初中数学-将军饮马问题-两线段和最小值-课件.ppt

1、 将军饮马问题将军饮马问题 -两线段和最小值专题两线段和最小值专题 1 1、平移、平移 三种变换的本质相同：三种变换的本质相同：都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。都是转化为全等，进而有对应边相等、对应角相等。2 2、旋转、旋转 3 3、轴对称、轴对称 (“将军饮马将军饮马”问题问题)在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？图1图2转化思想两点之间，线段最短。两点之间，线段最短。F FA+FBAB化同侧为异侧轴对称变换化折线为直线“两点之间、线段最短”

2、如图3，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 图3681010 想一想 如果把这道题看成“将军饮马”的问题，你觉得图中哪条线段可以看成河流，哪两个点可以看成A和B呢？(“将军饮马将军饮马”问题问题)在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？图1图4 （“过桥问题过桥问题”北师大版数学教材八年级下册第北师大版数学教材八年级下册第90页第页第18题题改编改编.）如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B处

3、，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）QP答：桥应建在PQ处才能使由甲到乙的路线最短.平移变换转化思想 如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点E、F的坐标分别为 、图5DQE 想一想 这个题跟刚刚的过桥问题有什么联系和区别？如果能把这个题看成是过桥问题的话，请问桥是指哪一段？F（1/3，0）（7/3，0）如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶

4、点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点E、F的坐标分别为 、图5DQE 想一想 这个题跟刚刚的过桥问题有什么联系和区别？如果能把这个题看成是过桥问题的话，请问桥是指哪一段？F（1/3，0）（7/3，0）图6在(-3，5)如图6，已知抛物线的解析式为y=-x2-2x+8，对称轴为x=-1，点E(1，5)在抛物线上，抛物线与x轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)*（1）作点E关于对称轴的对称点F，则点F (填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为 ；*（

5、2）在抛物线的对称轴上找一点M，使M E+MC的和最小，求出点此时M的坐标；*（3）在AB上存在两个动点P、Q(点P在Q的左侧)，且PQ=2，连接QC、FP，当四边形PQCF周长最小时，求点P的坐标；*（4）若点D是抛物线上的一个动点，连接AD、OD，将AOD绕OD折叠，使得点A落在A处，连接CA求CA的最大值和最小值.如图7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边BC、CD上分别存在点G、H，则四边形EFGH周长的最小值是 图7 如图8，MN是O的直径，MN=2，点A在O上，AMN=30，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 图8 1.知识方

6、面：两点之间两点之间 线段最短线段最短 轴对称变换轴对称变换 平移变换平移变换 轴对称变换轴对称变换 平移变换平移变换化同侧为异侧轴对称变换化折线为直线“两点之间、线段最短”2.数学思想：图10图9 2如图11，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合当AF等于多少时，MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留根号）图11如图，在OAB内有一点P，在OA和OB各

7、找一个点M、N，使得PMN周长最短.如图，在OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得PMN周长最短.理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。一般做法：作点P关于OA和OB的对称点P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA、OB的交点即为所求点。P1P2即为最短周长。如图1，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短呢？一般做法：作点A（B）关于直线的对称点，连接AB，AB与直线交点即为所求点。AB即为最短距离理由：A为A的对称点，所以无论P在直线 任何位置都能得到AP=AP。所以PA+PB=PA+PB。这样问题就化成了求A到B的最短距离，直接相连就可以了 图7