定积分的几何应用课件.ppt

1、.d)(baxxfU,ba，d,xxx xxfUd)(d.,ba，x复习复习baxx x)(xfy baxxfAd)(，xxgxfAdd)()(baxxgxfA d)()(abxxx )(xgy)(xfy baxydxyocd)(yx y+dyy dcyyAd)(dcyxdxoy)(yx )(yx cdy+dyy dcyyyA d)()(，yyyAd)()(d 21d()d2Ar ，21()d.2Ar ()r r xod d 1.围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积轴旋转一周而成的立体的体积.求由连续曲线求由连续曲线、)(xfy 直线直线x=a、x=b(ab)及及x轴所

2、轴所2.xf(x)abx.111111111)(xA)(2xf；,bax 取积分变量取积分变量x，在在,ba上任取小区间上任取小区间方法：方法：，,xxxd 则则以以xd为底为底的窄曲边梯形绕的窄曲边梯形绕x轴旋转轴旋转而成的薄片的体积而成的薄片的体积近似等近似等于于以以)(xf为为底半径底半径，以以xd为为高高的的扁圆柱扁圆柱的体积，的体积，xxfVd)(d2 旋转体的体积为旋转体的体积为 V.d2 baxy xxfd)(2 ba 即体积元素即体积元素 dxx xyo)(yx cdyyd)(2 dcV dcyx d2),(yx dycy ,yy解解420dVyx 404dx x 4202 x

3、 32.取积分变量为取积分变量为x,0,4,x 则积分区间为则积分区间为在在0,4上任取小区间上任取小区间,d,x xx 则该薄片的体积元素为则该薄片的体积元素为2ddVyx则所求的体积为则所求的体积为4 d,x x例例2 求抛物线求抛物线2xy 与直线与直线32 xy所围的图形绕所围的图形绕x轴轴32 xy2xy 解解如图：联立方程组如图：联立方程组 322xyxy得交点坐标为得交点坐标为)9,3)(1,1(取取x为积分变量，则为积分变量，则,3,1 x于是体积元素为：于是体积元素为：222d(23)d,Vxxx 则所求体积为则所求体积为322 21(23)()dVxxx 35 3 111(

4、23)65xx 217.3旋转所得立体的体积旋转所得立体的体积.oxy2xyVaad2 xxaabaad)(2222 .342ab V2222()byaxaoyx,12222 byax bbyybbad)(2222.342ba yr解解hP rh设设圆圆锥锥体体的的底底半半径径为为、高高为为。,0hx xoxhry ,建建立立坐坐标标系系如如图图所所示示的的方方程程为为则则直直线线 OP处处的的体体积积元元素素为为为为积积分分变变量量，则则取取 xx2d()d V xyx 2()d ,0,.rxxxhh 0 d()hVV x 圆圆锥锥体体的的体体积积为为20()d hrxxh .312hr 的

5、的体体积积公公式式？为为积积分分变变量量建建立立圆圆锥锥体体：能能否否以以 y思思考考xyyr另解另解hPxo为为积积分分变变量量，取取 yd()V y .0,ry 0d()rVV y 02()d rhy hyyr .312hr xy2()d ,hyhyyr 式式。球球体体、椭椭球球体体等等体体积积公公：以以本本例例方方式式可可以以建建立立注注2()d yhxy 处处的的体体积积元元素素为为则则 y33cos,(0)sin,xatayat a aoyx由公式由公式 2 ()dbaVf xx 2 daaVyx 2 02dayx 0262 22sin3 cos(sin)datattt 3722 0

6、6sin(1 sin)dattt 37922 0 06sin dsin)d at ttt 36 4 28 6 4 267 5 39 7 5 3a 332.105aa aoyx,323232xay 222333(),yax,aax xxaVaad33232 .105323a 33cos,(0)sin,xatayat xyo3yx A0 xB解解300(,),Axx设设 点点的的坐坐标标为为231,3yx 则则切切线线方方程程为为2330001(),3yxxxx 002,yxx 令令，得得0(2,0),Bx 则则 点点的的坐坐标标为为3(0),yx xA 过过曲曲线线 上上点点 作作切切线线 使使

7、例例6 6该该切切线线与与曲曲线线xD3 3及及 轴轴围围成成的的平平面面图图形形 的的面面积积为为，求求4 4(1)(2)ADx点点 的的坐坐标标；求求 绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得立立体体的的体体积积.3yx A0 xB依题意有依题意有033000133d,24xxxx x 002,yxx 令令,得得0(2,0),Bx 则则 点点的的坐坐标标为为3(0),yx xA 过过曲曲线线 上上点点 作作切切线线 使使例例6 6该该切切线线与与曲曲线线xD3 3及及 轴轴围围成成的的平平面面图图形形 的的面面积积为为，求求4 4(1)(2)ADx点点 的的坐坐标标；求求 绕绕 轴轴旋旋转转一一

8、周周所所得得立立体体的的体体积积.01x 解解得得，01y ，(1,1).A则则点点 的的坐坐标标为为(2)Dx绕绕 轴轴旋旋转转所所得得的的体体积积为为122301 13()d3Vxx 12302()d.5xx xyoxoabxdxx ,d)(dxxAV .d)(baxxAV)(xAxx)(xAx Rxy R oyR.xxy,tan y22xR .tan22 xR ,tan)(21)(22 xRxA xxAVd)(d，xxRdtan)(2122 x222.xyRxxRxxAVdtan)(21d)(d22 RR，xxRVRRdtan)(2122 RRxR 22tan21.3tan23 R,22

9、2Ryx xyoRx22)(xRhyhxA xxRhVRRd2221.2R h xxRhRd2022半径为半径为R的圆面积的四分之一的圆面积的四分之一xxxd 22)d()d(yx xy d12 2d1dlyx 2 1d.balyx yd)(xfy，)(bxa )(xf,ba,ba，,xxxd abxoydl ,21xy 122d1()dlxx ,d1xx 1dbalx x .)1()1(322323ab ab2332xy xab 2)(1yxysaad 2)(1 aaxaxxee0)(doxy-aaa).(1 eea aaaxaxxeed)(212)(411axaxee )(21axaxee

10、 ),0()(2aaxacheeayaxax ax ax ,)()(tytx )(t22d(d)(d)lxy222)d)()(ttt tttd)()(22 22()()d.lttt )(),(tt ,解解)20()cos1(),sin(ayax2222d(1 cos)sindlaa 202 sin d2la d)cos1(2 a d2sin2a 202cos22 a.8a )20cos222cos2(2 a taytax33sincos)20(t14ss 22204dttxyt tttadcossin342 0 .6a a aoyx)0(323232 aayx 22222 043 cossin

11、3 sincosdattattt ()()()cos()sinxy ()22d(d)(d)lxy22()()d,22()()d.l ()r,22()()dl 04cosd2a 022222(1 cos)sindaa 02a2(1cos)d 04 2sin2a .8a(1 cos)a )0(a(1 cos)a )0(a22()()dl 213sincos33 3a 2sincos,33a.23a 64222sinsincosd333aa 3 0 2sind3 3 0 a 0()3 3(sin)3a ,a 22()()dl 222 14ln(214).2a 2 0 222daa 20a21d (0)aa 2