函数与极限-下载课件.ppt

1、2.2 函数的极限函数的极限1 函数极限的概念函数极限的概念(解析定义解析定义)重点内容重点内容：2 极限存在的充要条件极限存在的充要条件 3 分段函数在分段点处的极限分段函数在分段点处的极限 数列数列(特殊的函数特殊的函数)的极限的极限函数的极限函数的极限在自变量的在自变量的某个变化过程某个变化过程中，中，如果函数值如果函数值无限接近无限接近于某个确于某个确定的数，则这个确定的数就称定的数，则这个确定的数就称为在为在这一变化过程这一变化过程中的中的函数的函数的极限极限.()yf xx在自变量 的某个变化过程中有什么样的变化趋势(1),xxx 00000(2),0;0.xxxxxxxxx即 无

2、限不等于趋近于但 一一、函数极限的定义、函数极限的定义(一一)自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限 记法记法：若：若 0 x且沿且沿x 轴正向趋于轴正向趋于 ，则称，则称 x趋于正无穷大，记为趋于正无穷大，记为 x同理：若同理：若 0 x且沿且沿x 轴负向趋于轴负向趋于 ，则称，则称 x趋于负无穷大，记为趋于负无穷大，记为 x若若 x，则称，则称 x趋于无穷大，记为趋于无穷大，记为 x.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限引例引例1 1.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自

3、变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数

4、的极限自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限1,()0;1,()0.,()0.xf xxxf xxxf x 时 函数的值无限接近于时 函数的值也无限接近于常数当 的绝对值无限增大时的值无限接近于1()xf xx 时变化趋势xyO自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限引例引例2 21(),(),()()lim(),()(lim(),().)xxxxf xAAf

5、 xxxf xAxf xAf xAxf xA 定义 如果当或时 函数无限接近于一个确定的常数那么称 为函数当或时极限记作 简记或简记11lim0lim0 xxxx及limarctan,limarctan22xxxx()arctanxf xx时变化趋势22arctanyxxyO 定义定义1：若当：若当 x时时,)(xf的值与常数的值与常数 A无限地接近，则称当无限地接近，则称当 x时，时，)(xf以以A为极限，记作为极限，记作 Axfx )(lim定义定义2(解析定义解析定义)：若存在常数：若存在常数A,对对 0 0 X，当，当 Xx 时，都有时，都有 Axf)(，则称当，则称当 x时，时，)(

6、xf以以A为极限，记作为极限，记作 Axfx )(lim.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx)(lim定义定义X .)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim.)(lim)(lim称为单侧极限称为单侧极限和和极限极限AxfAxfxx 几何解释几何解释 y a+y=f(x)a a-O X x a x+时，时，曲线曲线y=f(x)有有水平渐进线水平渐进线 y=a.)(limxfx .)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx)(lim几何解释几何解释 y a -X O a x-

7、时，曲线时，曲线 y=f(x)有水平渐进线有水平渐进线 y=a。)(limxfx Axfx)(lim.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 几何解释几何解释 y a -X O X x a x 时，时，曲线曲线 y=f(x)有水平渐进线有水平渐进线 y=a.)(limxfx.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim1)11(lim xx1)11(lim xx1)11(lim xx注注：x 趋于无穷大表示它既趋于正无穷大，又趋于无穷大表示它既趋于正无穷大，又趋于负无穷大趋于负无穷大定理定理1：)(limxfx 存在的存在的充分必要条件充分必要条件是是)(limx

8、fx 和和)(limxfx 均存在且相等均存在且相等 axfx )(lim )(lim xfx )(limaxfxxxysin 例例1.0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故,|0sin|xx要要,|1 x只要只要,1|x即即xxysin 几何解释几何解释:X X.2,0)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA.0sinlim xxx例例2：观察反正切函数的图像观察反正切函数的图像 Oyx/2

9、-/2y=arctanx写出自变量三种变化情况下函数的极限写出自变量三种变化情况下函数的极限.lim arctan2xx lim arctan2xx limarctanxx不不存存在在1.99,1.999,1.9999,2,()2.995,2.9995,2.99995,3;2,2.1,2.01,2.001,2.0001,2,()3.05,3.005,3.0005,3.000053xxf xxxf x 当 从左侧无限接近于2时,若 取时对应的函数从 当 从右侧无限接近于 时若 取时对应的函数从12()22xf xx 时,的变化趋势32O2122yxyx12,()22xf xx当时 函数的值无限接

10、近于3.(二二)、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限00000003(),(),()lim(),().()xxf xxxxxf xAAf xxxf xAxxf xA xx 定义 设函数在点 的左右近旁有定义(点 可除外 如果当时 函数无限接近于一个确定的常数那么 就叫作函数当时的极限,记作或当时从左右两侧趋于00()xxf xx研究函数的极限只考虑 无限接近于 时的变注：化趋势,而与在 是否有定义无关.22lim()lim(2)3.2xxxf x可由定义表示为211lim21xxx定义定义 .)(,0,0,00 Axfxx恒有恒有时时使当使当2、几何解释、几何解释:)(

11、xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注注意意;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 3.0 xx 表示从表示从 0 x的左右两侧同时趋于该点的左右两侧同时趋于该点 例例4.211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要使要使,2112 x

12、x就有就有.211lim21 xxx(三三)、左、右极限、左、右极限考虑分段函数：考虑分段函数：,1)(xxf.0,0 xx两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;0 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近;0 xx记作记作在分段点处的极限情况在分段点处的极限情况右极限右极限 Axfxx0lim Axfxxts)(,0.,0,00Axf )0(0左极限左极限 Axfxx0lim Axfxxts)(,0.,0,00Axf )0(0例例7：对函数：对函数 ,1)(xxf.0,0 xx在分段点处的极限情况在分段点处的极限情况解解：从图像上

13、可以看出从图像上可以看出 0lim0 xfx 1lim0 xfx练习：讨论下列函数在分段点处的极限练习：讨论下列函数在分段点处的极限.,1,1,10,)(2xxxxf211lim()lim1xxf xx11lim()lim11xxf x1lim()1xf x.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例8证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim110 xlim注：分段函数注：分段函数分段点分段点处的极限必须通过

14、该定理讨论处的极限必须通过该定理讨论.例例9：常用结论：常用结论：CCxx 0limaxax lim01lim xx)0(0lim xxq)10(q0sinlim0 xx1coslim0 xx二、函数极限的性质二、函数极限的性质1.唯一性唯一性2.局部有界性局部有界性若若 Axfxx 0lim，则存在常数，则存在常数 0 M和和 0 使得当使得当 00 xx时，有时，有 Mxf)(3.局部保号性局部保号性).)()(,),(,),(,)(lim0000000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若 ).(),)()(,),(,)(lim0000000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且推论：推论：小结小结1 函数极限的解析定义函数极限的解析定义2 极限存在的充要条件（左右极限）极限存在的充要条件（左右极限）3 分段函数在分段点处的极限分段函数在分段点处的极限 作业：第二章练习一作业：第二章练习一一一.2,3,4 .2,3,4 二二,1,1，2 2，3 3 三三.2.2，6 6 选做：课本选做：课本P48 2，（，（2）（）（4）