数学分析4-242-连续函数的性质课件.ppt

1、2 连续函数的性质 一、连续函数的局部性质四、一致连续性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质0|()|()|1.f xf x0|,xx 当当时时0|()()|1,f xf x故故|f(x)|的一个明确的上界的一个明确的上界.因为是局部有界。因为是局部有界。0fx因为在连续，因为在连续，存在存在所以对所以对,1 证证,0 1,取取这这个个特特定定的的值值注意注意:我们在证明有界性时我们在证明有界性时,0,“对对于于任任意意的的”这这样样可可求求得得而不是用术语而不是用术语0().fU x在在某某邻邻域域上上有有界界连连续续，在在点点若若函函数数0 xf定理定理4.2（局部有界性）（局部有

2、界性）则则一、连续函数的局部性质),0)()(rxfrxf或或00(,),xxx当时 有当时 有,0 存在存在000|()()|(),f xf xf xr 000()()0),rf xf xrr 或或的的正正数数存存在在0,fx若若函函数数在在点点连连续续 且且定理定理4.3（局部保号性）局部保号性）,)0)(0)(00 xfxf或或则对任意一个满足则对任意一个满足 000,fxfxr 因因为为在在连连续续 所所以以对对正正数数证证000,(,),xxx当时当时(2)()(),f xg x(1)()(),f xg x.2)(0 xfr 注注 在具体应用保号性时在具体应用保号性时,我们经常取我们

3、经常取 .0)(rxf 于是证得于是证得(),()f xg x若函数若函数定理定理4.4（连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算）则函数则函数连续连续均在点均在点,0 x0(4)()/(),()0f xg xg x(3)()(),f xg x 0.x在在点点也也是是连连续续的的此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得01()nnP xaa xa x也是连续函数也是连续函数.我们知道我们知道,常函数常函数 与线性函数与线性函数 都是都是 R 上上 y=cy=x到到,具体过程请读者自行给出具体过程请读者自行给出.的连续函数的连续函数,故由四则运算性质故

4、由四则运算性质,易知多项式函数易知多项式函数 0101()()nnmmaa xa xP xQ xbb xb x 同理同理,有理函数有理函数(分母不为零分母不为零)同样是连续函数同样是连续函数.下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下00,().uf x 连连续续0().g f xx则复合函数在点连续则复合函数在点连续0()g uu在在点点0()f xx若若函函数数在在点点连连续续，定理定理4.5是不变的是不变的.,01 存在存在01|,uu 当当时时 有有0|()()|,g ug u 证证 ,0 因此对于任意的因此对于任意的0(),g uu由由于于在

5、在点点连连续续01(),0,f xx 又又因因为为在在点点连连续续故故对对上上述述00,|,xx存存在在当当时时有有001|()()|,f xf xuu 00|()()|()()|,g f xg f xg ug u 于是于是0().g f xx这这就就证证明明了了在在点点连连续续 对这个定理我们再作一些讨论对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定以加深大家对该定000(1)lim(),lim(),uuxxg uAf xu由由不不一一定定有有请大家仔细观察定理请大家仔细观察定理4.5 的证明的证明,看看此时究竟哪看看此时究竟哪0lim().xxg f xA理的认识理的认识.里通不过里通不过.

6、).(lim()()(lim000 xfgugxfgxxxx )*(应用定理应用定理4.5,就得到所就得到所0().f xx使使得得在在点点连连续续(*)式相应的结论仍旧是成立的式相应的结论仍旧是成立的.,)(lim,)()2(000uxfuugxx 连续连续在在若若则有则有00lim()xxf xu 若将若将改为改为 需要的结论需要的结论.,)(lim0uxfx 0)(limuxfx,)(lim0uxfx 或或事实上事实上,只要补充定义只要补充定义（或者重新定义）或者重新定义）00()f xu 上述上述(1)和和(2)究竟有什么本质的区别呢究竟有什么本质的区别呢?请读者作请读者作.0)1(l

7、imsin()1sin(lim2121xxxx).1sin(lim21xx 求求例例122sin(1)()sin,(1)xg uu ux可可视视为为的的复复解解合，所以合，所以出进一步的讨论出进一步的讨论.例例2.sin2lim0 xxx求求解解()1,g uuu因因为为在在连连续续 所所以以.112)sin2(limsin2lim10 xxxxxx例例3.)11sin(limxxx 求求解解1lim(1)e,sine,xxuux因因为为在在点点连连续续所以所以.esin)11sin(lim xxx 均有均有使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx ),)()()()(00 xfxfxfxf

