江苏省南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷含附加题.docx

1、 高三数学试卷第 1 页 共 20 页 南通市通州区 2020 届高三年级第二学期 复学后联考数学试卷 试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案 写在答题纸的指定位置上） 1 已知集合 A1， 2， 3， B2， 4， 则 AB 2 已知复数z满足(z-2)i=1+i(i为虚数单位） ， 则z的模为 3. 根据如图所示的伪代码，可这输出的 S= . 4函数( )f x 2 ln xx的单调减区间为 5从 0、2 中选一个数字从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复 数字的三位数其中无重复的个数为 6若函数2ln2)( 3 xxxf的图像在1

2、x处的切线l与 两坐标 轴分别交于点 A，B，则线段 AB 的长为 . 7已知各项均不相等的数列 n a为等差数列，且 1041 ,aaa恰为等比数列 n b的前三 项.若 6 bak，则k . 8在ABC 中，如果 sin A：sin B：sin C2：3：4，则 sin C 1i 1s 4iWhile iss2 1ii End While Print s 高三数学试卷第 2 页 共 20 页 9若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为 S1、S2，则 S1： S2 10唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河” 诗中隐含着一个有趣的数学问题

3、“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处 出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标 系 xOy 中，设军营所在平面区域的边界为 x2y24，河岸线所在直线方程为 xy6 0，假定将军从点 P(3，2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行 走的最短路程为 11.在 ABC中ADAEACDCBDACAB,3, 0与BE交于点 F.若 , 3, 4ACAB则ACBF 的值为 . 12已知0a，0b，且 31 126ab ab ，则 3 ab ab 的最大值为 . 13已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率 1 2 e ，A、B 分

4、别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为、，则 cos() cos() 的值为 14已知函数 4 ( )ln2f xxx x ，曲线( )yf x上总存在两点 M( 1 x， 1 y)， N( 2 x， 2 y)使曲线( )yf x在 M、N 两点处的切线互相平行，则 1 x 2 x的取值范围 为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演 高三数学试卷第 3 页 共 20 页 算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四

5、边形， E 为 棱 PD 的中点，PA平面 ABCD （1）求证：PB /平而 AEC； （2）若四边形 ABCD 是矩形且 PAAD，求证：AE平面 PCD 16 （本小题满分 14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cosB 4 5 （1）若 c2a，求sinB sinC的值； （2）若 CB 4，求 sinA 的值 17 （本小题满分 14 分）如图，圆 O 是一半径为 10 米的圆形草坪，为了满足周边市 高三数学试卷第 4 页 共 20 页 民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲 边四边形，其中 A，B 两点在O 上，A

6、，B，C，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据 规划要求，在 A，B，C，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心 O 点出发，在地下铺设 4 条到 A，B，C，D 四点线路 OA，OB，OC，OD. （1）若正方形边长为 10 米，求广场的面积； （2）求铺设的 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小 值. 18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆 E： 22 22 1 xy ab (ab0)的左、右顶点分别为 A1、A2，上、下顶点分别为 B1、B2设直线 A1B1倾斜 角的余弦值为 2 2 3 ，圆 C 与以线段 OA2为直径的圆关于直线 A1B1对称 （

7、1）求椭圆 E 的离心率； （2）判断直线 A1B1与圆 C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆 C 的面积为，求圆 C 的方程 AA 高三数学试卷第 5 页 共 20 页 19 （本小题满分 16 分）已知函数.)(,)( 2 2 1 x exfcbxaxxf （1）当0, 1, 2 1 cba时，设)()()( 12 xfxmfxf，且函数)(xf在 R 上单调递 增. 求实数m的取值范围； 设),()3()( 2 2 xfmxxh当实数m取最小值时，求函数)(xh的极小值. (2) 当1, 1, 0cba时，证明：函数)()()( 12 xfxfxg有两个零点. 20（本小题满分 16

8、 分） 20.已知无穷数列 n a的前n项中的最大项为 n A， 最小项为 n B， 设 nnn BAb （1） 若, 12 nan求数列 n b的通项公式； （2） 若 n n n a 2 12 ，求数列 n b的前n项和 n s； （3） 若数列 n b是等差数列，求证：数列 n a是等差数列. 高三数学试卷第 6 页 共 20 页 试题 21 【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在 答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 设 a，bR若直线 l：axy70 在矩阵 A= 3 0 1b 对应的变

