例谈“一线三等角”课件.ppt

1、 数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部分。分。著名数学大师华罗庚曾说：著名数学大师华罗庚曾说：“学数学不做题目，等于学数学不做题目，等于入宝山而空返入宝山而空返”；著名数学教育家波利亚说：；著名数学教育家波利亚说：“掌握数学掌握数学就意味着要善于解题就意味着要善于解题”。毋庸讳言，初中三年的数学教学。毋庸讳言，初中三年的数学教学的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。因此，数学教师加强对中考数学解题的研究，有着极因此，数学教师加强对中考数学解题的研究，有着极其重要的现实意义。

2、其重要的现实意义。在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到广大数学教师的关注，而在众多的基本模型中，相似模型广大数学教师的关注，而在众多的基本模型中，相似模型（含（含全等模型）全等模型）因其种类多、图形美、内涵丰富，因其种类多、图形美、内涵丰富，常常成为各类常常成为各类公开课和展示课上的公开课和展示课上的“嘉宾嘉宾”。而。而“一线三等角一线三等角”模型作为其模型作为其中的中的“翘楚翘楚”，更是受到了许多中考命题者的青睐，以其为基，更是受到了许多中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近些年各省市的中考中，屡见不本框架而精心

3、设计的试题，在近些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈（鲜，精彩纷呈（20182018年连云港市中考数学就考到了两题，且均年连云港市中考数学就考到了两题，且均为压轴题）。其中有些试题，为压轴题）。其中有些试题，“一线三等角一线三等角”直接跃然于纸上，直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开；另有部分试题，让人一目了然，茅塞顿开；另有部分试题，“一线三等角一线三等角”并并非直观呈现，而是隐藏在所给的图形中，这就需要我们通过观非直观呈现，而是隐藏在所给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地予以构造，挖掘出图中隐藏的察辨别和分析探究，合理地予以构造，挖掘出图中隐藏的“一一线三等角线三等角

4、”。你会证明勾股定理吗？你会证明勾股定理吗？你能用至少三种方法证明勾股定理吗？你能用至少三种方法证明勾股定理吗？“一线三等角一线三等角”是一个常见的相似模型，是一个常见的相似模型，指的是指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形的相似图形（包含全等图形）（包含全等图形）。这个角可以是。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三一线三等角等角”，有的地区叫，有的地区叫“K型图型图”，也有的地区，也有的地区叫叫“M型图型图”，在这里我们统一称为，在这里我们统一称为“一线三一线三等角等角”。在连云港，主要考察的是在连

5、云港，主要考察的是“一线三直一线三直角角”。ADBCEAADBCEACABADBCEACABADBCEAADBCEAADBCEA最特殊最特殊考到几考到几率最大率最大（2018连云港连云港16）如图，）如图，E、F、G、H分别为矩形分别为矩形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA的中点，连接的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF已知已知AGGF，AC=，则，则AB的长的长为为 6在在RtDAC中，利用勾股定理可求中，利用勾股定理可求DC（20172017四川绵阳四川绵阳1717）将形状、大小完全相同的两个等腰三）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点角形如图所示放置，点D在在AB

6、边上，边上，DEF绕点绕点D旋转，腰旋转，腰DF和底边和底边DE分别交分别交CAB的两腰的两腰CA，CB于于M，N两点，若两点，若CA=5=5，AB=6 6，AD:AB=1:3，则，则 的最小值为的最小值为 DNMAMD12abba2 以上两例都是典型的以上两例都是典型的“一线三等角一线三等角”试试 题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的难度题的难度 两道题虽涉及不同的图形变换，两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一但解法本质一 致，均为利用模型构建比例式致，均为利用模型构建比例式解决问题解决问题 两道题都着重考查学生在图形变两道题都着重考查学生在图

7、形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想等数学能力和思想（20172017泰安泰安1414）如图，在正方形）如图，在正方形ABCD中，中，M为为BC上一点，上一点，MEAM，ME交交AD的延长线于点的延长线于点E，若若AB=12=12，BM=5=5，则，则DE的长为（的长为（）F（2017丽水丽水16）如图，在平面直角坐标系）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线y=-x+m分分别交别交x轴、轴、y轴于点轴于点A、B，已知点，已知点C（2,0）。）。（2）设点）设点P为线段为线段OB的中点，连接的中点，连接PA、PC，若，若CPA=