8、,.a b 上上的的整整体体性性质质 证证明明将将在在第第七七章章里里给给出出.,上连续上连续在闭区间在闭区间设设baf在本节中将研究在本节中将研究 f 在在二、闭区间上连续函数的性质定义定义1().f xD设设为为定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数若若()(),f xD则则称称在在 上上有有最最大大 小小 值值0()x 称称为为最最大大 小小 值值0()()().f xf xD称称为为在在 上上的的最最大大 小小 值值点点,的最大值不存在的最大值不存在,最小值为零最小值为零.注意注意:xxy 既无最大值既无最大值,又无最小值又无最小值.22yx sin(,)在在上上定理定理4.6（

9、最大、最小值定理）（最大、最小值定理）()f x若若函函数数在在闭闭区区,a b间上连续，间上连续，(),.f xa b则则在在上上有有最最大大、最最小小值值xysgn 例如例如,符号函数符号函数的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;xysin 正弦函数正弦函数的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;函数函数(其上确界为其上确界为1,下确界为下确界为-1)这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的推论推论)(,)(xfbaxf则则上连续上连续在闭区间在闭区间若函数若函数.,上有界上有界在在ba(0,1).在在上上无无界

10、界()f x函数有最大、最小函数有最大、最小这是因为由定理这是因为由定理4.6 可知可知,值值,从而有上界与下界从而有上界与下界,于是于是 f(x)在在a,b 上上是有是有1(),(0,1)f xxx函函数数虽然也是连续函数虽然也是连续函数,但是但是内涵内涵,在今后的学习中有很广泛的应用在今后的学习中有很广泛的应用.界的界的.这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性定理定理4.7（介值性定理）（介值性定理）,)(baxf在闭区间在闭区间设函数设函数()()()(),f af bf bf a间间的的任任一一数数或或.)(0 xf.)()(bfaf 且且

11、()()f af b 若若 是是介介于于与与之之上连续上连续,使得使得,),(0bax 则则(至少至少)存在一点存在一点质有着根本的区别质有着根本的区别.从几何上看从几何上看,当连续曲线当连续曲线 从水平直线从水平直线()yf x y 的一侧穿到另一侧时的一侧穿到另一侧时,两者至少有一个交点两者至少有一个交点.()yf xyxo)(af)(bf ab0 x 推论推论（根的存在性定理）根的存在性定理）,)(上连续上连续在在若若baxf0)(0 xf应当注意应当注意,此推论与定理此推论与定理4.7是等价的是等价的.于是于是,只要只要则至少存在一点则至少存在一点,0)()(bfaf,0 x使使下面用

12、确界定理来证明上述推论下面用确界定理来证明上述推论,大家要注意学习大家要注意学习证明了推论证明了推论,也就完成了定理也就完成了定理4.7 证明证明.确界定理的使用方法确界定理的使用方法.(E为图中为图中x 轴上的红轴上的红.0)(,|xfbaxxE 证证 不妨设不妨设 ()0,()0,f af b并设并设xyOab零点零点.证明如下：证明如下：的最大值就是函数的的最大值就是函数的线部分线部分)从几何上看从几何上看,E因为因为,aE 所以所以,E 又又 E 是有界的是有界的,故由确故由确我们来否定下面两种情形我们来否定下面两种情形:1.00()0.f xaxb若若，则则有有由由 f(x)在点在点

13、 是是0 x连续的连续的,根据保号性根据保号性,存在存在00(),xb使当使当.0)(xf.0bxa 界定理界定理,Exsup0 存在，显然存在，显然),00 xxx时，仍有时，仍有00()0,22f xxE特特别别是是使使得得这这就就与与0sup.xE相相矛矛盾盾2.00()0.f xaxb若若，则则有有同样根据保号性同样根据保号性,0101,.xxxxE 1()0,.f x从从而而也也导导致致矛矛盾盾同时由同时由 x0 sup E,对上述对上述 ,存在存在 1,x 使使得得0000(),(,xaxxx当当时时，()0.f x 排除了上面两种情形后排除了上面两种情形后,就推得就推得.0)(0

14、 xf由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下.,),(Mmbaf下面再举一些应用介值性定理的例题下面再举一些应用介值性定理的例题.设设 在在 上连续上连续,那么它的最大值那么它的最大值 M 与最与最,ba()f x结论结论:小值小值 m 存在存在,并且并且0.nxr 使得使得证证 先证存在性：先证存在性：,lim.nxnx 因因为为 为为正正整整数数 所所以以由极限的保号由极限的保号.1rxn()nf xx 又因为函数在又因为函数在1,x性知,存在性知,存在使使01(0,),xx.0rxn 使得使得00nxxr这这个个我我们们记记为为(读作读作 r

