九年级数学下册课件-2721-相似三角形的判定19-人教版.ppt

1、第二十七章第二十七章 相相 似似相似三角形相似三角形 对应角相等、对应边成比例的三角形对应角相等、对应边成比例的三角形叫做叫做相似三角形相似三角形.ABCEDF相似的表示方法相似的表示方法符号：符号：读作：相似于读作：相似于ABCA1B1C1A=A1，B=B1，C=C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1=k当当时，时，则则ABC 与与A1B1C1 相似，相似，记作记作ABC A1B1C1.要把表示对应角顶点的要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上字母写在对应的位置上.注意注意 相似比相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1=k 时，时，ABCA1B1C1则则ABC

2、与与A1B1C1 的相似比为的相似比为 k .或或A1B1C1 与与ABC 的相似比为的相似比为 .1k 想一想想一想:如果如果k=1，这，这两个三角形有怎样的关两个三角形有怎样的关系系？那么32若EFDE，,BCAB？那么43若EFDE,，BCAB猜想：猜想：3243ABCDEFl3l4l5l1l2EFDEBCAB：即事实上，当l3/l4/l5时，都可以得到 ，还可以得到 ，等等.ABCDEFl3l4l5l1l2EFDEBCABDEEFABBCDFDEACABDFEFACBC 想一想：通过探究，想一想：通过探究，你得到了什么规律你得到了什么规律呢？呢？三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线

3、,所得到的所得到的对应对应线段的线段的比相等比相等.归纳归纳平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：思考思考如果把图如果把图1中中l1,l2两条直线相交两条直线相交，交点交点A刚落到刚落到l3上上，如图如图2所得的对应线段的比所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？会相等吗？依据是什么？ABCEF 图2（1）ABCDEFl3l4l5l1l2（D）图1思考思考 如果把图1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ABCDEFl3l4l5l1l2 ABCED 图1 图2（2）l2l3l1l3平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延

4、长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1推推 论论新知应用新知应用例例1 如图，如图，在ABC中，DEBC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.AE=3.解AC=4，EC=1，DEBC，.ADAEABACAD=2.25，BD=0.75.新知应用新知应用 例例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DFAC，EFBC求证：OD OAOE OB .ODOFOAOCOFOEOCOB，.ODOEOAOB证明：DFAC，EFBC，二、要熟悉该定理的几种基本图形二、要熟悉该定理的几种基本图形课堂小结课堂小结三、三、注意该定理在三角形中的应用注意该定理在三角形中的应用

5、拓展延伸，作业布置拓展延伸，作业布置3131313131313131 如图，如图，ABC中，中，BC=a.(1)若AD1=AB，AE1=AC，则D1E1=；(2)若D1D2=D1B，E1E2=E1C，则D2E2=；D2B，E2E3=E2C，则D3E3=；Dn-1B，En-1En=En-1C，则DnEn=.(3)若D2D3=(4)若Dn-1Dn=n不经历风雨，怎么见彩虹不经历风雨，怎么见彩虹n没有人能随随便便成功没有人能随随便便成功!第二十七章第二十七章 相相 似似三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的所得的对应对应线段的线段的比比相等相等.平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定

6、理：l2l3l1l3平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等.ABCDEl2ABCDEl1平行线分线段成比例定理的推论平行线分线段成比例定理的推论如果如果 ABC ADE,那么你能找那么你能找出哪些角的关系？出哪些角的关系？A=A,B=ADE,C=AED.边呢？边呢？ADEBCADABAEACDEBC=DE BC如图如图,在在ABC中，中，DE/BC,DE分别交分别交AB于于D，交交AC于于E，ADE与与ABC有什么关系有什么关系?说明理由说明理由.相似相似ABCDE证明证明:在ADE与ABC中，A=A.ADAEDEABACBC，DE/BC，ADE=B,AED