9、换作用下，得到的 直线为 l：9xy910求实数 a，b 的值 B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知(A 1， 3 )，(B 9， 3 )，线段AB的垂直平分线l与极轴交于点 C，求l的极坐标方程及ABC的面积 C选修 45：不等式选讲 已知实数a，b满足|2ab，求证： 22 |22 |4(| 2)aabba 【必做题】 第 22 题、 第 23 题， 每题 10 分， 共计 20 分 请在答卷卡指定区域内作答 解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分）由数字 0,1,2,3,4 组成一个五位数. （1）若的各数位上数字不重复，求是偶数的概率； （

10、2）若的各数位上数字可以重复，记随机变量X表示各数位上数字是 0 的个数， 求X的分布列及数学期望. 高三数学试卷第 7 页 共 20 页 23 （本小题满分 10 分）如图，F 是抛物线 y22px(p 0)的焦点，过点 F 且与坐标轴 不垂直的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，交抛物线的准线于点 H，其中 y10,y1y2=-4过点 H 作 y 轴的垂线交抛物线于点 P，直线 PF 交抛物线于点 Q. （1)求 p 的值； （2)求四边形 APBQ 的而积 S 的最小值 高三数学试卷第 8 页 共 20 页 参考答案及评分标准 试题 一、填空题（本大题共 14 小题，

11、每小题 5 分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案 写在答题纸的指定位置上） 1 1， 2， 3， 4 2. 10 3.5. 4. ( 2 2 ，) 5. 30 6. 22 7.94. 8 15 4 9 3： 2 1073211. 4 9 12. 1 9 13 1 7 14(8，) 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演 算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 （本小题满分 14 分） 证明:（1）连接BD交AC于O， 因为ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点， 因为E为PD的中点，所以OE/PB 又因为PB 平面AEC，OE 平面A

12、EC,所以PB/平面AEC6 分 （2）因为PAAD且E是PD的中点，所以AEPD 又因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PACD 因为四边形ABCD是矩形，所以CD AD，因为,PA AD平面PAD且PAADA 高三数学试卷第 9 页 共 20 页 所以CD 平面PAD又因为AE 平面PAD，所以CDAE ,PD CD平面PDC且PDCDD ,所以 AE 平面PCD14 分 16 （本小题满分 14 分） 解： （1）解法 1： 在ABC 中，因为 cosB4 5，所以 a2c2b2 2ac 4 52 分 因为 c2a，所以 (c 2) 2c2b2 2c c 2 4 5，即 b2

13、c2 9 20，所以 b c 3 5 10 4 分 又由正弦定理得sinB sinC b c，所以 sinB sinC 3 5 10 6 分 解法 2： 因为 cosB4 5，B(0，)，所以 sinB 1cos 2B3 52 分 因为 c2a，由正弦定理得 sinC2sinA， 所以 sinC2sin(BC)6 5cosC 8 5sinC，即sinC2cosC4 分 又因为 sin2Ccos2C1，sinC0，解得 sinC2 5 5 ， 所以sinB sinC 3 5 10 6 分 （2）因为 cosB4 5，所以 cos2B2cos 2B17 258 分 高三数学试卷第 10 页 共 2

14、0 页 又 0B，所以 sinB 1cos2B3 5， 所以 sin2B2sinBcosB2 3 5 4 5 24 2510 分 因为 CB 4，即 CB 4，所以 A(BC) 3 4 2B， 所以 sinAsin(3 4 2B)sin3 4 cos2Bcos3 4 sin2B31 2 50 14 分 17 （本小题满分 14 分） （1）连接 AB，AB10，正方形 ABCD 的面积为 100， 又 OAOB10，AOB 为正三角形，则 3 AOB ， 而圆的面积为 100，扇形 AOB 的面积为 10050 63 ， 又三角形 AOB 的面积为 1 10 5 325 3 2 .弓形面积为

15、50 25 3 3 ， 则广场面积为 100 50 25 3 3 （平方米） ；6 分 （2）过 O 作 OKCD，垂足为 K，过 O 作 OHAD（或其延长线） ，垂足为 H， 设OAD（0 4 ） ，则 OH10sin，AH10cos， DH|ADAH|2OHAH|20sin10cos|， OD 22 100(2010)300200 22 4 sinsincossin .12 分 高三数学试卷第 11 页 共 20 页 当 8 时， 1021 min OD. 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值为2 10212020 2 （米）. 14 分 18 （本小题满分 16 分）解：