15、 的的 n 次算术根次算术根).例例30,rn 若若为为正正整整数数，则存在唯一的正数则存在唯一的正数,0 x,)()0(1xfrf 且且连续，连续，10,x 上上所以存在所以存在)(1221 nnnnnnxyxxyyxyxy,0()0,)nf xx 在在上上我们只需证明我们只需证明严格递增严格递增,0,x yxy使使有有即可即可.事实上，事实上，).()(yfxf 即即000,().xa bf xx存存在在使使例例4 .,),(,babafbaf 上连续，上连续，在在设设求证求证:再证唯一性再证唯一性:,)()(xxfxF .0)()()()(bbfaafbFaF则则(),().af af

16、bb现现设设作辅助函数作辅助函数证证.)(,)(bbfafa 由条件知由条件知.则结论成立则结论成立()(),af abf b若若或或(),f xa b因因在在上上连连续续(),.F xa b故在上也连续故在上也连续.)(00 xxf),(0bax 由由介介值值性性定定理理，存存在在0()0F x 使使，即即任意的实数任意的实数 r,f(x)=r 至多有有限个解至多有有限个解.证明：证明：证证00(,),().xa bf xx只只要要证证在在点点连连续续 对对任任意意0,由由条条件件 方方程程 )()(0 xfxf )()(0 xfxf与与的解至多为有限个的解至多为有限个.例例5 设设 在区间

17、在区间(,)a b内满足介值性内满足介值性,并且对于并且对于()f x 在在 内连续内连续.),(ba()f x1.12,nxxx设设这这有有限限个个解解为为记记10200min|,|,|,nxxxxxx 0|,xx 当当时时0|()()|.f xf x 由介值性条件不难证明：由介值性条件不难证明：.0 显然显然xyO )(0 xf )(0 xf0 x1 nxnx)()(0 xf 0 x 0 x 0|,xx 当当时时0|()()|,f xf x 0().f xx在在点点连连续续即即2.如果解为空集如果解为空集,任意取任意取,0 0(;)(,),U xa b 证证 不妨设不妨设 f(x)严格增严

18、格增,那么那么)(,)(bfaf就是反就是反上连续上连续,且与且与 f(x)有相同的单调性有相同的单调性.)(1xf 定理定理4.8 若函数若函数 f(x)在在a b,上严格单调且连续上严格单调且连续,1()(),()yfxf af b 在在f bf a(),()或或则反函数则反函数三、反函数的连续性函数的定义域函数的定义域.)(1yfx 1()(),()xfyf af b 在在上上严严格格增增1.(证明见定证明见定理理1.2).2.1()(),().xfyf af b 在在上上连连续续(如图所示如图所示).0bxa 则则),()(0bfyaf ,)(010yfx 令令,0y对于任意对于任意O

19、xyab()f a()f b0 x0y每一每一对应对应1y2y0 x 0 x 任给任给取取m in2001,y y y y 对应对应),()()(21111yfyfyf .)()(0101 yfyyf即即时，时，当当)()(2001yyyyy 请读者类似地证明该函数在端点的连续性请读者类似地证明该函数在端点的连续性.1()(),()xfyf af b 在在这就说明了这就说明了上连续上连续.,)(,)(0201 xfyxfy,0,min1002 yyyy 令令设设,00bxxa 对于任意的正数对于任意的正数且严格增且严格增.关于其它的反三角函数关于其它的反三角函数,cotarc,arctan,a

20、rccosxyxyxy 均可得到在定义域内连续的结论均可得到在定义域内连续的结论.例例6()sin22f xx由由于于在在，上上连连续续且且严严格格增增，因此它的反函数因此它的反函数arcsin 1,1yx 在在上也是连续上也是连续严格增严格增.例例7()0)nyxn 由由于于为为正正整整数数 在在，上上连续且严连续且严在上亦为连续且在上亦为连续且nxy1 格增格增,那么其反函数那么其反函数),0在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要12|()()|,f xf x 只要就有只要就有12|,xx 四、一致连续性任意的正数任意的正数0 0 ,使得对任意

21、使得对任意,存在存在1,2,x xI 定义定义2.设设 为定义在区间为定义在区间I上的函数上的函数,如果对于如果对于()f x则称则称 在区间在区间I上一致连续上一致连续.()f x的概念的概念.首先来看两个例题首先来看两个例题.例例8 8 ()1,).f xx 证明在上一致连续证明在上一致连续证证有有因为对任意的因为对任意的,),1,21 xx|,|12211221xxxxxxxx 0,所以对任意的正数只要取当所以对任意的正数只要取当12|xx 时时，1221|,xxxx 1).x 所所以以在在，上上一一致致连连续续证证 首先我们根据一致连续的定义来叙述首先我们根据一致连续的定义来叙述 f(

