等的,且将 映到 /()F xp xFa()xp x.类似地,存在从 到 的 /()F xp x()F b同构 ,它在 上是恒等的,且将 映为 .F()xp xb目录后页返回2727前页于是从 到 的映射 就是所要的同构.()F a()F b目录后页返回2828前页定理定理5.3.

15、3 设 是域 到域 的同构,是 上FF()f xF的非常数多项式.如果 是 在 上的分裂域,是 E()f xFE 在 上的分裂域,那么存在从 到 的同构,()f xFEE且它在 上与 一致.F目录后页返回2929前页证证 我们对 用归纳法来证明.如果 deg()f x如果 ,设 是 的一个不 deg()1f x()p x()f x可约因式,是 在 中的根,是 在 中 a()p xEb()p xE根.则由上述引理,存在同构 ,使得 限:()()F aF b制在 上与 一致,且将 映到 .Fba这里 .则 是 在 上的分裂域,()()g xF a xE()g x()F aE是 在 上的分裂域.因为

16、 ,()g x()F bdeg()deg()g xf x()()()f xxa g x设,那么,且 ,所以 自己就是所 deg()1f x EFEF要的映射.目录后页返回3030前页所以存在从 到 的同构,且它在 上的限制等同 EE()F a于 ,因此在 上的限制等同于 .F目录后页返回3131前页推论推论2 设 是域,那么 在 上F()f xF x()f xF的任何两个分裂域都是同构的.证证 假设 和 都是 在 上的分裂域,则在EE()f xF上述定理中取 为 到 的恒等映射即得结果.FF目录后页返回3232前页例例7 求 在 上的分裂域,这里 是任一正nxaQa解解 设 是 次本原单位根,

17、22cossinwnn in有理数.那么 中的每一个都是 111121,nnnnnawaw awanxa在 中的根,因此 在 中分裂.(,)na wQnxa(,)na wQ域 ,使得 ,且 在 上分裂,则 E(,)nQEQa wnxaE,从而,于是 11,nnawaE11nnwwaaE(,)na wEQnxa(,)na wQ 从而 .由分裂域的定(,)nEa w Q义,是 在 上的分裂域.Q目录后页返回3333前页定义定义5.3.2 设 1110().nnnnf xa xaxa xaF x我们称多项式 1211(1)nnnnna xnaxaF x为 的导数(derivative),记作 .()

18、f x()fx注意到我们这里的定义不涉及极限,仅是一种公 理话的定义,但它仍满足微积分中关于导数的如下的运算法则.目录后页返回3434前页引理引理5.3.2 设 ,则(),(),f x g xF x aF1.()()()();f xg xfxg x2.()();af xafx3.()()()()()().f x g xfx g xf x g x目录后页返回3535前页定理定理5.3.4 域 上的多项式 在某个扩域 上 F()f xE有重根的充要条件是 和 在 中有正次数()f x()fx F x的公因式.目录后页返回3636前页证证 如果 是 在某个扩域 中的重根,那么a()f xE存在 ,使

19、得 .因为()g xE x2()()()f xxag x()()()2()()fxxag xxa g x 所以 ,于是()0fa xa 是 和 在 的扩域 上的公因式.如果()f x()fxEF()f x和 在 中没有正次数的公因式,那么存在()fx F x,使得 ,将其(),()u x v xF x()()()()1u x f xv x fx看成 中的元素,我们得 ,矛盾!所以 和 E x|1xa()f x 在 中必有正次数的公因式.()fx F x目录后页返回3737前页反之,假设 和 有正次数的公因式.设()f x()fxa是公因式中的根,那么 是 和 的公共根.因为()f x()fxa

20、a是 的根,所以存在多项式 ,使得()f x()q x()()()f xxa q x.于是 ,且()()()()fxxa q xq x0()()faq a.因此 是 的因式,从而 是 xa()q xa()f x的重根.目录后页返回3838前页定理定理5.3.5 设 是域 上的不可约多项式.如果()f xFF的特征为0,那么 没有重根.如果 的特征为()f xF0p,那么仅当存在 上的某个多项式 ,使得 F()g x时 有重根.()()pf xg x()f x目录后页返回3939前页证证 如果 有重根,则由定理 5.3.4,和 ()f x()f x()fx在 中有正次数的公因式.F x所以 .又

