特殊三角形的性质与判定-人教版课件.ppt

1、镇江市网络同步助学平台镇江市网络同步助学平台专家系列讲座专家系列讲座九年级数学九年级数学(一一)同学们同学们,当老师提问或请同当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键再点击播放键.特殊三角形的性质与判定特殊三角形的性质与判定 单单 位位 镇江市外国语学校镇江市外国语学校主主 讲讲 李李 萌萌 审稿审稿 镇江市教研室镇江市教研室 黄厚忠黄厚忠 庄志红庄志红学习目标学习目标知识回顾知识回顾典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈1.1.了解等腰三角形和等边三角形的有关了解等腰三角形和等边三角形的有关概念，掌握其

2、性质定理和判定定理概念，掌握其性质定理和判定定理.2.2.了解直角三角形的有关概念，掌握其了解直角三角形的有关概念，掌握其性质定理和判定定理性质定理和判定定理.3.3.会灵活运用特殊三角形的性质与判定会灵活运用特殊三角形的性质与判定解决有关问题解决有关问题 .1.等腰三角形与等边三角形的区别与联系等腰三角形与等边三角形的区别与联系等边三角形是特殊的等腰三角形等边三角形是特殊的等腰三角形.定义定义 性质性质判定判定等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形两边相等两边相等1.两腰相等两腰相等2.两底角相等两底角相等3.三线合一三线合一4.轴对称图形，轴对称图形，有一条对称轴有一条对称轴1.两边相等

3、两边相等2.两角相等两角相等1.三边相等三边相等2.三角相等三角相等三边相等三边相等1.三边相等三边相等2.三个角都是三个角都是603.三线合一三线合一4.轴对称图形，轴对称图形，有三条对称轴有三条对称轴边边角角轴对称图形轴对称图形603.有两个角是有两个角是604.有一个角是有一个角是60的的等腰三角形等腰三角形3.有两个角是有两个角是604.有一个角是有一个角是60的的等腰三角形等腰三角形5.直角三角形的定义直角三角形的定义6.直角三角形的性质定理直角三角形的性质定理(1)(1)两个锐角互余两个锐角互余.(2)(2)勾股定理：勾股定理：RtRtABC cABC c2 2=a=a2 2+b+

4、b2 2.(3)(3)斜边上的中线等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半.有一个角是直角的三角形是有一个角是直角的三角形是直角三角形直角三角形.7.直角三角形的判定方法直角三角形的判定方法(1)(1)定义定义.(2)(2)两个锐角互余两个锐角互余.(3)(3)勾股定理逆定理：勾股定理逆定理：c c2 2=a=a2 2+b+b2 2 Rt RtABC.ABC.(4)(4)一边的中线等于这边的一半一边的中线等于这边的一半.8.特殊直角三角形的性质特殊直角三角形的性质45453030a2aaaa3a21.1.等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定例例1.1.等腰三角形的一个角为等腰三角形的一

5、个角为3030，则顶，则顶角的度数是角的度数是 。分析分析:本题考查了等腰三角形的性质本题考查了等腰三角形的性质之一之一两个底角相等两个底角相等.误点剖析误点剖析:本题的易错点是将本题的易错点是将3030只当作只当作底角（或只当作顶角），因而少写一个底角（或只当作顶角），因而少写一个答案答案.有的同学填有的同学填120120，你认，你认为正确吗？为正确吗？3030或或120120变式训练：变式训练：例例1.1.等腰三角形的一个角为等腰三角形的一个角为3030 ，则顶，则顶角的度数是角的度数是 。100100 为什么例为什么例1 1是两个答案，变式训练是两个答案，变式训练却是一个答案呢？却是一个

6、答案呢？100100例例2.2.如果等腰三角形的周长为如果等腰三角形的周长为1212，一，一边长为边长为5 5，那么另两边长分别，那么另两边长分别为为 .2和和5 或或 3.5和和3.5分析分析:如果如果5 5作腰，则另两边为作腰，则另两边为2 2和和5 5，如果如果5 5作底边，那么另两边是作底边，那么另两边是3.53.5和和3.5.3.5.误点剖析误点剖析:本题的易错点是将本题的易错点是将5 5只当作腰只当作腰(或只当作底边或只当作底边)，因而少写一组答案，因而少写一组答案.例例2.2.如果等腰三角形的如果等腰三角形的12有的同学填有的同学填“9 9或或1212”，你，你认为正确吗？认为正