7、=C，过E作EF/AB交BC于F，四边形DBFE是平行四边形，.ADAEABACFDE=BF，.AEBFACBC则AEDEACBC，ADEABC.平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似相交，所构成的三角形与原三角形相似.知识要点知识要点平行于三角形一边的定理平行于三角形一边的定理ABCDE即在即在ABC中，中，如果如果DEBC，那么那么ADEABCA型型 你还能画出其你还能画出其他图形吗？他图形吗？归纳归纳 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延（或两边的延长线）长线）相交，所构成的三角形与三角形

8、相似相交，所构成的三角形与三角形相似.DEOCB延伸延伸即如果即如果DEBC，那么那么ODEOBC你能证明吗？你能证明吗？X型型 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线或延长线)相交相交,所得的三角形与原三角形所得的三角形与原三角形_.相似相似“A”型型“X”型型（图（图2）DEOBCABCDE（图（图1）思考思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?任意画一个三角形，再画一个三任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的形各边长的k倍，度量这两个三角形倍，度量这

9、两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论看是否有同样的结论.探究探究2 CCCAC 是否有ABCABC？ABCCBA三边对应成 比例中，和已知：在CBAABC.ABBCACA BB CA CABCCBA求证求证:.ABC ABCDE.A DDEA EA BB CA C又又A BA DABDDE证明：在线段（或它的延长线上）截取，过点 再作.A EACA CA C,ABBCACA DABA BB CA C，同理同理 .DEBC，可得交于点交ECACBDEA.A B C.A DEABC AB

10、C.A EACABC.A B C 如果两个三角形的三组对应边的比如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似相等，那么这两个三角形相似.知识要点知识要点判定三角形相似的定理之一判定三角形相似的定理之一ABCABC.,ABBCACA BB CAC 即：即：如果如果那么那么ABCABC 三边对应成比例，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似.边边边边边边SSS归纳归纳改变改变k和和A的值的大小的值的大小,是否有同样的结论？是否有同样的结论？和利用刻度尺和量角器画 ABC相等呢？吗？另外两组角是否会于的长，它们的比值等和应边值，量出它们第三组对等于给定的都和使kCBBCkCAACBAA

11、BAACBA,探究探究3边角边边角边SAS探究探究3已知：已知：ABCAB C.ABCABC,ABACkA BAC 求证：求证：A=A.你能证明吗？你能证明吗？中，和已知：在CBAABC,.ABACAAA BA C ABC.A B C求证求证:ABC ABCDE.A DA EA BA C又又A BA DABDDE证明：在线段（或它的延长线上）截取，过点 再作.A EACA CA C,.ABACA DABA BA C，可得交于点交ECACBDEA.A B CA DEABC，ABC.A EACABC.A B CAA 又，如果两个三角形的两组对应边的比相如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的

12、夹角相等，那么这两个三等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似角形相似.知识要点知识要点判定三角形相似的定理之二判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似两三角形相似.边角边边角边SASA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果1111,ABBCkABBCB=B1，那么那么归纳归纳不会，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等不会，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.A B C，和对于CBAABC A,CAACBAABCB B思考思考BB，如果如果这两个三角形一定会相似吗？这两个三角形一定会相似吗？应用应用.ABACA BA

13、C,37614,37CAACBAABAA 又，解：（1）ABC.A B C两个三角形的相似比是多少？两个三角形的相似比是多少？应用应用 解：（2）821ACA C，,31124BAAB,31186CBBC.ABBCACA BB CA CABCCBA与的三组对应边的比不等，它们不相似.要使两个三角形相似，要使两个三角形相似，不改变不改变AC的长，的长，AC的长的长应改为多少？应改为多少？例例2 已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长.172.ABCDBCACBCACACAD，25.4解:AB=6，BC=4，AC=5，CD=又B=ACD，ABC

14、DCA，AD=应用应用172，相似三角形的判定方法有几种？相似三角形的判定方法有几种？1.定义判定法定义判定法3.边边边判定法（边边边判定法（SSS）4.边角边判定法（边角边判定法（SAS）2.平行判定法平行判定法比较复杂，烦琐比较复杂，烦琐只能在特定的图形里面使用只能在特定的图形里面使用小结小结 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线或延长线)相交相交,所构成的三角形与原三角所构成的三角形与原三角形相似形相似.三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似两三角形相似.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,

