数列(数列的递推公式)完整版课件.ppt

1、7.1(2)数列数列(数列的递推公式数列的递推公式)一、请回答下列概念：一、请回答下列概念：1.数列的定义：2.数列的通项公式：3.数列的图像：4.数列表示形式：按一定次序排列的一列数叫做数列按一定次序排列的一列数叫做数列.如果数列如果数列 的第的第n n项项 与与n n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式式就叫做这个数列的通项公式.nana都是一群孤立的点都是一群孤立的点.列举法、通项公式法、图象法列举法、通项公式法、图象法.知识复习知识复习练习：练习：1.根据数列根据数列an的的 通项公式，分别写出下通项公式，分别写

2、出下列数列的前列数列的前6项，并观察指出这些数列的特点。项，并观察指出这些数列的特点。n3+3-cosn 2212nnaa（1）；（）（）2.根据数列根据数列an的通项公式的通项公式an=(-1)n(2n-1)，写出，写出它的前它的前5项。项。3.写出数列写出数列an的一个通项公式，使它的前四项分的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数。别是下列各数。1 1111 11 1 -.125 10 15 202 48 16（）（），；，151n na（）；1(1)22nnna （）4.根据下列图形及相应的点数，在横线上面画上根据下列图形及相应的点数，在横线上面画上适当的图形，并在括号内填写点数和点

3、数的一个适当的图形，并在括号内填写点数和点数的一个通项公式。通项公式。5.a1=1 a2=4 a3=7 a4=(),a5=(),an=().,.,.7.a1=3 a2=8 a3=15 a4=(),a5=(),an=().10133n-2 2435n(n+2)6.一、一、情景引入情景引入1.观察观察:3，6，9，12，15，18，21 2.思考思考:在数列中，项与项之间有什么关系？在数列中，项与项之间有什么关系？13,a 2132433,3,3,aaaaaa2132432,3,24,3aaaaaa或问题一问题一二、研究探索二、研究探索3.一般化一般化 由此，数列也可以用下面的公式表示：由此，数列

4、也可以用下面的公式表示：113(27)3nnaana 11(27)13nnnaanna 或或3，6，9，12，15，18，21 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型 模型一：自上而下：模型一：自上而下：第第1 1层钢管数为层钢管数为4:4:即即 4 41+31+3第第2 2层钢管数为层钢管数为5:5:即即 5 52+32+3第第3 3层钢管数为层钢管数为6:6:即即 6 63+33+3第第4 4层钢管数为层钢管数为7:7:即即 7 74+34+3第第5 5层钢管数为层钢管数为8:8:即即 8 85+35+3第第6 6层钢管数为层钢管数为9:9:即

5、即 9 96+3 6+3 第第7 7层钢管数为层钢管数为10:10:即即 10 107+3 7+3 3(17)nann则第则第n层钢管数层钢管数an问题二问题二请同学们继续思考，是否还有其他规律可循？请同学们继续思考，是否还有其他规律可循？模型二：上下层之间的关系模型二：上下层之间的关系 自 上 而 下 每 一 层 的 钢 管 数 都自 上 而 下 每 一 层 的 钢 管 数 都 比上一层钢管数多比上一层钢管数多1。即。即:41a114512aa115623aa依此类推：依此类推：11(27)nnaan-=+概念引入概念引入 如果已知数列如果已知数列an的第的第1项（或前项（或前n项），且项）

6、，且任一项任一项an与它的前一项与它的前一项an-1（或前（或前n项）间的关项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。这个数列的递推公式。二、递推公式：二、递推公式：说明：说明：递推公式也是给出数列的一种方法递推公式也是给出数列的一种方法.注意递推公式包括初始条件和递推关系两部分。注意递推公式包括初始条件和递推关系两部分。上述数列上述数列 可表示成：可表示成：114(27)1nnanaa-=+例题分析例题分析例例1.根据下列递推公式写出数列的前根据下列递推公式写出数列的前4项：项：1121(2),1;nnaana 1115

7、(2),100.nnaana（1）（2）解：（解：（1）由题意知：）由题意知：12132431212 1 13212 3 17212 7115aaaaaaa 这个数列的前这个数列的前4项依次为项依次为1，3，7，15.（2）由题意知：）由题意知：1213243100,1515 100851515(85)100,1515 10085aaaaaaa 这个数列的前这个数列的前4项依次为项依次为100，-85，100，-85.)1n(1a1a2a-1nn11a1 解：由已知得：解：由已知得：211111a1a12 3212111a1a23 5313211a1a34 变式变式1 1：已知：已知a1=2a

