华东师大版八上13角平分线的性质与判定课件.pptx

1、回忆回忆 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。如图，是角的对称轴。如图，OC是是AOB的角平分线。的角平分线。探索探索 点点P是射线是射线OC上的任意一点，过点上的任意一点，过点P作作PDOB，PE OA,点点D、E为垂足，测量为垂足，测量PD、PE的长的长PAOBCED 观察测量结果，猜想线观察测量结果，猜想线段段PD与与PE的大小关系？的大小关系？PD=PE结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相

2、等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED PDOAPDOA，PEOB,PEOB,证明：证明：PDO=PEO=90在在PODPOD和和POEPOE中中 PDO PEO（AAS）PDOPEO AOCBOCOP=OP PDPE角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：BADOPEC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。用几何语言表示：用几何语言表示：PD=PE（角平分线上的点角平分线上的点 到这个角

3、的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三个，推理的理由有三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。（2）距离必须是垂直距离）距离必须是垂直距离（1）必须是角平分线上的点）必须是角平分线上的点 OC是是AOB的角平分线的角平分线PD OA，PE OB 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）判断判断 AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距

4、离相等。角的两边的距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等 如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（）PD=PE=PF.练习 教材P98练习1 2（2）若AB=10cm，DBE的周长=。点P是射线OC上的任意一点，过点P作PDOB，PE OA,点D、E为垂足，测量PD、PE的长反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？如图，AD平分BAC（已知）3：角平分线的判定结论：一处 B.结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等 OC是AOB的角平分线已知

5、：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA，PE OB，垂足分别是D、E.角的平分线上的点到角的两边的距离相等1、如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.AD平分BAC,DCAC，DBAB （已知）PDOA，PEOB，PDPE例例1 1、已知：、已知：AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD，DE AB于点于点E，DF AC于点于点F。求证：求证：DE=DF，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ABCDE 2 2、如 图、如 图,O

6、C,O C 是是 A O B A O B 的 平 分 线的 平 分 线,点点 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用DE=DC4cm3 3、如图在、如图在ABC中中C=900，AC=BCAC=BC，ADAD平分平分CAB，交，交BC于点于点D，DEAB于点于点E。（1 1）若）若AC=6cmAC=6cm，则，则DE+BD=DE+BD=。（2 2）若）若AB=10cmAB=10cm，DBE的周长的周长=。6cm10cm3、如图在ABC中C=

7、900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。三角形的三条角平分线相交于一点。3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。这样，我们又可以得到一个结论：求证：点Q在AOB的平分线上观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？BC、CA，垂足分别为D、E、F3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。AD平分BAC,DCAC，DBAB （已知）点P是射线OC上的任意一点，过点P作PDOB，PE OA,点D、E为垂足，测量PD、PE的长到角的两边的

8、距离相等的点在角平分线上。点Q在AOB的平分线上在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。这样，我们又可以得到一个结论：即点P到边AB、BC、CA的距离相等例1、已知：AB=AC，BD=CD，DE AB于点E，DF AC于点F。反过来，到一个角的两边的距离相等的反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上证明证明:QDQDOAOA，QEQEOBOB（已知），（已知），QDOQDOQEOQEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtRtQDOQDO和和R

9、tRtQEOQEO中中 QOQOQOQO（公共边）（公共边）QD=QEQD=QE Rt RtQDOQDORtRtQEOQEO（HLHL）QOD QODQOEQOE 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上这样，我们又可以得到一个结论：这样，我们又可以得到一个结论：到角两边距离相等的点在角的平分线上。到角两边距离相等的点在角的平分线上。BADOPEC PDOA，PEOB，PDPE点Q在AOB的平分线上用几何语言表示：用几何语言表示：例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交

10、于点点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.ABCPMNABCPMN例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：过点证明：过点P作作PD、PE、PF分别垂直于分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为，垂足分别为D、E、FFDEDE BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE 同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等想一想，点想一想，点P在在AA 的的 平分线上吗？这说平

11、分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？明三角形的三条角平分线有什么关系？三角形的三条角平分线相交于一点。三角形的三条角平分线相交于一点。例2、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD练习练习 教材教材P98练习练习1 22、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.三角形的三条角平分线相交于一点。如图，AD平分BAC（已知）反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等三角形的三条角平分线相交于一点。已知

12、：如图,QDOA，QEOB，求证：点Q在AOB的平分线上结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等这样，我们又可以得到一个结论：点Q在AOB的平分线上点D、E为垂足，QDQE QDOQEO90（垂直的定义）在RtQDO和RtQEO中要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?QDOQEO90（垂直的定义）在RtQDO和RtQEO中这样，我们又可以得到一个结论：这样，我们又可以得到一个结论：1、如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.CDABO拓展与延伸2、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等

13、,应在何处修建?3、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。D1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3：角平分线的判定结论：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。PD=PE=PF.证明:QDOA，QEOB（

14、已知），PD=PE=PF.到角的两边的距离相等的点在角平分线上。点D、E为垂足，QDQE两处 C.QOQO（公共边）QD=QE RtQDO RtQEO（HL）点Q在AOB的平分线上要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?定理应用所具备的条件：PDO PEO（AAS）三角形的三条角平分线相交于一点。结论：它到角的两边的距离相等BM是ABC的角平分线，点P在BM上2、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.（2）距离必须是垂直距离结论：它到角的两边的距离相等 =，()3：角平分线的判定结论：三处 D.例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P

15、.题设：一个点在一个角的平分线上观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。如图，OC是AOB的角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点。在POD和POE中3、如图在ABC中C=900，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E。观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？想一想，点P在A 的 平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？=，()即点P到边AB、BC、CA的距离相等即点P到边AB、BC、CA的距离相等我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。点Q在AOB的平分线上观察测量结果，猜想线段PD与PE的

16、大小关系？PD=PE例2、如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是点E，F，且BECF。已知：如图,QDOA，QEOB，如图，AD平分BAC（已知）结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等 AOCBOC例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。BC、CA，垂足分别为D、E、F 如图，AD平分BAC（已知）3、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.这样，我们又可以得到一个结论：求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.结论：它到角的两边的距离相等两处 C.点P是射线OC上的任意一点，过点P作PDOB，PE OA,点D、E为垂足，测量PD、PE的长 OC是AOB的角平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA，PE OB，垂足分别是D、E.结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等即点P到边AB、BC、CA的距离相等求证：点Q在AOB的平分线上两处 C.练习练习 教材教材P99习题习题2，3，4，5