二重积分的课件.ppt
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- 二重积分 课件
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1、一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法 第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法第十章第十章重重 积积 分分设设 A(x)表示过点表示过点 x 任取子区间任取子区间 x,x+dx a,b.且垂直且垂直 x 轴的轴的平面平面 与曲顶柱体相交的截面的面与曲顶柱体相交的截面的面积,积,1.设积分区域设积分区域 D 可用不等式组表示为可用不等式组表示为 bxaxyx ),()(21 如图所示,如图所示,选选 x 为积分变量,为积分变量,x a,b,一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法 则曲顶柱体体积则曲
2、顶柱体体积 V 的微元的微元 dV 为为 baxxAV.d)(,d)(dxxAV 式中面积函数式中面积函数 A(x)是一个是一个以区间以区间 1(x),2(x)为底为底边、边、以曲线以曲线 z=f(x,y)(x 是固是固定的定的)为曲边的曲边梯形,为曲边的曲边梯形,其面积可表示为其面积可表示为 )()(21.d),()(xxyyxfxA 将将 A(x)代入上式,代入上式,则曲顶柱体的体积则曲顶柱体的体积.dd),()()(21 baxxxyyxfV 于是于是,二重积分二重积分 baxxDxyyxfyxf.dd),(d),()()(21 公式称为先积公式称为先积 y(也称内积分对也称内积分对 y
3、)后积后积 x(也称外也称外积分对积分对 x)的累次积分公式的累次积分公式.它通常也可写成它通常也可写成 baxxDyyxfxyxf)()(21d),(dd),(这结果也适用于一般情形这结果也适用于一般情形.2.设积分区域设积分区域 D 可用不等式组表示为可用不等式组表示为如右图,则如右图,则 Ddcyyxyxfyyxf)()(21.d),(dd),(,dycyxy )()(21 首先在首先在 xy 平面上画出所围平面上画出所围成的区域成的区域 D.若是先积若是先积 y 后积后积 x 时时,得投影区间得投影区间 a,b,则把区域则把区域 D 投影到投影到 x 轴上,轴上,在在 a,b 上任意确
4、定上任意确定一个一个 x,这时这时 a 就是对就是对 x 积分积分(外积分外积分)的下限,的下限,b 就是对就是对 x 积分积分(外积分外积分)的上限;的上限;过过 x 画一条与画一条与 y 轴平行的直线,轴平行的直线,假定它与区域假定它与区域 D 的边界曲线的边界曲线(x=a,x=b 可以除外可以除外)的交点总是不超过的交点总是不超过两个两个(称这种区域为凸域称这种区域为凸域).把二重积分化为累次积分,把二重积分化为累次积分,其上下限的定法可用如下直观其上下限的定法可用如下直观方法确定:方法确定:且与边界曲线交点纵坐标分别为且与边界曲线交点纵坐标分别为 y=1(x)和和 y=2(x),如果如
5、果 2(x)1(x),那么那么 1(x)就对就对 y 积分积分(内积分内积分)的下限的下限,2(x)就是对就是对 y 积分积分(内积分内积分)的上限的上限.类似地,先积类似地,先积 x(内内积分积分)后积后积 y(外积分外积分)时时的定限方法如右图所示的定限方法如右图所示.如果区域不属于凸域,把如果区域不属于凸域,把 D 分成若干个小区域,分成若干个小区域,使每个小区域都属于凸域,那么使每个小区域都属于凸域,那么 D 上的二重积分就上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和是这些小区域上的二重积分的和.例例 1试将二重积分试将二重积分 Dyxf化化为为 d),(两种不同两种不同次序的累次积分,
6、次序的累次积分,其中其中 D 是由是由 x=a,x=b,y=c,y=d(a b,c d)所围成的矩形区域所围成的矩形区域.解解画出积分区域画出积分区域 D 如图如图.如果先积如果先积 y 后积后积 x,则有则有 Dbadcyyxfxyxf.d),(dd),(如果先积如果先积 x 后积后积 y,则可得,则可得 Ddcbaxyxfyyxf.d),(dd),(例例 2 试将试将 化为两种不同次序的累次化为两种不同次序的累次积分,积分,Dyxf d),(其中其中 D 是由是由 y=x,y=2-x 和和 x 轴所围成的区域轴所围成的区域.解解 首先画出积分区域首先画出积分区域 D 如图,如图,并求出边界
7、曲线并求出边界曲线的交点的交点(1,1)、(0,0)及及(2,0).Dyxf d),(则则 1d),(Dyxf -2120,d),(dxyyxfx 2d),(Dyxf 100d),(dxyyxfx如果先积如果先积 x 后积后积 y,则为则为.d),(dd),(102 -Dyyxyxfyyxf 其中其中 D 是抛物线是抛物线 y2=x 与直线与直线 y=x-2 所围成的区域所围成的区域.例例 3计算二重积分计算二重积分,d Dxy 解解 画出积分区域画出积分区域 D 如图,如图,并求出边界曲线的交并求出边界曲线的交点点(1,-1)及及(4,2),由图可见,由图可见,先积先积 x(内积分内积分)后
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