22、x)在在区区例例9 9 1(0,1).yx 证明在内不一致连续证明在内不一致连续1212,|,xxIxx 虽虽然然但仍有但仍有.|)()(|021 xfxf1,(0,1)yxx现在来验证函数现在来验证函数确实不是一致确实不是一致连续的连续的.00,()存在对任意正数无论多么小，存在对任意正数无论多么小，总有总有间间I上不一致连续的定义：上不一致连续的定义：),21(1 ，对对任任意意正正数数取取1212,|,2xxxx 令令虽虽.111112 xx但但1(0,1).yx 这这就就说说明明在在内内不不一一致致连连续续1x2x1xyO试问试问,函数函数 在区间在区间I上一致连续与上一致连续与 在区

23、在区()f x()f x间间I上连续的区别究竟在哪里？上连续的区别究竟在哪里？仅与仅与 有关有关.01(0,1),yxx比比如如在在连连续续 对于任意正数对于任意正数 ,所得所得1)yx 已已证证得得在在，上上一一致致连连续续.这这是是由由于于答答:(1)首先首先,对于对于,0 如果如果 在区间在区间 I上连续，上连续，()f x0 x 有有关关,那么那么,不仅与不仅与 有关有关,而且还与所讨论的点而且还与所讨论的点).,(0 x 即即而而 在区间在区间I上一致上一致连续连续.那么那么()f x,2,2min020 xx 0 x,它它与与都都有有在例在例8中中显然显然关关.0,.x 与无关与无

24、关),(0 x 有有时时当当,|0 xx.|)()(|0 xfxf 过程中有一个正下界过程中有一个正下界(当然当然00(,)xx 若若在在的的变变化化(2)函数函数 f(x)在每一点在每一点 连续连续,Ix 0,0 下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质.区间区间I上就一致连续了上就一致连续了.这个下界只与这个下界只与 有关有关,而与而与x0无关无关),则此时则此时 f(x)在在上连续上连续,则则,baf 在在,ba上一致连续上一致连续.这个定理告诉我们这个定理告诉我们:定义在闭区间上的函数定义在闭区间上的函数,连连例例10 设区间设区间1的右端点

25、为的右端点为1c,区间区间2的左端的左端定理定理4.9（一致连续性定理）（一致连续性定理）若函数若函数 f 在闭区间在闭区间上一致连续上一致连续,)(xf则则在区间在区间21 上也一致连续上也一致连续.,2cc 并且并且证明：若证明：若)(xf分别在分别在21,点也为点也为续和一致连续是等价的续和一致连续是等价的.连续，所以分别存在连续，所以分别存在 使得使得 ,0,021 当当121121,|,x xxx 时时12|()()|,f xf x 当当122122,|x xxx 时时,12|()()|.f xf x,0,min21 取取则对于任意的则对于任意的,2121xx 证证 对任意的对任意的

26、,0 因为因为)(xf在在21,上一致上一致121221.,.情情形形或或x xx x此时自然有此时自然有12|()()|.f xf x 有以下两种情形：有以下两种情形：12|,xx 当当时时11222.,.xx情形情形注意到注意到1212,|,|,cxcxc 1212|()()|()()|()()|f xf xf xf cf xf c可得可得.2 综上，证得综上，证得)(xf在区间在区间21 上一致连续上一致连续.注注 例例10的条件的条件”“21c 是重要的是重要的.比如比如 32,021,1)(xxxf在区间在区间2,1与区间与区间3,2(上分别一致连续上分别一致连续,但在但在区间区间

27、1,3 上不连续上不连续,当然也不一致连续当然也不一致连续.例例11 设设),)(axf在在上连续上连续,并且并且.)(limAxfx 证明证明),)(axf在在上一致连续上一致连续.证证 因为因为Axfx)(lim,所以对任意的正数所以对任意的正数,0 存在存在有有时，时，当当XxxaX 21,21|()()|.f xf x 又又1,)(Xaxf在在上连续上连续,故由定理故由定理4.9可知可知 f(x),1a X 在在上一致连续上一致连续.因此对上述因此对上述，存在正数存在正数,)1(使对任意使对任意,1,21 Xaxx只要只要|21xx,必有必有12|()()|.f xf x 现对任何现对任何1212,),|,x xaxx 讨论如下讨论如下.121.,1,x xa X情形自然有情形自然有12|()()|;f xf x 情形情形2.注意到注意到,1 所以若情形所以若情形1 不成立不成立,必然有必然有,21XxXx .),)(,上上一一致致连连续续在在证证得得综综上上 axf于是于是12|()()|.f xf x