概率和分布列提纲（答案）.docx

1、 1 概率、随机变量及其分布列概率、随机变量及其分布列 1概率 （1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率 的区别。 （2）了解两个互斥事件的概率加法公式。 （3）理解古典概型及其概率计算公式。 （4） 了解条件概率。 2两个事件相互独立，n 次独立重复试验 （1）了解两个事件相互独立的概念； （2）理解 n 次独立重复试验的模型并能解决一些实 际问题； 3离散型随机变量及其分布列 （1）理解取有限个值的离散随机变量及其分布列的概念。 （2）理解二项分布，并解决一 些简单问题。 4离散型随机变量的均值、方差 （1）理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的

2、概念； （2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 要点考向要点考向 1：古典概型：古典概型 考情聚焦：考情聚焦：1古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合结合起来 考查。2多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。 考向链接考向链接 ：1有关古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包 含的基本事件数，这常常用到计数原理与排列、组合的相关知识。 2在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含 的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性。 3对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。 基本知识点：

3、1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 m n 总是接近 某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作( )P A 3.概率的确定方法： 通过进行大量的重复试验， 用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4 概率的性质： 必然事件的概率为1， 不可能事件的概率为0， 随机事件的概率为0( )1P A， 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果

4、（事件A）称为一个基本事件 6等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相 等，那么每个基本事件的概率都是 1 n ，这种事件叫等可能性事件 7等可能性事件的概率公式及一般求解方法：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 2 所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率( ) m P A n 8.事件的和的意义:对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的 9 互斥事件:不可能同时发生的两个事件()( )( )P ABP

5、 AP B 一般地：如果事件 12 , n A AA中的任何两个都是互斥的，那么就说事件 12 , n A AA彼此互斥 10对立事件:必然有一个发生的互斥事件()1( )1( )P AAP AP A 11互斥事件的概率的求法:如果事件 12 , n A AA彼此互斥，那么 12 () n P AAA 12 ()()() n P AP AP A 例例题讲解题讲解 1、从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率 是（ ） 【方法技巧】列古典概型的基本事件空间常用的方法有： （1）列举法； （2）坐标网格法； （3） 树图等。 解析解析 ：，包

6、含的基本事件总数。事件“”为 ，包含的基本事件数为。其概率。 故选 D。 2、从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的 6 个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜 色不同的概率为 （ ） A B C D 解析解析 ：选 C 3.一个口袋中装有 n 个红球(n5 且 nN)和 5 个白球，一次摸奖 从中摸出两个球，两个球颜色不同则为中奖. (1)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 P; (2)若 n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率记为 P3(1),当 n 取多少时,P3(1)值最 大? 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆

7、 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 ( , )|1,2,3,4,5,1,2,3a bab 15n ba (1,2),(1,3),(2,3)3m 31 155 P 6 4 228 6 4 240 6 4 264 6 4 288 3 4、 袋内装有 6 个球， 每个球上都记有从 1 到 6 的一个号码， 设号码为 n 的球重克， 这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响） 。 （1）如果任意取出 1 球，求其重量大于号码数的概率； （2）如果不放回地任意取出 2 球，求它们重量相等的概率。 4解析： （1）由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法。 由不等式 所以，于是所求概率为 3

8、 2 6 4 （2）从6个球中任意取出2个球，共有15种等可能的方法，列举如下： （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （3，4） （3，5） （3，6） （4，5） （4，6） （5，6） 设第n号与第m号的两个球的重量相等，则有 故所求概率为 15 2 要点考向要点考向 2：条件概率：条件概率 考向链接： （考向链接： （1）利用公式是求条件概率最基本的方法，这种方法的 关键是分别求出 P（A）和 P（AB） ，其中 P（AB）是指事件 A 和 B 同时发生的概率。 （2） 在求 P （AB） 时， 要判断事件 A 与事

9、件 B 之间的关系， 以便采用不同的方法求 P （AB） 。 其中，若，则 P（AB）=P（B） ，从而 126 2 nn . 34,126 2 nnnnn或得6 , 52 , 1nn或 .126126 22 mmnn . 0)6)(mnmn)4 , 2(),5 , 1 (),(, 6,mnmnmn 4 5、甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球。先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑 球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论 中正确的是_（写出所有正确结论的编号