16、 （1）设椭圆 E 的焦距为 2c（c0） ， 因为直线 11 A B的倾斜角的余弦值为 2 2 3 ，所以 22 2 2 3 a ab ， 于是 22 8ab，即 222 8 ()aac，所以椭圆E的离心率 2 2 147 . 84 c e a 4 分 （2）由 14 4 e 可设40ak k，14ck，则2bk， 于是 11 A B的方程为：2 240xyk， 故 2 OA的中点 20k, 到 11 A B的距离d 24 2 3 kk k ， 又以 2 OA为直径的圆的半径2rk，即有dr，所以直线 11 A B与以 2 OA为直径的圆相 切 高三数学试卷第 12 页 共 20 页 因为圆

17、C与以线段 2 OA为直径的圆关于直线 11 A B对称， 所以直线 11 A B与圆C相切10 分 （3）由圆C的面积为知，圆半径为 2，从而1k ， 设 2 OA的中点 2 0, 关于直线 11 A B：2 240xy的对称点为 m n, ， 则 2 1, 24 2 2 240 22 n m mn 解得 8 22 33 mn, 所以，圆C的方程为 2 2 8 22 4 33 xy16 分 19 （本小题满分 16 分） （1）xxmexf x 2 2 1 )(,得, 1)(xmexf x 由题意知0)( x f在R上恒成立， x e x m 1 在 R 上恒成立。 令 x e x x 1

18、)( 则,)(,)( max x e x xxm 令0)(x，得, 0x令, 0)( x 得, 0x )(x在0 ,上单调递增，在), 0 单调递减，, 1)0()( max x , 1m即实数m的取值范围是)., 1 4 分 高三数学试卷第 13 页 共 20 页 当实数m取最小值时， x exxhm) 3()(, 1 2 . xxx exxexxexh) 32() 3(2)( 22 ， 令, 0)( x h解得1x或, 3x 当3x或1x时，; 0)( x h当13x时，. 0)( x h )(xh在3, 上单调递增，在（-3,1）上单调递减，在 ), 1 ( 上单调递增， 当1x时，)(

19、xh取得极小值，极小值为.2e8 分 （2）当1, 0ca时，函数),1( 1)(bbxexg x .)(bexg x 令, 0)( x g解得bxln 当bxln，时)(, 0)(xgxg在bln,上单调递减，当bxln时， )(, 0)(xgxg在,lnb上单调递增，).1( 1ln)(ln)( min bbbbbgxg 令) 1( 1ln)(bbbbbp 则0ln1ln1)(bbbp )(bp在), 1 ( 上单调递减，, 0)(bp即. 0)(ln)( min bgxg ) 1( 1)( 2 bbebg b 令) 1( 1)( 2 bbebr b ，则.2)(bebr b ， 高三数学

20、试卷第 14 页 共 20 页 令),1(2)(bbebt b 则2)( b ebt 因为, 02)(, 1 b ebtb bebr b 2)(在, 1上单调递增，, 0)(br )(br 在 , 1上单调递增，所以, 0)(br 即 0)(bg . 又当, 1b时，,ln0bb 所以由零点存在性定理知，存在bxb 1 ln，使得0)( 1 xg 又)(, 0)0(xgg由两个零点. 16 分 20 （本小题满分 16 分） （1）由12 nan得 n a是递增数列，所以, 1, 12 1 aBnaA nnn 所以.2nBAb nnn 2 分 （2）由 n n n a 2 12 得 1 1 2

21、 12 n nn n aa, 2 23 2 12 1 nn nn 当1n，0 1 nn aa，即; 21 aa 当2n，0 1 nn aa，即 432 aaa 又, 16 7 , 8 5 , 4 3 , 2 1 141321 aaaaaa 高三数学试卷第 15 页 共 20 页 所以, 4 5 , 4 5 , 1 321 bbb当4n时，, 2 12 4 3 n n n b 所以, 2 7 , 4 9 , 1 321 sss 当4n时，令, 22 ) 1( 4 3 2 12 4 3 1nnn n bknbnkn b 则, 3, 2bk即 nnn n nnn b 2 32 2 12 4 3 2

22、12 4 3 1 所以) 2 32 2 12 () 2 13 2 11 () 2 11 2 9 ()3( 4 3 2 7 15443 n nn ns n n n n n 2 32 2 9 )3( 4 3 2 7 3 . 2 32 4 3 8 19 n nn 综上所述， 2 7 , 4 9 , 1 321 sss，当4n时，. 2 32 4 3 8 19 n n nn s 8 分 (3)设数列 n b的公差为d，则dBBAAbb nnnnnn 111 , 由题意 nnnn BBAA 11 , nn AAd 1 , 0,对任意Nn都成立， 即 nnnn aAaA 1 1 ，所以 n a是递增数列。