7、确吗？两边长分别为两边长分别为2 2和和5 5或或周长为周长为1212，一，一边长为边长为5 5，那么另，那么另例例2.2.如果等腰三角形如果等腰三角形那么周长为那么周长为_._.3.53.5和和3.53.5.变式训练：变式训练：角角顶角顶角底角底角边边腰腰底边底边（锐角）（锐角）腰的两倍大于底腰的两倍大于底点评：点评：1.1.如果等腰三角形有一个角等于如果等腰三角形有一个角等于5050，那么另两个角那么另两个角为为 ;若等腰若等腰三角形的一个外角为三角形的一个外角为7070，则它的底，则它的底角为角为 ;50和和80或或 65和和653540或或702.2.在在ABCABC中，中，A=40A

8、=40，当，当B B等等于于 .时，是等腰三角形时，是等腰三角形.例例3.3.如图，点如图，点M,NM,N分别在正三角形分别在正三角形ABCABC的的BC,CABC,CA边上，且边上，且BM=CN,AM,BNBM=CN,AM,BN交交于点于点Q.Q.求证：求证：BQM=60BQM=60QNABCMQNABCM1.601.60角一般在什么样角一般在什么样的特殊三角形中出现？的特殊三角形中出现？请思考：请思考：3.3.如何得到角相等？如何得到角相等？2.2.如何将如何将BQMBQM转化到转化到等边三角形中去呢？等边三角形中去呢？4.4.图中哪两个三角形图中哪两个三角形全等？全等？分析分析:易证易证

9、ABMABMBCNBCN（SASSAS）.由全等得由全等得1=21=2，所以所以 BQM=BQM=1+3 =2+3=ABM=60.123QNABCM点评点评:本题运用了等边本题运用了等边三角形的性质三角形的性质三三边相等，三角相等且边相等，三角相等且为为6060.例例3.3.如图，点如图，点M,NM,N分别在分别在正三角形正三角形ABCABC的的BC,CABC,CA边上，且边上，且 ,AM,BN,AM,BN交于点交于点Q.Q.求证：求证：分析：分析：是真命题是真命题.理由如下：从理由如下：从BQM=60BQM=60出发证得出发证得1=21=2；从而证得从而证得ABMABMBCNBCN（ASAA

10、SA）；）；继而得到继而得到BM=CN.BM=CN.12QNABCMBM=CNBM=CNBQM=60BQM=60变式一变式一？分析：分析：能得到能得到BQM=60BQM=60.思路和例思路和例2 2一样一样.都是通过证明都是通过证明ABMABMBCNBCN（SASSAS）得到得到1=21=2；继而通过；继而通过外角定理，等量代换后外角定理，等量代换后得到得到BQM=60BQM=60.例例3.3.如图，点如图，点M,NM,N分别分别求证：求证：BQM=60BQM=60QNABCM12345BQM=1+3BQM=1+3=2+4=5=60=2+4=5=60边边在正在正ABCABC的的BC,CABC,

11、CA的的且且BM=CN,AM,BNBM=CN,AM,BN交于点交于点Q.Q.上，上，延长线延长线变式二变式二？例例3.3.如图，点如图，点M,NM,N分别在分别在QNDABCM分析：分析：BQM=90BQM=90.思路和例思路和例2 2一样一样.都是通过证明都是通过证明ABMABMBCNBCN得到得到1=21=2；BQM=1+3=2+3BQM=1+3=2+3=ABM=90=ABM=90.123正三角形正三角形ABCABC的的BC,BC,CACA且且BM=CN,AM,BNBM=CN,AM,BN交于点交于点Q.Q.求证：求证：BQM=60BQM=60正方形正方形ABCDABCD的的BC,BC,CD

12、CD 边上，边上，变式三变式三？例例4.4.如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABCABC中，中，AB=10cm AB=10cm，D D是是ACAC的中点，延长的中点，延长BCBC到到E E，使，使CE=CDCE=CD，(1)(1)求求BEBE的长；的长；(2)BD(2)BD与与EDED相等吗？为什么？相等吗？为什么？EDCAB105EDCAB5D DAC=BC=10AC=BC=10CD=5CD=5CE=5CE=5BE=15BE=15分析：分析：41EDCAB1=301=302=32=31=31=3BD=EDBD=ED=30=30606060602 23 3分析：分析：误点剖析误点剖析:不能

13、辩别图中边的和差关系、不能辩别图中边的和差关系、角的和差关系，应注意细心观察角的和差关系，应注意细心观察.点评点评:本题综合运用了本题综合运用了“等边对等角等边对等角”、“等角对等边等角对等边”和和“等边三角形各内角等边三角形各内角均为均为6060”的性质的性质.EDCAB2 23 31 13 3等边对等角等边对等角等角对等边等角对等边3.3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为角为3030，则顶角的度数是，则顶角的度数是 ()()A.60A.60 B.30 B.30 C.60C.60或或120120 D.120 D.120C3 30 0 60606060120