15、两三角形两三角形相似相似.这两个三角形的三个内角的这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？大小有什么关系？三个内角对应相等的两个三三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？角形一定相似吗？三个内角对应相等三个内角对应相等.观察你与老师的直角三角尺观察你与老师的直角三角尺(30o与与60o),会相会相似吗？似吗？相相似似探究探究4 与同伴合作与同伴合作,一人先画一人先画ABC,另一人再画另一人再画ABC，使得，使得A=A，B=B.比较比较你们所画的两个三角形，你们所画的两个三角形，C=C 吗？对应边之比吗？对应边之比 相等吗？这样的两个三角形相相等吗？这样的两个三角形相似吗？似吗？CBBCCAAC

16、BAAB,改变这两个三角形改变这两个三角形边的大小，而不改边的大小，而不改它们角的大小呢？它们角的大小呢？如果两个三角形的两个角与另一个如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似三角形相似.知识要点知识要点判定三角形相似的定理之三判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似两角对应相等，两三角形相似.角角角角AAABCABCABC ABC.即即如果如果那么那么A=A ，B=B ，在在ABC和和ABC中，中，角边角角边角ASA角角边角角边AAS角角角角AAA1B1C1ABC已知：已知：ABCA1B1C1.求证：求证：A=A1

17、，B=B1.你能证明吗？你能证明吗？思考思考已知：已知：ABCA1B1C1.求证：求证：你能证明吗？你能证明吗？可要仔细哟！可要仔细哟！HLABCA1B1C1RtABC 和和 RtA1B1C1，.1111kCBBCBAAB 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，对应成比例，那么这两个直角三角形相似那么这两个直角三角形相似.判定三角形相似的定理之四判定三角形相似的定理之四HLABCABCA1B1C1.即即如果如果那么那么A1B1C11111,ABBCkABBCRtABC 和和 R

18、tA1B1C1.例例1.1.弦弦AB和和CD相交于相交于O内一点内一点P.求证求证:PAPB=PCPD.ABCDPO证明:连接AC、BD.A、D都是CB所对的圆周角,A=D.同理:C=B.PACPDB.PAPCPDPB即PAPB=PCPD.新知应用新知应用解：A=A,ABD=C,ABD ACB,AB:AC=AD:AB,AB2=AD AC.AD=2,AC=8,AB=4.例例2.已知已知:如图如图,ABD=C，AD=2,AC=8，求，求AB.新知应用新知应用在在RtRtABC的斜边的斜边AB上有一点上有一点P(点点P与点与点A，B不重合），过点不重合），过点P作直线作直线截得的三角形与截得的三角形

19、与ABC相似，想一相似，想一想满足条件的直线共有多少条？试想满足条件的直线共有多少条？试画出图形并简要说明理由画出图形并简要说明理由.思考：若三角形为任意三角形，点P为三角形任意一边上的点，则这样的直线有几条？我们来试一试我们来试一试 相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法：通过定义通过定义 平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线 三边对应成比三边对应成比 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（三边对应成比例，三角相等）（SSS）

20、（AA）（SAS）（HL）例例1 已知左、右并排的两棵大已知左、右并排的两棵大树的高分别是树的高分别是AB=8mAB=8m和和CD=12m,CD=12m,两树的根部相距两树的根部相距BD=5m.BD=5m.一个身高一个身高1.6m1.6m的人沿的人沿着正对这两棵树的一条水平着正对这两棵树的一条水平直路直路m m从左向右前进，当他与从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高少时，就不能看到右边较高的树的顶端点的树的顶端点C?C?FABCDmFABCDmEEGKH 李巍同学在回家的 路上发现了如图两根电线杆AB、CD，分别在高10m的A处和15m的