10、） 。 ；事件与事件相互独立； 是两两互斥的事件； 的值不能确定， 因为它与中哪一 个发生有关。 【思路点拨】根据事件互斥、事件相互独立的概念，条件概率及把事件 B 的概率转化为 可辨析此题。 【解析】显然是两两互斥的事件，有， 而 ， 且，有 可以判定正确，而错误。 【答案】 要点考向要点考向 3：复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差：复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差 考情聚焦：考情聚焦：1复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差是每年高考 必考的内 容，与生活实践联系密切。2多以解答题的形式呈现，属中档题。 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 最新考纲

11、 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念， 了解分布列对于刻 画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 1随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X，Y，表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以_的随机变量 2离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 12 ,A A 3 A B 2 5 P B 1 5 | 11 P B AB 1 A 123 ,A A A P B 123 ,A A A 123 ( )P BP ABP ABP AB 12

12、3 ,A A A 1 5 | 11 P B A 2 4 | 11 P B A 3 4 | 11 P B A 123 ( )P BP ABP ABP AB 112233 () (|)() (|)() (|)P A P B AP A P B AP A P B A 5524349 10111011101122 1 5 22 P AB 1 599 102244 P A P B 1 P AB 1 P A P B 5 xi(i1，2，n)的概率 P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列有

13、时也用等式 P(Xxi) pi，i1，2，n 表示 X 的分布列 (2)分布列的性质： _；_。 超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk) _，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*，称随机变量 X 服从 超几何分布 X 0 1 m P C0MCn 0 NM CnN C1MCn 1 NM CnN Cm MCn m NM CnN 求离散型随机变量的分布列 离散型随机变量分布列的求解步骤 (1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义 (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的

14、概率 (3)画表格：按规范要求形式写出分布列 (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确 6、 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起， 现需要通过检测将其区分， 每次随机检测一件产品， 检测后不放回，直到检测出 2 件次品或检测出 3 件正品时检测结束 (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件 正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列 解：解：(1)(1) 10 3 2 5 1 3 1 2 A CC AP (2)(2)X X 的分布列为的分布列为 X X

15、200200 300300 400400 P P 10 1 10 3 5 3 6 7、一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片 (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率； (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列(注：若三个数 a，b，c 满足 abc，则称 b 为这三个数的中位数) 解：解：(1)(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P PC C 3 3 4 4C C 3 3 3 3 C C 3 3 9 9 5 5

16、 8484. . (2)(2)X X的所有可能值为的所有可能值为 1,2,31,2,3，且，且P P( (X X1)1)C C 2 2 4 4C C 1 1 5 5C C 3 3 4 4 C C 3 3 9 9 17 17 4242， ， P P( (X X2)2)C C 1 1 3 3C C 1 1 4 4C C 1 1 2 2C C 2 2 3 3C C 1 1 6 6C C 3 3 3 3 C C 3 3 9 9 43 43 8484， ，P P( (X X3)3)C C 2 2 2 2C C 1 1 7 7 C C 3 3 9 9 1 1 1212. . 故故X X的分布列为的分布列为

17、 X X 1 1 2 2 3 3 P P 1717 4242 4343 8484 1 1 1212 8、已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.现采用分层抽样的方法从 中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一 步的身体检查 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列； 设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率 解：解：(1)(1)甲、乙、

18、丙三部门分别抽取人数分别为甲、乙、丙三部门分别抽取人数分别为 3,2,2.3,2,2. (2)(2)X X的所有可能值为的所有可能值为 0 0，1,2,31,2,3， 故故X X的分布列为的分布列为 X X 0 0 1 1 2 2 3 3 P P 35 1 35 12 35 18 35 4 7 6 35 1812 AP 7 事件的相互独立性 1相互独立事件的定义和性质 (1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A)P(B)，那么称事件 A 与事件 B 相互独立 (2)性质：如果 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立 如果 A 与 B

19、相互独立，那么 P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A) 判断事件是否相互独立的方法 1定义法：事件 A，B 相互独立P(AB)P(A)P(B) 2直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响 3条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断 9、 已知两名射击运动员的射击水平： 甲击中目标靶的概率是 0.7， 乙击中目标靶的概率是 0.6。 （1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率？ (5)甲击中的条件下，乙击中的概率(6)若目标被击中，求是乙击中的概率. 问题二、若

20、让甲、乙两人各自向目标靶射击 3 次，则 (1)甲恰好击中目标 2 次的概率是_； (2)两名运动员都恰好击中目标 2 次的概率是_(结果保留两位有效数字) 解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A， “乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B， A与B，A与B，A与B为相互独立事件， （1）2人都射中的概率为： 42. 06 . 07 . 0BPAPBAP 2 人都射中目标的概率是 0.42 （2） “2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事 件A B发生） ，另一种是甲未击中、乙击中（事件A B发生）根据题意，事件A B与A B互 斥，根据互斥事件的概率加法