8、1=2，an+1=2an an+1=2an 写出前写出前5 5项，并猜想项，并猜想通项公式通项公式 说明说明 已知数列的首项（或前几项），利用递推已知数列的首项（或前几项），利用递推 公式可以依次求出数列以后的项公式可以依次求出数列以后的项.例题分析例题分析 例例2 2：已知数列：已知数列anan中，中，a1=a2=1,an+1=ana1=a2=1,an+1=an1+an1+an（n2)n2)，试写出数列，试写出数列anan的前的前9 9项项.解：由已知得解：由已知得a1=a2=1,a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a3+a4=5，a6=a4+a5=8，a7=a6+a5=13，

9、a8=a6+a7=21，a9=a8+a7=34。an的前9项分别是1,1,2,3,5,8,13,21,34.说明说明 由递推公式由递推公式1112(2),1,1.nnnaaanaa给出的数列叫做斐波那契数列给出的数列叫做斐波那契数列.变式变式1 1：已知数列：已知数列anan中，中，a1=1,a2=2,an=3ana1=1,a2=2,an=3an1+an1+an2 2（n3)n3)，试写出数列，试写出数列anan的前的前4 4项项.解：由已知得解：由已知得a1=1,a2=2，a3=3a2+a1=7，a4=3a3+a2=23an的前4项分别是1,2,7,23.变式变式2 2：已知数列：已知数列a

10、nan满足：满足：a1=5,an=ana1=5,an=an1+31+3（n2n2）（1 1）写 出 这 个 数 列）写 出 这 个 数 列 a n a n 的 前 五 项的 前 五 项为为 。（2 2）这 个 数 列）这 个 数 列 a n a n 的 通 项 公 式的 通 项 公 式是是 。1133(2)nnnnaaaan-=+-=Q21324313,3,3,3nnaaaaaaaa-=-=-=鬃 鬃 鬃-=若将上述若将上述n-1个式子左右两边分别相加，便可得：个式子左右两边分别相加，便可得：13(1)(2)naann-=-即53(1)32(2)nannn=+-=+11,32(1)5nnann

11、a=+=Q满足上式又时 这个数列的前5项为:5,8,11,14,17.5，8，11，14，17 an=3n+2（n1）例题讲解例题讲解例例3根据图根据图7-5中的框图，建立所打印数列的递推中的框图，建立所打印数列的递推 公式，并写出这个数列的前公式，并写出这个数列的前5项项.解：由图解：由图7-5可知，数列的首项为可知，数列的首项为3，从，从第二项起数列中的每一项都是前一项与第二项起数列中的每一项都是前一项与前一项减前一项减1所得的差之积，即所得的差之积，即111(1)(210),3.nnnaaana 利用上述递推公式，计算可得到数列利用上述递推公式，计算可得到数列的前的前5项依次为项依次为3

12、，6，30，870，756030.说明说明 解答本例的关键是要读懂框图，框图呈现的解答本例的关键是要读懂框图，框图呈现的 是算法程序，该程序就是递推关系是算法程序，该程序就是递推关系.变式变式4.根据框图，建立所打印数列的递推公式，并根据框图，建立所打印数列的递推公式，并 写出数列的前写出数列的前5项项.解：根据框图，数列的解：根据框图，数列的递推公式为递推公式为1112(210,*)231nnnaannNaa数列的前数列的前5项依次为：项依次为：3 13 55 2331,5 21 89 377),7(11*211Nnnaaann输入输入A=1,N=1打印打印ANN+1N8结束结束否否是是AA

13、*A+126,5,214，项为：前变式变式5.根据框图，建立数列的递推公式，并写出根据框图，建立数列的递推公式，并写出 数列的前数列的前4项项.),3(1621*11Nnnaaaannn输入输入A=a,N=1打印打印ANN+1N4结束结束否否是是A(2A+6)/(A+1)1958,514,4,14321aaaa1、变式变式6.根据框图，当根据框图，当a=1时，时，写出这个数列的所有项写出这个数列的所有项.三、练习12342121,325aaaa83)(531*11Nnaaann输入输入A=1打印打印A A*3A A-5三、练习变式变式7.根据框图，建立数列的递推公式根据框图，建立数列的递推公式

14、.练习练习1已知数列已知数列 满足：满足：写出这个数列写出这个数列 的前五项为的前五项为 。2已知数列已知数列 满足：满足：a1=2,an=2an1（n2）（1）写出这个数列）写出这个数列 的前五项为的前五项为 。（2）这个数列）这个数列 的通项公式是的通项公式是 。1111(2)1nnnanaaa-=+5 29 9411,2,2 10 2902，4，8，16，32 2()nnanNnanananana(2)：112(2),2(2),2nnnnaaanna-=1由得且a312412321:2,2,2,2,2nnnnaaaaaaaaaa-=鬃 鬃 鬃=则若将上述n-1个式子左右两边分别相乘，便可

