数学分析第十章-定积分的应用课件.pptx

1、 1 平面图形的面积 2 由平行截面面积求体积 3 平面曲线的长 4 定积分在物理学中的应用精品文档 本章中我们将用前面学过的定积分的知识来本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且微元法解决问题的定积分的分析方法。微元法解决问题的定积分的分析方法。精品文档 1 1 平面图形的面积平面图形的面积精品文档ab xyo)(xfy 的几何意义积分一badxxf)(精品文档dxxfAba)(则2.如果y=f(x)在a,b上不都是非负时，如下图abx

2、yy=f(x)2A1A3A0321AAAdxyba精品文档y0 xy=f(x)y=g(x)ab平面图形的面积所围及由二bxaxxgyxfy,)(),(,),()(baxxgxf若dxxgdxxfAbaba)()(则dxxgxfba)()(精品文档 一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围平面图形的面积计算公式为.)()(dxxgxfAba精品文档解解两曲线的交点两曲线的交点).3,9(),1,1(0322yxxyxy 2032 yxdxxxA)(1012A1A34210dxx精品文档则为积分变量选所围成平面图形本题也可看成由,3,1,32,2y。yyy

3、xyx332)32(312dyyyA注注 被积函数为被积函数为“右右-左左”右为直线，左为抛物线右为直线，左为抛物线328)23(912dxxxA33221AAA精品文档如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程则记且连续可微连续上在给出),(),(,0)(,)(,)(,)()(xbxatxtxtyttyytxx曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(dttxtyA三参数方程形式下的面积公式三参数方程形式下的面积公式精品文档解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 0

4、2)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 精品文档1 1 考虑曲边梯形面积计算问题考虑曲边梯形面积计算问题微元法微元法曲边 梯形由连 续曲 线曲边 梯形由连 续曲 线)(xfy )0)(xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所围成。所围成。ab xyo)(xfy 精品文档面积表示为定积分要通过如下步骤：面积表示为定积分要通过如下步骤：（2）计算计算iA 的近似值的近似值iiixfA )(iix （3 3）求和，得求和，得A A的近似值的近似值.)(1iinixfA （4 4）求极限，得求极限，得A A的精确值的精确值iiniTxfA)(lim10 badxxf)(

5、精品文档iiniTxf)(lim10比较 badxxf)(与与两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让的定积分表达式有很好的对应。我们让niT10lim ba对应对应iixf)(而而使使dxxf)(对对应应 要想得到一个定积分表达式，只要求出被积要想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式表达式,)(dxxf这就是定积分的微元法这就是定积分的微元法精品文档（1 1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf)(；就就可

6、可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量 U 2 2 定积分的微元法定积分的微元法精品文档微元法的一般步骤微元法的一般步骤精品文档这个方法通常叫做微元法这个方法通常叫做微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等精品文档x xy yo o)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 穿针法或微元法穿针法或微元法被积函数上被积函数上-下、右下、右

7、-左左精品文档解解 两曲线的交点，两曲线的交点，)1,1()0,0(面积微元面积微元dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 22xyxy解方程组解方程组注注 被积函数为上被积函数为上-下，上为下，上为 下为下为xy 22xy 精品文档xo曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212drA四四 极坐标下的面积公式极坐标下的面积公式)(rr 面积微元面积微元drdA2)(21精品文档解解利用对称性知利用对称性知.232a d2)cos1(02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 dadA22

8、)cos1(21 精品文档解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 1A精品文档作业，精品文档 2 2 由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积精品文档xoab一一 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积x 对一个立体，如果知道该立体上垂直于一定轴对一个立体，如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算用定积分来计算.精品文档,ba变化范围,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积精品文档例

9、1 求两圆柱:222222RxzRyx所围的立体体积.解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？下图就是其在第一卦限部分立体：精品文档 该立体被平面 （因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为 的正方形,所以截面面积 。22xR,0Rx故两圆柱面所围成的立体的体积8V3316RRdx0)(22xR 22)(xRxA精品文档RR xyo解解 建立坐标系，建立坐标系，底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dx

10、xRVRR tan)(2122 .tan323 R 轴轴。轴轴的的直直线线为为垂垂直直于于轴轴，底底面面上上过过圆圆心心、且且为为取取平平面面与与圆圆柱柱体体的的交交线线yxx精品文档 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二二 旋转体的体积旋转体的体积精品文档取积分变量为取积分变量为x,ba变变化化范范围围相应于相应于,ba上的任一小区间上的任一小区间,dxxx，窄边梯形绕，窄边梯形绕x轴轴dxxfdV2)(xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba

11、2)()(xfy 即体积微元为即体积微元为 精品文档yr解解hPxhry ,0h它的变化区间为xo直线方程为直线方程为),(rhp过原点过原点 及点及点o精品文档dxxhrdV2 dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo精品文档xyo)(yx cddyy2)(dcV精品文档2224()(0)xyRrrRx例求由圆绕 轴旋转一周所得环状立体体积。122222,yRrxyRrxxrx解：如上图所示，上、下半圆方程分别为：则环体体积是由上、下两个半圆绕轴旋转一周所得旋转体的体积之差(如下图所示）：yoxrr221yRrx上半圆：222yRrx下半圆：yxorryxorr精品文