8、ABO，则则m的值是的值是 。上述两道题虽分别以四边形和一次函数为上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显命题背景，但图形的共性较明显:均将原有均将原有“一线三等角一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型两道题均较好地体现了对中的几何模型两道题均较好地体现了对“四四基基”的综合考查，的综合考查，提升了学生思维的层次性提升了学生思维的层次性和灵活性和灵活性（2015连云港连云港1

9、6）如图，在）如图，在ABC中，中，BAC=60，ABC=90，直线，直线l1l2l3，l1与与l2之间的距离是之间的距离是1，l2与与l3之间的距离是之间的距离是2，l1、l2、l3分别经过点分别经过点A、B、C，则，则边边AC的长为的长为 。在在RtADB中，中，BD=1,可求可求AB,则则AC=2AB（变式题（变式题1）如图，）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行是同一平面内的三条平行直线，直线，l1与与l2之间的距离是之间的距离是1，l2与与l3之间的距离是之间的距离是2，等，等边边ABC的三顶点分别在的三顶点分别在l1、l2、l3上，则上，则ABC的边长的边长a为为 。BDF

10、=60，BF=1CEG=60，CG=3AF已知，已知，BF=1,利用勾股定利用勾股定理可求理可求AB（变式题（变式题1）如图，）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行是同一平面内的三条平行直线，直线，l1与与l2之间的距离是之间的距离是1，l2与与l3之间的距离是之间的距离是2，正，正三角形三角形ABC的三顶点分别在的三顶点分别在l1、l2、l3上，则上，则ABC的边的边长长a为为 。D为为GF中点，中点，DG=DF=GE=1,则则ED=2.在在RtDFC中，中，DF=1,FC已知，可求已知，可求DC.（变式题（变式题2）如图，在平面直角坐标系中，点）如图，在平面直角坐标系中，点A（0,

11、），点），点B（4,0），点），点C在第一象限内，若在第一象限内，若ABC为等边三角形，则点为等边三角形，则点C的坐标为的坐标为 。32（2018连云港连云港8）如图，菱形）如图，菱形ABCD的两个顶点的两个顶点B、D在反在反比例函数比例函数 的图象上，对角线的图象上，对角线AC与与BD的交点恰好是坐标原的交点恰好是坐标原点点O，已知点，已知点A（1，1），），ABC=60，则，则k的值是（）的值是（）A5 B4 C3 D2 因为因为OAF的面积为的面积为 12，23所以所以BOE的面积为的面积为（2017株洲株洲17）如图，一块）如图，一块30、60、90的直角三角板，的直角三角板，直角顶点

12、直角顶点O位于坐标原点，斜边位于坐标原点，斜边AB垂直于垂直于x轴，顶点轴，顶点A在函数在函数 （其中（其中x0）的图像上，顶点的图像上，顶点B在函数在函数 （其中（其中x0）的图像上，的图像上，ABO=30，则，则 =。（2017徐州徐州27）如图，已知二次函数）如图，已知二次函数 的图象与的图象与x轴轴交于交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，C的半径为的半径为 ，P 为为 C上一动点上一动点.（2）是否存在点）是否存在点P，使得，使得PBC为直角三角形？若存在，求为直角三角形？若存在，求出点出点P的坐标；若不存在，请说明理由。的坐标；若不存在，请说明理由。2449yx5 （20

13、15连云港连云港27）如图，已知一条直线过点（）如图，已知一条直线过点（0,4），且与抛），且与抛物线物线 交于交于A，B两点，其中点两点，其中点A的横坐标是的横坐标是-2（2）在）在x轴上是否存在点轴上是否存在点C，使得，使得ABC是直角三角形？若存是直角三角形？若存在，求出点在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；214yx 上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴含上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴含 知识技能、思想方法、数学模型于图形之中，知识技能、思想方法、数学模型于图形之中，题中的题中的“特殊角特殊角”是解题的关键，也是搭建是解题的关键，也是搭建模型框架的