14、1203030 2.2.直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定例例5.5.已知已知ABCABC中，中，C C9090,A=30,A=30,如果如果BC=6,BC=6,则则AB=_,AC=_.AB=_,AC=_.分析：分析：由由“直角三角形直角三角形3030角所对直角边等于斜角所对直角边等于斜边的一半边的一半”得到得到ABAB是是BCBC的的两倍，即等于两倍，即等于1212；再由勾股定理得再由勾股定理得AC=.AC=.366 63030 BCA121236例例6.6.如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，以以ABCABC的各边为长边在的各边为长边在ABCABC外

15、作矩外作矩形，使其每个矩形的宽为长的一半，形，使其每个矩形的宽为长的一半，S S1 1、S S2 2、S S3 3分别表示这三个长方形的面分别表示这三个长方形的面积，则积，则S S1 1、S S2 2、S S3 3之间有什么关系？并之间有什么关系？并证明你的结论证明你的结论S S3 3S S2 2S S1 1ABCabc分析：分析：S S1 1=，S S2 2=，S S3 3=；点评：点评：本题运用了直角三角形的性质本题运用了直角三角形的性质 之一之一勾股定理，把探求矩形面积之间勾股定理，把探求矩形面积之间的关系，转化为探求直角三角形三边之间的关系，转化为探求直角三角形三边之间的关系的关系.S

16、 S3 3S S2 2S S1 1ABC221b221a221c 由勾股定理得由勾股定理得a a2 2+b+b2 2=c=c2 2；故故S S1 1+S+S2 2=S=S3 3.如何寻找如何寻找a a、b b、c c三个量之间的关系？三个量之间的关系？abc5.5.如图，所有的四边形都是正方形，所如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为的正方形的边长为7cm7cm，则正方形，则正方形A A、B B、C C、D D的面积的和是的面积的和是_。4.4.一个直角三角形两边的长分别一个直角三角形两边的长分别为为1515、202

17、0，则第三边的长是，则第三边的长是()()A.B.25A.B.25C.C.或或25 D.25 D.无法确定无法确定7575CABCD49cm2S S1 1S S2 2S S3 3例例7.7.如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E是是ADAD的的中点，中点，F F是是DCDC上一点，且上一点，且DF=DC.DF=DC.试试判断判断BEBE与与EFEF是否垂直？为什么？是否垂直？为什么？41FEADBCFEADBC如何判断两条直线互相垂直？如何判断两条直线互相垂直？如何判断如何判断BEFBEF是是9090？如何判断如何判断BEFBEF是直角三角形？是直角三角形？BEBE2 2+

18、EF+EF2 2=BF=BF2 2？解法一：解法一：设正方形设正方形ABCDABCD的边长为的边长为4a4a，则则AE=ED=2aAE=ED=2a，DF=a.DF=a.在在RtRtABEABE中，中，BEBE2 2=AB=AB2 2+AE+AE2 2=20a=20a2 2，在在RtRtDEFDEF中，中，EFEF2 2=DE=DE2 2+DF+DF2 2=5a=5a2 2，在在RtRtBCFBCF中，中，BFBF2 2=BC=BC2 2+CF+CF2 2=25a=25a2 2，所以有所以有BFBF2 2=BE=BE2 2+EF+EF2 2，所以，所以BEF=90BEF=90，所以，所以BEBE

19、与与EFEF垂直垂直.FEADBC分析：分析：4a4a4a4a2a2a2a2aa a20a20a2 25a5a2 225a25a2 2点评：点评：(1)(1)巧设巧设.(2)(2)勾股定理的逆定理是从边的角度证明勾股定理的逆定理是从边的角度证明直角三角形的一种方法，也是证明垂直的直角三角形的一种方法，也是证明垂直的一种方法一种方法.(3)(3)数形结合是一种重要的思想方法数形结合是一种重要的思想方法.FEADBCFEADBC1 12 23 3 说明说明ABEABE与与DEFDEF相似相似 证明：证明：2DFAEDEABDC41DFADE的中点，是90DADEFABE219031又903290B

20、EF即即 BEEFBEEF从而从而2+3=902+3=90得得1=21=2解法二：解法二：例例8.8.如图，在三角形纸片如图，在三角形纸片ABCABC中，中，C=90C=90，=30=30，AC=3AC=3，折叠纸，折叠纸片，使点片，使点A A与点与点B B重合，折痕与重合，折痕与ABAB、ACAC分别相交于点分别相交于点D D和点和点E E，求折痕，求折痕DEDE的长的长EDBCABCA请同学们画出折叠后的图形请同学们画出折叠后的图形折叠动画折叠动画解法一：解法一：在含在含3030的的RtRtABCABC中，根据中，根据“3030角所对角所对直角边等于斜边一半直角边等于斜边一半”得得BC=A