15、得：112nnaa-=1:2(2),2(1)2nnnnanana=即又由满足上式2345234524,28,216,232aaaa=3已知数列已知数列 满足：满足：a1=5,an=an1+n（n2）（1）写出这个数列）写出这个数列an的前五项为的前五项为 。（2）试猜想这个数列）试猜想这个数列an的一个通项的一个通项 。5 5，7 7，1010，1414，19 19 解(2)：11(2)nnnnaanaan n-=+-=Q21324312,3,4,nnaaaaaaaan-=-=-=鬃 鬃 鬃-=若将上述若将上述n-1个式子左右两边分别相加，便可得：个式子左右两边分别相加，便可得：1234naa

16、n-=+鬃 鬃 鬃+1(234)(234)5nnanaan=+鬃 鬃 鬃+=+鬃 鬃 鬃+即:22(2)(1)211554(2)2222nn nnnannn+-+-=+=+=+12111,4(125)2nnannna=+Q足上时式又满123455,7,10,14,19aaaaa=课堂小结课堂小结首页首页上页上页下页下页1、数列的另一种表示方法：递推法、数列的另一种表示方法：递推法用递推用递推公式表示。注意理解它与通项公式的区别在于：公式表示。注意理解它与通项公式的区别在于：（1）通项公式反映的是项与项数之间的关系，）通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或而递推公式反

17、映的是相邻两项（或n项）之间的项）之间的关系。关系。（2）对于通项公式，只要将公式中的）对于通项公式，只要将公式中的n依次取依次取1，2，3即可得到相应的项。即可得到相应的项。（3）而递推公式则要已知首项（或前）而递推公式则要已知首项（或前n项项),依据依据递推关系才可求得其他的项。递推关系才可求得其他的项。课堂小结课堂小结 2、数列递推公式的概念；、数列递推公式的概念；3、利用递推公式解题的基本类型：、利用递推公式解题的基本类型：（1）根据递推公式，求数列的部分项；）根据递推公式，求数列的部分项；（2）已知数列的部分项，写出数列相邻两项）已知数列的部分项，写出数列相邻两项的关系；的关系；（3

18、）根据算法程序框图，建立递推关系式）根据算法程序框图，建立递推关系式.作业作业教材练习教材练习:7.1（2）1,2.1.导学包导学包:1-12.2.练习册（练习册（A）6-8；练习册（练习册（B）1-4.3.导学先锋导学先锋P.1-4.首页首页上页上页下页下页 问题拓展问题拓展 例例1.1112(2),1,1.nnnaaanaa写出数列的前写出数列的前4项：项：解：由题意知：解：由题意知：123214321,11 122 13aaaaaaaa 这个数列的前这个数列的前4项依次为项依次为1，1，2，3.说明说明 由递推公式由递推公式1112(2),1,1.nnnaaanaa给出的数列叫做斐波那契

19、数列给出的数列叫做斐波那契数列.斐波那契（斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250），意大利数学），意大利数学家，他在家，他在1202年所著的计算之书中，提出的年所著的计算之书中，提出的“兔子兔子问题问题”所用的数列被后人称为斐波那契数列所用的数列被后人称为斐波那契数列.兔子问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，兔子问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每个月都会生下一对兔子那么，由一而一对成熟兔子每个月都会生下一对兔子那么，由一对初生兔子开始，对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？个月后会有多少对兔子呢？用记号用记号“。”表示初生的幼兔，表示初生的幼兔

20、，“.”表示成熟的表示成熟的兔子，则有下图兔子，则有下图 得到前七项：得到前七项：1，1，2，3，5，8，13 进一步发现：从第三项起，每一项都是前面两项之和进一步发现：从第三项起，每一项都是前面两项之和.12(3)nnnaaan1nnnaba例例2.已知数列已知数列an的第的第1项是项是1，第，第2项是项是2，以后各，以后各项由项由 给出给出.（1）写出这个数列的前）写出这个数列的前5项；项；（2）利用上面的数列）利用上面的数列an，通过公式，通过公式 构造一个新数列构造一个新数列bn，写出数列，写出数列bn的前的前5项；项；（3）继续计算数列）继续计算数列bn的第的第6项到第项到第10项，