14、基础，更是学生解题思路的来源与模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架脚手架”这几道题实质上都是考查学生这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况检测了学生对数学本质属性的把握情况（2017金华金华15）如图）如图，已知点，已知点 A(2,3)和点和点 B(0,2),点点 A 在在反比例函数反比例函数 的图像上作射线的图像上作射线 AB，再将射线，再将射线AB绕点绕点A按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转 45,交反比例函数图像于点交反比例函数图像于点 C，则点，则点C的的坐标为坐标为 把把D

15、点坐标代入直线点坐标代入直线AB的解析式的解析式 本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。本题意在寻求突破，体现分层验，搭建模型框架。本题意在寻求突破，体现分层考查，有着较好的考试信度与效度考查，有着较好的考试信度与效度 通过上述四种应用类型的后三种，我们不难发通过上述四种应用

16、类型的后三种，我们不难发现：对于有些中考试题，现：对于有些中考试题，“一线三等角一线三等角”并非直观、并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题中所给因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定找角，定线，搭框架线，搭框架”，让模型，让模型“现出原形现出原形”，则解题思路便，则解题思路便会油然而生，豁然开朗。会油然而生，豁然开朗。在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由同一类基本在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出

17、由同一类基本模型延伸而来的试题，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但模型延伸而来的试题，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利用研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利用在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进行挖掘与提炼只有让学生学会自主地反思、推进、提炼，行挖掘与提炼只有让

18、学生学会自主地反思、推进、提炼，才能做到才能做到“掌握模型，举一反三，通一类题掌握模型，举一反三，通一类题”，同时通过对，同时通过对一些基本模型和结论的挖掘，能更好地弄清问题的本质，为一些基本模型和结论的挖掘，能更好地弄清问题的本质，为解决问题搭建好思维的解决问题搭建好思维的“脚手架脚手架”，进而切实有效地提升学，进而切实有效地提升学生的解题能力，发展学生的思维水平生的解题能力，发展学生的思维水平 当基本模型经过提炼并熟练应用后，教师应引当基本模型经过提炼并熟练应用后，教师应引导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究，导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究，通过让学生在拓展基本模型的

19、过程中，感悟模型的通过让学生在拓展基本模型的过程中，感悟模型的本质，从而做到化题为型、串题成链、结题成网，本质，从而做到化题为型、串题成链、结题成网，真正实现思维品质的提升真正实现思维品质的提升 利用已有的数学模型来解决数学问题确实有效，但是我利用已有的数学模型来解决数学问题确实有效，但是我们的教学过程中不能们的教学过程中不能“泛模型化泛模型化”，要更多地关注数学本质，要更多地关注数学本质，引导学生主动建构引导学生主动建构，少一点教师先入为主的机械灌输；要顺，少一点教师先入为主的机械灌输；要顺应学生的认知逻辑，避开应学生的认知逻辑，避开“模型模型”陷阱陷阱 如何进行数学模型教学的问题如何进行数

20、学模型教学的问题，说到底是教学观念的问，说到底是教学观念的问题题，即是以教师为中心还是以学生为中心，是知识本位还是，即是以教师为中心还是以学生为中心，是知识本位还是能力本位能力本位，是关注学生发展还是专注考试分数教师要以学，是关注学生发展还是专注考试分数教师要以学生为中心生为中心，以能力为本位，以能力为本位，将数学建模作为教学的过程与手，将数学建模作为教学的过程与手段段，在解决问题时引导学生建构运用数学模型，在解决问题时引导学生建构运用数学模型，“化繁为化繁为简简”，扣住问题本质属性，扣住问题本质属性，排减一些非本质的东西来思考问，排减一些非本质的东西来思考问题，为解决问题提供策略帮助题，为解决问题提供策略帮助，以此强化建模意识，以此强化建模意识，掌握数，掌握数学知识与方法，发展数学能力，这才是数学模型教学应有的价学知识与方法，发展数学能力，这才是数学模型教学应有的价值值