浅谈几类背包题课件.ppt
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- 浅谈 背包 课件
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1、背包问题作为一个经典问题在动态规划中是很基础的一个部分,然而以0-1背包问题为原题,衍生转变出的各类题目,可以说是千变万化,当然解法也各有不同,如此就有了继续探究的价值。引言背包的基本变换 完全背包 多次背包 单调队列优化其他几类背包问题 树形依赖背包(选课)PKU3093总结多次背包问题:给定多次背包问题:给定n 种物品和一个背包。第种物品和一个背包。第i种物品种物品 的价值是的价值是Wi,其体积为,其体积为Vi,数量是,数量是Ki件件,背包的容量为,背包的容量为C。可以任意选择装入背包中。可以任意选择装入背包中的物品,求装入背包中物品的最大总价值。的物品,求装入背包中物品的最大总价值。对于
2、一个左右边界都只增不降的区间最值,可以用单调队列来做到总效率O(n)的维护。如果要用单调队列来优化多次背包,就必须在多次背包问题中挖掘出一个维护区间最值的子问题。对于多次背包,用最常见的状态表示是用Fi,j表示前i种物品,总体积不超过j的最大价值总和。当前只考虑第i种物品,假设体积v,价值w,数量k。由于对于体积j,与其相关的只有那些对v的余数与j相同的体积,所以再按照体积j对v的余数分为v份。我们可以把每一份分开处理,假设现在要考虑余数为d的部分。用j来标号,规定编号j所对应的体积是d+j*v。显然编号j可以从编号j-k到j中的任意一个转移而来,因为相邻的体积正好相差v。编号编号j01234
3、对应体积dd+vd+2*v d+3*v d+4*v 区间j-k,j,这个区间是随着j的递增而左右边界都递增的区间。但是注意到由于不同编号对应的体积也是不一样的,显然体积大的价值也会大于等于体积小的,直接比较是没有意义的,所以还需要做一定的修正。比如可以把体积d+j*v都退化到d,也就是说用Fi-1,j*v+d-j*w来代替原来的价值进行比较大小。这样就可以用单调队列来优化了,对于每件物品的转移均摊O(C),所以得到O(n*C)的算法。树形依赖背包问题:给定树形依赖背包问题:给定n 件物品和一个背包件物品和一个背包。第。第i件物品件物品 的价值是的价值是Wi,其体积为,其体积为Vi,但是,但是依
4、赖于第依赖于第Xi件物品(必须选取件物品(必须选取Xi后才能取后才能取i,如,如果无依赖则果无依赖则Xi=0),依赖关系形成森林,背包),依赖关系形成森林,背包的容量为的容量为C。可以任意选择装入背包中的物品。可以任意选择装入背包中的物品,求装入背包中物品的最大总价值。,求装入背包中物品的最大总价值。这个概念最初是由DDengi在背包九讲中提出。定义:考虑这样一种物品,它并没有固定的费定义:考虑这样一种物品,它并没有固定的费用(体积)和价值,而是它的价值随着你分配用(体积)和价值,而是它的价值随着你分配给它的费用(体积)变化而变化。给它的费用(体积)变化而变化。泛化物品可以用一个一维数组来表示
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