21、你项，你发现数列发现数列bn的相邻两项之间有怎样的关系的相邻两项之间有怎样的关系.解：由递推关系：解：由递推关系：1212(3),1,2.nnnaaanaa（1）数列）数列an的前的前5项依次为：项依次为：1，2，3，5，8（2）数列）数列bn的前的前5项依次为：项依次为：3 5 8 132,2 3 58（3）数列）数列bn的第的第5项到第项到第10项依次为：项依次为：21 34 55 89 144,13 21 34 55 89观察1：2341231,1,1235bbb，1055189b 于是，数列于是，数列bn的相邻两项之间具有：的相邻两项之间具有：111(2)nnbnb 观察观察2：212

22、323121(1)1,1(1)1,23bb bbbb，10910551(1)189bb b 于是，数列的相邻两项之间具有：于是，数列的相邻两项之间具有：1(1)1(2)nnbbn 说明说明（1）题是利用递推关系求数列的项；）题是利用递推关系求数列的项；（2）题是构造一个数列写出部分项；）题是构造一个数列写出部分项；（3）题是通过观察部分项，猜想递推关系式）题是通过观察部分项，猜想递推关系式.4.已知数列已知数列an,以后的各项由公式以后的各项由公式给出，写出这个数列的前给出，写出这个数列的前5项，并求其通项公式项，并求其通项公式.111nnnaaa5.已知直线已知直线l：y=x与曲线与曲线C:

23、,过曲线过曲线C上横坐标为上横坐标为1的一点的一点P1作作x轴的平行线交轴的平行线交l于于Q2,过过Q2作作x轴的垂线交曲线轴的垂线交曲线C于于P2，再过，再过P2作作x轴的平轴的平行线交行线交l于于Q3，过，过Q3作作x轴的垂线交曲线轴的垂线交曲线C于于P3设点设点P1,P2,Pn的纵坐标分别为的纵坐标分别为a1,a2,a3,an，试求数列，试求数列an的递推公式。的递推公式。1()2xy 解：解：a1=2，2221 2a 3221(2)3a 4223251()3a 5225271()5a 解：由题意，点解：由题意，点P1的横坐标为的横坐标为1，纵坐标为，纵坐标为a1=，21 点点Qn+1与

24、与Pn的纵坐标相同，都是的纵坐标相同，都是an，同时点同时点Pn+1与与Qn+1的横坐标相等，的横坐标相等，点点Pn+1在曲线在曲线c：上，上，1()2xy 由横坐标得它的纵坐标为由横坐标得它的纵坐标为 1()2na即即11()2nana这就是数列这就是数列an的递推公式。的递推公式。例例3.根据下列各个数列根据下列各个数列an的首项及其递推公的首项及其递推公式，写出数列的前式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式：项，并归纳出通项公式：（1）a1=0，an+1=an+(2n1)，nN+；（2）a1=1，,nN+；122nnnaaa解：（解：（1）因为）因为a1=0，an+1=an+(2n1)，

25、nN+；所以，所以，a2=1，a3=4，a4=9，a5=16，归纳出它的通项公式是归纳出它的通项公式是an=(n1)2。（2）a1=1，,nN+；122nnnaaa解解:1212223aaa2322122aaa3432225aaa4542123aaa归纳出它的通项公式是归纳出它的通项公式是21nan例例4.数列数列an中，中，a1=1，对于所有的，对于所有的n2且且nN+，都有，都有 （1）求）求a3+a5；（2）是此数列中的项吗？是此数列中的项吗？212na aan256225解法解法1：（：（1）因为）因为212na aan2121(1)na aan2122121(1)nnna aanaa

26、 aan所以，两式相除得所以，两式相除得n2，nN+，所以所以39,4a 52516a 359256141616aa解法解法2：（：（1）因为）因为 ，212na aan所以所以124a a 解得解得a2=4，又又1239a a a 解得解得394a 同理可得同理可得416,9a 52516a 359256141616aa解：（解：（2）令）令 22256225(1)nn则则 16151nn解得解得n=16.所以所以 是此数列中的一项。是此数列中的一项。256225（2）是此数列中的项吗？是此数列中的项吗？256225O 1 2 3 4 5 6 72018161412108642nan。已知数

27、列 的前5项为5，7，10，14，19试猜想这个数列的通项公式nana1.已知数列已知数列 的前的前5项为项为5，7，10，14，19试猜想这个数列的通项公式试猜想这个数列的通项公式nana2,1251:427293104naanbncaabcabcbabcc=+=+=镲+=眄镲镲+=镲 =设:则解之得解：解：2211114,4.2222nnannann=+=+猜想:经检验:n=4,n=5时,成立2.,观察下列数列的构成规律 写出其通项公式;,.20,12,6,2)3;33,17,9,5,2)2,.;169,87,45,23)1 ;,.307,103,125,32,23)4;.006.006.0,6.06)5，;.666.066.0,6.0)6，;.,8;.313131)7baba），链接的图像 或其他内容返回返回