12、档即环体体积:dxyrr22dxxrRrr222)(dxxrRrr224dxyVrr21)(222dxxrRrrRr222精品文档解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a)(xy精品文档绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2a2)(2yxx )(1yxx 222sin)si

13、n(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 精品文档作业 P246 2(1)(3)(4),3精品文档 3 3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长精品文档xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧AB上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点 BMMMMMAnni,1101.平面曲线弧长的概念.,TC记为的一个分割称为对曲线niiiTiiniMMSMMMaxT1111,:记精品文档。CSCSSTCTT的弧长定义为并把是可求长的则称曲线如果存在极限的无论怎样分割对于曲线定义,lim,.10。Ctytxtytx

14、ttyytxxC为一条光滑曲线则称不同时为零与且上连续可微在与如果给出由参数方程设平面曲线定义,)()(,)()(,)1(,),(),(.2精品文档对光滑曲线对光滑曲线C:C:,),(),(ttyytxx每一段弧长线的一条内接折线得曲联接上对应点为在的一个分割为设,),2,1(,2,1),(),(,110niPPnitytxPCtttTiiiiin21211)()()()(iiiiiiitytytxtxPPSiiityx22)()(iiityx22)()(iii,ii精品文档从而曲线的长度从而曲线的长度:niiiiniityxSS1221)()(dttytx22)()(0T精品文档1.弧长公式

15、且弧长为是可求长的则为一条光滑曲线如果给出由参数方程设平面曲线定理,)1(1.10)1(CCCdttytxS22)()(xoyabdx精品文档设光滑曲线弧为设光滑曲线弧为,)()(tyytxx)(t22)()(dydxds 222)()()(dttytxdttytx22)()(故弧长为故弧长为则弧长微元为dttytxS22)()(证明证明xoyabdx精品文档解解)0()cos1(),sin(atayttax的全长的全长).20(2sin2 )()(sin)(),cos1()(22 tdttadttytxdstatytatx于是于是.82cos42sin22020atadttas 所以所以a

16、2a)(xy精品文档(2)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长微元:因此所求弧长精品文档解解,21xy 因因为为dxxds2)(121从而弧长微元,1dxx 所以弧长为所以弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab 0.511.520.250.50.7511.251.51.75精品文档设曲线弧为设曲线弧为)()(rr 其中其中)(r在在,上具有连续导数上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx由由)(22)()(dydxds 得到得到,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22drrS（）（）极坐标情形极坐标情形精品文档642245510CBD2ax0y1cosra精品文档解解drrS

17、2022)()(02da)cos1(2204ad2cosa8精品文档1 1光滑曲线的概念光滑曲线的概念.四四 小结小结2 2平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下3 3 弧长的公式弧长的公式 精品文档作业（）（）（）精品文档 4 4 旋转曲面的面积旋转曲面的面积精品文档1 设平面光滑曲线的方程为求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.精品文档积分后得旋转体的侧面积故侧面积微元为:则侧面积近近似值为:精品文档侧面积微元的线性主部.不是薄片侧面积 的 注意注意:精品文档例例1.1.计算圆计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧

18、面积 S.解解:对曲线弧对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时,得球的表面积公式精品文档若光滑曲线由参数方程给出,旋转一周所得旋转体的侧面积为则它绕 x 轴精品文档例例2.2.求由内摆线求由内摆线一周所得的旋转体的表面积 S.解解:利用对称性利用对称性绕 x 轴旋转 精品文档若光滑曲线由极坐标方程给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转体的侧面积为这里极坐标方程可转化为参数方程精品文档作业（）（），（）精品文档 5 5 定积分在物理中的某些应用定积分在物理中的某些应用精品文档一 液体静压力精品文档解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为积分变量为积分变量，3,0 x取取任任一一小小区

19、区间间,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片上上各各处处的的压压强强近近似似相相等等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.922dxx,xp 精品文档dxxxdP292dxxxP23092)9(92302xdx3032932x18精品文档 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算二、引力精品文档解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.细棒上小段机动 目录 上页 下页 返回 结束

20、 将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dxlMdM 小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22xar精品文档故垂直分力微元为引力微元为引力微元为(对质点的引力大对质点的引力大小为小为),22xadxlkmM精品文档利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力机动 目录 上页 下页 返回 结束 故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为 精品文档三 功与平均功率精品文档解解建立坐标系如图建立坐标系如图xo取取x为积分变量，为积分变量，5,0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx,5m3m精品文档这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dxdP23功微元为功微元为xdPdW dxxW50950229x5.112xo3m5m,9dxx精品文档.,)2(,0sin),(4压并求与之相当的直流电上的能量内消耗在电阻求在一个周期已知交流电压为如图在纯电子电路例WRTTtVVm精品文档作业 P259 1,4,7精品文档