单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义课件.ppt

1、1.4.1 任意角的正弦函数、余弦任意角的正弦函数、余弦函数的定义函数的定义永丰中学永丰中学 陈保进陈保进 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbbaOabMPc下面我们在直角坐标系中，利用下面我们在直角坐标系中，利用单位圆单位圆来进一步研来进一步研究锐角究锐角 的正弦函数、余弦函数的正弦函数、余弦函数.新知学习y(,)P u vMxO1sincos,MPvOP,OMuOP能否推广到任意角？能否推广到任意角？任意角的三角函数定义：任意角的三角函数定义：如图，设如图，设是一个任意是一个任意角，它的终边与单位圆角，它的终边与单位圆交于点交

2、于点P(P(u,v)，那么，那么：sinsin=v，v叫作叫作的正弦函数的正弦函数 coscos=u，u叫作叫作的余弦函数的余弦函数 xy(,)P u vOM1纵坐标纵坐标横坐标横坐标用用x,y表示自变量，因变量，则有：表示自变量，因变量，则有：正弦函数正弦函数：余弦函数余弦函数：sinyxcosyx问题问题1 1：如果知道角终边上一点：如果知道角终边上一点 ,而这个点不是终边而这个点不是终边与单位圆的交点与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢该如何求它的三角函数值呢?设设op=r,根据三角形相似可知，根据三角形相似可知，22sinyyvrxy 22cosxxvrxy xy(,)P x yO

3、M(,)P u v说明：三角函数的值与点在终边上的位置无关，说明：三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关仅与角的大小有关 上式为计算正、余弦函数值的第二种方式上式为计算正、余弦函数值的第二种方式M M .当当在第一、二等象限时，在第一、二等象限时，sin的符号如何？的符号如何？cos呢？呢？sinvcosu()()()()()()()（）+-+-cos符号：符号：sin符号：符号：010-1001-1例例1.1.确定下列各三角函值的符号：确定下列各三角函值的符号：cos250cos250;sin(-/4);sin(-/4);sin(-672 sin(-672););cos3.co

4、s3.解解：（：（1 1）250250是第三象限角，是第三象限角，cos25000 例例2 2、已知在直角坐标系的单位圆中，、已知在直角坐标系的单位圆中，；（1 1）画出角）画出角；（2 2）求出角）求出角的终边与单位圆的交点坐标；的终边与单位圆的交点坐标；（3 3）求）求的正弦函数、余弦函数值的正弦函数、余弦函数值.23xyO1PM23例例3 3.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.(3,4)P例例4.4.已知角已知角 终边上一点终边上一点P(1,m),P(1,m),，求，求 55cos sin 变式.已知sin0且cos0,确定角

5、的象限.P 3,4aa aa变式.已知角 的终边上一点R且0，sin,cos,tan求角 的的值.1.则则若角的终边过点若角的终边过点，且，且，8，aP53cos_a随堂练习120 022321 132120 012-32-1-132-12-0 01 13222120 0-1-132-12-32-120 03212-1 1 在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表的正弦函数值、余弦函数值填入下表 终边相同的角的正弦函数值相等，终边相

6、同的角的正弦函数值相等，即即 ；终边相同的角的余弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等，即即 .cos(x2k)cosx,kZ 如图，已知角如图，已知角x，作出，作出2+xxyOP(x,y)xsin(x2k)sinx,kZ 对于任意一个角对于任意一个角x，每增加，每增加2的整数倍，其正弦、余弦的整数倍，其正弦、余弦函数值均不变函数值均不变.所以，正弦、余弦函数值均是随角的变化所以，正弦、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数化的函数叫作周期函数.有有 正弦函数、余弦函数是周期函数，称正弦

7、函数、余弦函数是周期函数，称 为正弦函数、余弦函数的周期为正弦函数、余弦函数的周期.例如，例如，-4,-2,2,4等都是它们的周期等都是它们的周期.其中其中2是正是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期最小正周期.sin(x2k)sinx,kZ cos(x2k)cosx,kZ 2k(kZ,k0)一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个对定义域内的任意一个x值，都有值，都有f(x+T)=f(x),我们就把我们就把f(x)称为称为周期函数周期函数，T称为这个函数的周期称为这个函数的周

8、期.特别提醒：特别提醒：1.1.T是非零常数是非零常数.2.2.每一个每一个x x都满足都满足f f(x+T)=f=f(x)成立才行成立才行.3.3.若若T是是f f(x)的周期，那么的周期，那么2 2T，3 3T也是也是y=f f(x)的周期的周期.1.1.函数函数f f(x x)=c=c(c c为常数为常数),),x xRR，问函数，问函数f f(x x)是不是周期函数，若是，有无最小正周期是不是周期函数，若是，有无最小正周期.答答:是，无最小正周期是，无最小正周期.2.2.等式等式sin(30sin(30+120+120)=sin30)=sin30是否成立？如是否成立？如果成立，能否说明

9、果成立，能否说明120120是正弦函数是正弦函数y y=sin=sinx,xx,xRR的一个周期？为什么？的一个周期？为什么？答答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个一个x x.思考思考3.3.关于周期函数，下列说法正确的是关于周期函数，下列说法正确的是_(_(填序号填序号).).周期函数的定义域可以是有限集；周期函数的定义域可以是有限集；周期函数的周期只有唯一一个；周期函数的周期只有唯一一个；周期函数的周期可以有无数多个；周期函数的周期可以有无数多个；周期函数的周期可正可负周期函数的周期可正可负.答案：答案：探究点一 利用周期求值 例 1 求下列角的三角函数值 (1)cos(1 050)；(2)cos193；(3)sin(314)解(1)1 050336030，1 050的角与 30的角终边相同，cos(1 050)cos 3032；o1050例2、f(x)为奇函数，满足f(x+3)=f(x),f(1)=4,则f(10)=_ ，f(5)=_ 谢 谢 观 看