21、公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： ()()( )( )( )( )P A BP A BP AP BP AP B 46. 06 . 07 . 016 . 017 . 0 2人中恰有1人射中目标的概率是 0.46 （3）0.88 （4） （法 1） ： “至多有 1 人击中目标”包括“有 1 人击中”和“2 人都未击中” ， 故所求概率为： ()()()PP A BP A BP A B( )( )( )( )( )( )P AP BP AP BP AP B=0.58 （法 2） ： “至多有 1 人击中目标”的对立事件是“2 人都击中目标”. （5）0.6 （6）0.18 问题二:

22、 （1）0.44； （2）0.19 奎屯 王新敞 新疆 8 10、大量统计数据表明，某班一周内（周六、周日休息）各天语文、数学、外语三科有作业 的概率如下表： 根据上表：（I） 求周五没有语文、 数学、外语三科作业的概率； （II）设一周内有数学作业的天 数为，求随机变量的分布列和数 学期望。 解析： （I）设周五有语文、数学、外语三科作业分别为事件A1、A2、A3周五没有语文、数学、外语三科作 业为事件A，则由已知表格得 、 （II）设一周内有数学作业的天数为，则 所以随机变量的概率分布列如下： 故 独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验的定义： 一般地,指在同样条件下进行的， 各次之间相

23、互独立的一种试验 一般 地，如果事件 12 , n A AA相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的 概率的积， 1212 ()()()() nn P A AAP AP AP A 2独立重复试验的概率公式：一般地，如果在 1 次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 1 1 2 P A 2 2 3 P A 3 2 3 P A 123 P AP A A A 1221 111 23318 ; 48 1 ) 3 2 1 () 2 1 1 ()0( 4 P ; 8 1 3 2 ) 2 1 1 () 3 2 1 () 2 1 1 ( 2 1 ) 1( 431 4 CP ; 24 7 3

24、2 ) 2 1 1 ( 2 1 ) 3 2 1 () 2 1 1 () 2 1 ()2( 31 4 222 4 CCP ; 3 1 3 2 ) 2 1 1 () 2 1 () 3 2 1 () 2 1 1 () 2 1 ()3( 222 4 33 4 CCP 4433 44 1211 23 4( ) (1)( ) (1) 2322 316 PCC 4 121 5( ) 2324 P 1171318 012345 48824316243 E 奎屯 王新敞 新疆 9 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率 knkk nn PPCkP )1 ()(它是(1) n PP展 开式的第1k项 3.离散

25、型随机变量的二项分布:一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的 次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)Cknpk(1p)n k，k0,1,2，n.此 时称随机变量 X 服从二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率 二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即 n1 的二项分布于 是得到随机变量x的概率分布如下： x 0 1 k n P n n qpC 00 111n n qpC knkk n qpC 0 qpC nn n 由于 knkk n qpC 恰好是二项展开式 011100 )(qpCqpCqpCqpCpq nn

26、n knkk n n n n n n 中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布 1111、一批玉米种子，其发芽率是 0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发 芽的概率大于98%？（2）若每穴种 3 粒，求恰好两粒发芽的概率 （lg20.3010） 解：记事件A“种一粒种子，发芽” ，则( )0.8P A ，( )1 0.80.2P A ， （1）设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98% 每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B“每穴至少有一粒发芽” ，则 00 ( )(0)0.8 (1 0.8)0.2 nn nn P BPC ( )1( )1 0.2

27、nP BP B 由题意，令( )98%P B ，所以0.20.02 n ，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n即(lg2 1)lg22n， lg221.6990 2.43 lg2 10.6990 n ，且nN，所以取3n 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98% （2）每穴种3粒相当于3次独立重复试验， 每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为 22 3 0.80.20.384PC， 答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384 跟踪练习：跟踪练习：某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至少应射击几次？lg20.3010,lg3=0.4771 解：设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，应射击n次 记事件A“射击一次，击中目标” ，则( )0.25P A 射击n次相当于n次独立重复试验， 事件A至少发生 1 次的概率为1(0)1 0.75n n PP 由题意，令1 0.750.75 n ， 31 ( ) 44 n ， 1 lg 4 4.82 3 lg 4 n ，n至少取 5 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