21、BBC=AB，再结合勾，再结合勾股定理得股定理得AB=AB=；由折叠知由折叠知AD=AD=；在含在含3030的的RtRtADEADE中，根据中，根据“3030角所对角所对直角边等于斜边一半直角边等于斜边一半”得得DE=AEDE=AE，再结合勾，再结合勾股定理得股定理得DE=1.DE=1.2121323EDBCA点评：点评：已知直角三角形一边长，并不能已知直角三角形一边长，并不能求出另两边长，但如果已知另两边之间求出另两边长，但如果已知另两边之间关系，就可以设元列方程求解了关系，就可以设元列方程求解了.BCA30303 3x2x解法一：解法一：解法二：解法二：同上可得同上可得AB=AB=；由折叠

22、得由折叠得ADEADE为直角三角形，易证为直角三角形，易证ADEADEACBACB；得比例式；得比例式ACADBCDE32EDBCA32121ABABDEDEAB122，所以，所以DE=1.DE=1.，所以所以，即即点评：点评：相似是解决与三角形有关问题的相似是解决与三角形有关问题的一种重要方法一种重要方法.EDBCA证明：证明：A=30DBE=A=30CBE=DBE=30又又CEBC，DEABCE=DE设设CE=DE=x，则，则AE=2xxx2xAC=3x=3即即 x=1 DE=1解法三：解法三：30306.6.如图，将矩形如图，将矩形ABCDABCD沿直线沿直线AEAE折叠，折叠，顶点顶点

23、D D恰好落在恰好落在BCBC边上边上F F点处，已知点处，已知CE=3cmCE=3cm，AB=8cmAB=8cm，求图中阴影部分面，求图中阴影部分面积积.解法一：解法一：由已知易得由已知易得EF=DE=5cmEF=DE=5cm，从而，从而CF=4cmCF=4cm，设设BF=x cmBF=x cm，则，则AF=AD=BC=x+4(cm).AF=AD=BC=x+4(cm).在在RtRtABFABF中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得8 82 2+x+x2 2=(x+4)=(x+4)2 2，解得，解得x=6(cm).x=6(cm).故阴影部分的面积等于故阴影部分的面积等于 BFBFAB+CFAB+

24、CFCE=30(cmCE=30(cm2 2).).2121解法二：解法二：由折叠易知由折叠易知AFEAFE是直角，易证是直角，易证ABFABFFCE.FCE.所以所以BF=6cmBF=6cm，故阴影面积，故阴影面积30cm30cm2 2.FCABCEBF得得，483BF所以所以，折叠问题是近年来中考折叠问题是近年来中考命题的热点，在折叠形成的命题的热点，在折叠形成的图形中，又产生许多等线段、图形中，又产生许多等线段、等角，要善于发现、利用等角，要善于发现、利用.EDBCA定义定义 性质性质判定判定等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形直角三角形直角三角形两边相等两边相等1.两腰相等两腰相等2

25、.两底角相等两底角相等3.三线合一三线合一4.轴对称图形，轴对称图形，有一条对称轴有一条对称轴1.两边相等两边相等2.两角相等两角相等1.三边相等三边相等2.三角相等三角相等三边相等三边相等1.三边相等三边相等2.三个角都是三个角都是603.三线合一三线合一4.轴对称图形，轴对称图形，有三条对称轴有三条对称轴3.有两个角是有两个角是604.有一个角是有一个角是60的的等腰三角形等腰三角形一个角一个角是直角是直角1.1.两个锐角互余两个锐角互余.2.2.勾股定理勾股定理3.3.斜边上的中线等斜边上的中线等于斜边的一半于斜边的一半1.1.定义定义.2.2.两锐角互余两锐角互余3.3.勾股定理逆定理

26、勾股定理逆定理4.4.一边的中线等于一边的中线等于这边的一半这边的一半掌握的思想方法：掌握的思想方法：1.1.数形结合数形结合2.2.方程思想方程思想3.3.分类思想分类思想4.4.化归思想化归思想46凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！47成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践48只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星49上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价50现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。51宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子52为成功找方法，不为失败找借口53不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。54垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来

27、做！55不一定要做最大的，但要做最好的56死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！57成功是动词，不是名词！28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也；立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。孝经61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学篇62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。67、不可能的事是想出来的

28、，可能的事是做出来的。68、找不到路不是没有路，路在脚下。69、幸福源自积德，福报来自行善。70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。74、今天学习不努力，明天努力找工作。75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。78、技艺创造价值，本领改变命运。79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！82、校兴我荣，校衰我耻。83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。84、不想当老板的学生不是好学生。85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。88、知技并重，德行为先。89、生活的理想，就是为了理想的生活。张闻天90、贫不足羞，可羞是贫而无志。吕坤