21、C处有两根钢索将两杆固定,求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH.D A B E C F M HQ8 例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0t5)后,四边形ABQP的面积为S平方米。求出面积S与时间t的关系式BCDPA6HQ8 例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0t5)后,四边形ABQP的面积为

22、S平方米。求出面积S与时间t的关系式BCDPA6E探究:在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。QBACPD探究:在P、Q两点移动的过程中，CPQ 与ABC能否相似？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。通过本堂课的学习和探索，你学到了什么?老师的小结：1、“数学建模”解决实际问题：构造相似三角形解决实际生活中求线段长问题2、“数学思想”解决综合题“方程思想”“分类讨论思想”1.作业本（1）P13-14 2.课时作业本 P54-55 作业分析 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目。跷跷板的支柱AB的高度为1.2m.（1）

23、若吊环高度为2m，支点A为跷跷板PQ的中点，则狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6m，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ什么位置时，狮子刚好将公鸡送到吊环上？2、已知在ABC中，C=90o,AC=8cm,BC=6cm,点P从点A出发，沿AC以3cm/s的速度向点C移动，点Q从点B出发，沿BA以4cm/s的速度向点A移动。如果P、Q分别从A、B 同时出发，移动时间为ts (0t2.5)。当t为何值时，以Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似？ACBPQQACBPACBPQ相似三角形有哪些性质？A1B1C1ABC（1）相似三角形对应角相等。（2）相似三角

24、形对应边成比例。（3）相似三角形对应高的比等于相似比。（4）相似三角形对应中线的比等于相似比。（5）相似三角形对应角平分线的比等于相似比。相似三角形的性质kA1B1C1ABC相似三角形的周长有什么关系？A1B1C1ABC相似三角形的面积有什么关系？理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。知识与能力 探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。过程与方法经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。情感态度与价值观 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等

25、于相似比的平方。探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。111111ABACBCkA BACBC111111ABACBCkA BACBCA1B1C1ABC（等比性质）CABC=AB+BC+CA周长：CA1B1C1=A1B1+B1C1+C1A1相似三角形周长的比等于相似比。六边形ABCDEF六边形A1B1C1D1E1F1,且相似比是k。BCDEFAB1C1D1E1F1A111111111111111111111111111111.1.ABBCCDDEEFFAkABBCC DD EE FF AABBCCDDEEFFAkABBCC DD EE FF AABCDEFkABC D E

26、F等比六边形的周长六边形的周长相似多边形周长的比等于相似比。1111BCADkBCA DA1B1C1ABCSABC=面积：SA1B1C1=相似三角形面积的比等于相似比的平方。DD112BC AD111112BCAD27.2.1中，我们知道对应高之比等于相似比。SABCSA1B1C1=12BC AD111112BCAD111112k BC k AD 111112BCAD=k2相似三角形面积的比等于相似比的平方。同理：对应角相等。对应边成比例。对应高的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。周长比等于相似比。面积比等于相似比的平方。相似三角形（多边形）的性质：1.已知两个

27、三角形相似，请完成下列表格。41610101004kkk2131319 2.如果两个相似三角形的面积之比为如果两个相似三角形的面积之比为1:9，则，则它们对应边的比为它们对应边的比为_，对应高的比为，对应高的比为_，周长的比为，周长的比为_。3.如果两个相似三角形的面积之比为如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较，较大三角形一边上的高为大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上，则较小三角形对应边上的高为的高为_。1:31:31:314 4.这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为径为1.2米，桌面距离地面为米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？米，则地面上阴影部分的面积为多少？FEDCBALLFFBH 5.ABC中，中，DEBC，EFAB，已知，已知ADE和和EFC的面积分别为的面积分别为4和和9，求，求ABC的面积。的面积。FEDCBA1.其他两边的实际长度都是20m.2.（1）相似，因为对应边的比相等；（2）不一定相似，因为相等的角的夹边的比不相等；（3）相似，因为有两组对应角相等.3.（1）相似；（2）相似，x=40.5，y=98.