21、因为域上的多项式不能整除次数()|()f xfx所以 .比其低的多项式,()0fx 那么 是什么意思呢?如果()0fx 1110(),nnnnf xa xaxa xa那么 1211()(1)nnnnfxna xnaxa因为 在 中的仅 F x()f x有的正次数因式只有 本身(可差一个非零常数倍),()f x目录后页返回4040前页于是 意味着()0fx 0,1,2,.kkan所以当 时有 ,但这不是不可约Char 0F 0()f xa多项式,矛盾!这说明 没有重根.()f x当时 ,如果 不能整除 ,那么Char 0Fppk0ka 从而存在某个 ,()g xF x使得 .(例如,若 ,()(

22、)pf xg x43()51pppf xxxx那么 ).43()51g xxxx只有 的形式.()pipixx于是出现在 中的 的幂1110nnnna xaxa xax目录后页返回4141前页定义定义5.3.3 如果域 的特征为0或 的特征为 且 FFp|,ppFaaFF那么我们称 为完备域完备域(perfect field).F最重要的一类特征 的完备域是有限域.p目录后页返回4242前页定理定理5.3.6 每个有限域都是完备域.证证 设 是特征为 的有限域.定义 到 的映射 FpFF:,pxxxF,可证 是一个域自同构.首先,.又由于()()()()pppababa bab()(),ppp

23、ababab因此,是 的自同态.F最后,如果 ,则 ,所以 .于是0 x 0px Ker=0是单射.由于 是有限集,是单射意味着 也是满射,F目录后页返回4343前页于是 是自同构,这就证明了 .pFF目录后页返回4444前页定理定理5.3.7 如果 是完备域上的不可约多项式,()f x那么 没有重根.()f x证证 是特征0的情形已经证明.现假设 是特征 F()f x为 的完备域 上的不可约多项式,而 有重根.pF()f x由定理 5.3.5可知存在 ,使得 .()g xF x()()pf xg x设 因为 ,所1110(),nnnng xa xaxa xapFF以存在 ,使得 ,于是 ib

24、Fpiiab目录后页返回4545前页(1)1101110()()()(),pppnpp npppnnnnpnnpf xg xb xbxb xbb xbxb xbh x这里 .但这样 就不是不可约多项式了.()h xF x()f x目录后页返回4646前页定理定理5.3.8 设 是域 上的不可约多项式,是()f xFE 在 上的分裂域.F()f x那么 在 中的所有根都有相同的重数.()f xE存在 上的域自同构 ,使得 在 上的作用为恒 FF等映射,而将 映到 .于是 ab证证 设 是 在 中的不同根.如果 的重数是,a b()f xEa()()()().mf xf xxbg xm,则我们有

25、由引理5.3.1和定理()()().mf xxag x5.3.3,目录后页返回4747前页所以 的重数大于等于 的重数.由 和 的对称性可知,baba 的重数也大于等于 的重数.于是 和 有相同的重数.abba推论推论3 设 是域 上的不可约多项式,是()f xFE()f x的分裂域.那么 可分解成如下形式()f x12()()(),nnnta xaxaxa其中 是 中不同的元素.12,taF a aaE目录后页返回4848前页例例8 设 是多项式环 的商域,考虑 2()Ft Z2()tZ.要说明 在 上不可约只要证 2()f xxtF x()f xF明它在 上没有根.F,所以 ,于是22()

26、()h ttg t22()().h ttg t2deg()h t但是,是偶数,是奇数,矛盾!所以2deg()tg t()f x在 不可约.F最后,因为 是 中的常数,且 的特征等于2,t F xF所以 ,因此 和 以 作为公因式.于()0fx()f x()fx()f x()/()h tg t()f x2()/()h tg tt假设 是 的根,那么 目录后页返回4949前页是,由定理5.3.4,在 的某个扩域中有重根(事实()f xF上,它在 中有一个重数为2的根.)2/KF xxt目录后页返回5050前页参考文献及阅读材料参考文献及阅读材料 1 Andrew Wiles.Modular ell

27、iptic curves and Fermats Last Theorem.Annals of Mathematics1995(142),443-551 本文包括怀尔斯对谷山-志村猜想和费马大定理的证明的主要部分.2 Richard Taylor,Andrew Wiles,Ring-theoretic properties of certain Heckealgebras.Annals of 目录后页返回5151前页Mathematics 1995(142),553-572本文介绍了用于克服怀尔斯1993年证明中出现 的缺陷的数学.3 西蒙辛格著,薛密译.费马大定理.上海:上海译文出版社,1997