利用二次曲面的主径面化简二次曲面课件.ppt
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- 利用 二次曲面 主径面化简 课件
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1、6.4 利用二次曲面的主径面化简二次曲面Simplifying the equation of a quadratic surface by using master diameters6.4.1 二次曲面的主径面方程二次曲面的主径面方程 (the lord diameter surface equation of a quadratic surface)定义定义1 二次曲面(6.1-1)的平行弦的中点轨迹是一个平面,称为共轭于平行弦的径面,而平行弦称为这个径面的共轭弦,平行弦的方向称为这个径面的共轭方向。若方向(X,Y,Z)满足(X,Y,Z)=0,则称(X,Y,Z)为渐进方向,否则称为非渐进
2、方向.不难验证,二次曲面(6.1-1)的对应于方向(X,Y,Z)的径面方程(证明略)为定理定理1 二次曲面的任何径面一定通过它的中心.定义定义2 如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,那么这个径面就称为二次曲面的主径面.定义定义3 二次曲面主径面的共轭方向(即垂直于主径面的方向),或者二次曲面的奇向,称为二次曲面的主方向.123,0XF x y zYFx y zZFx y z设二次曲面方程为(6.1-1),方向(X,Y,Z)如果(X,Y,Z)是(6.1-1)的渐近方向,那么它成为(6.1-1)的主方向的条件是成立,这时称(X,Y,Z)是(6.1-1)的奇向.11121312222313233
3、30,0,0.a Xa Ya Za Xa Ya Za Xa Ya Z如果(X,Y,Z)是(6.1-1)的非渐近方向,那么它成为(6.1-1)的主方向的条件是与它的共轭径面垂直,所以有 从而得 111213122223132333142434()()()()0a Xa Ya Z xa Xa Ya Z ya Xa Ya Z za Xa Ya Z111213122223132333():():():,a X a Y a Za X a Y a Za X a Y a ZX Y Z111213122223132333,.a Xa Ya ZXa Xa Ya ZYa Xa Ya ZZ因此方向(X,Y,Z)成为
4、二次曲面(6.1-1)的主方向的充要条件是存在使得上式成立,把上式改写成 (6.4-2)这是一个关于X,Y,Z的奇次线性方程组,因此X,Y,Z不能全为零,因此,(6.4-3)即111213122223132333()0,()0,()0.aXa Ya Za XaYa Za Xa YaZ1112131222231323330aaaaaaaaa321230III 定义定义4 方程(6.4-3)称为二次曲面(6.1-1)的特征方程,特征方程的根称为二次曲面(6.1-1)的特征根。显然,这里的特征方程与不变量一节中的特征方程是完全相同的.从特征方程(6.4-3)求得特征根,代入(6.4-2),就可以求出
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