23、 所以 1 ,aBaA nnn ，所以 nnnnnn aaBBAAd 111 所以 n a是公差为d的等差数列；10 分 当0d时， nn BB 1 对任意Nn都成立， 高三数学试卷第 16 页 共 20 页 进而 nnnn aBaB 11 ， 所以 n a是递减数列. nnn aBaA, 1 所以 nnnnnn aaBBAAd 111 所以 n a是公差为d的等差数列；14 分 当0d时，, 0 11 nnnn BBAA 因为 nn AA 1 与 nn BB 1 中至少有一个为 0，所以二者都为 0， 进而 n a为常数列, 综上所述，数列 n a等差数列. 16 分 试题 21 【选做题】

24、在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在 答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 解：在直线 l：axy70 取点 A(0，7)，B(1，7a) 因为 3 0 1b 0 7 0 7b ， 3 0 1b 1 7a 3 b(7a)1 ，4 分 所以 A，B 在矩阵 A 对应的变换作用下分别得到点 A(0，7b)，B(3，b(7a)1) 由题意，知 A，B在直线 l：9xy910 上， 所以 7b910， 27b(7a)19108 分 高三数学试卷第 17 页 共 20 页 解得 a2，b1310 分 B选修 44：

25、坐标系与参数方程 解：由题意，线段AB的中点坐标为(5,) 3 ， 设点( , )P 为直线l上任意一点， 在直角三角形OMP中，cos()5 3 ， 所以，l的极坐标方程为cos()5 3 ，5 分 令0，得10，即(10,0)C （8 分） 所以，ABC的面积为： 1 (91) 10sin20 3 23 10 分 C选修 45：不等式选讲 证明：由|2baab剟，可得| 2ba ， 22 |22 | |()()2()|aabbab abab | |2|2|2|ababab，4 分 要证 22 |22 |4(| 2)aabba， 即证|2|2(| 2)aba，8 分 由于|2| 2abab，

26、 即证| 2 2(| 2)aba， 即为| 2ba ，显然成立 故原不等式成立10 分 【必做题】 第 22 题、 第 23 题， 每题 10 分， 共计 20 分 请在答卷卡指定区域内作答 解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 高三数学试卷第 18 页 共 20 页 【解析】 （1）由 0,1,2,3,4 组成的五位数共有 54 54 AA96 （个）, 其中是偶数的，第一类，个位是 0，有 4 4 A24（个）;（2 分） 第 二 类 ， 个 位 是 2 或 4 ， 有 113 233 C C A36( 个 ) ， 所 以是 偶 数 的 概 率 为 2

27、43 65 . 9 68 P 5 分 （2）因为首位一定不为 0，第 2 位至第 5 位，各数位上数字为 0 的概率均是 1 5 ，且相 互独立，所以X 1 (4, ). 5 B6 分 所以 4 4 11 ()C ( ) (1),0,1,2,3,4, 55 iii P Xii 所以X的概率分布列为 X 0 1 2 3 4 P 256 625 256 625 96 625 16 625 1 625 14 ()4. 55 E X 10 分 23 （本小题满分 10 分） 解答： （1）设AB方程为 2 p xAy， 与 2 2ypx联立，消去x整理得 22 20ypAyp 所以 2 12 4y y

28、p，得2p （舍去）或2p 2 分 高三数学试卷第 19 页 共 20 页 （2）由（1）知抛物线方程为 2 4yx，1,0F，准线方程为1x 因为直线AB与坐标轴不垂直，所以设AB方程为1xAy0A ， 33 ,Q x y 由 2 1 4 xAy yx 得 2 440yAy， 1212 4,4y yyyA 所以 22 12 1| 41ABAyyA 令1x ，则 2 y A ，所以 2 1,H A ， 2 12 ,P AA PF方程为 2 1 1 2 A xy A 由 2 2 1 1 2 4 A xy A yx 得 2 2 21 40 A yy A ， 所以 3 2 4y A ， 3 2yA，

29、代入 2 4yx，得 2 3 xA ，所以 2,2 Q AA Q到直线AB的距离为 2 1 2 1 1 A d A ， P到直线AB的距离为 2 2 22 1 1 A d AA 所以四边形APBQ的面积 5 3 2 2 12 2 22 1 1 1 22 2 1 A A SAB dd A AA 令 2 0At ，则 5 2 2 4 1t S t 高三数学试卷第 20 页 共 20 页 4 3 2 132 tt Sx t 当 2 0 3 t 时， 0Sx ， S x单调递减，当 2 3 t 时， 0Sx ， S x单调递增 所以，当 2 3 t 时， 2 Sx有最小值 5 5 27 ， S x的最小值为 25 15 9 10 分