外积体积与行列式课件.ppt

1、課本頁次：42甲、空間向量的外積甲、空間向量的外積 行四邊形面積為S 123(,)aa a a123(,)bb b b設與為空間中不平行的兩ab非零向量其夾角為且由與所張出的平baS課本頁次：42甲、空間向量的外積甲、空間向量的外積 a|sin|b|a|21cos|b|2cos|22a|b|22a|b|S|22a|b|(2a b)baS|22a|b|(2a b)課本頁次：42甲、空間向量的外積甲、空間向量的外積 SbaS22222221231231 1223 3()()()aaabbba ba ba b2222 33 23 11 31 22 1()()()a ba ba ba ba ba b|

2、22a|b|(2a b)課本頁次：42甲、空間向量的外積甲、空間向量的外積 S222233112233112aaaaaabbbbbb即S為向量 的長度233112233112(,)aaaaaabbbbbb22222221231231 1223 3()()()aaabbba ba ba b2222 33 23 11 31 22 1()()()a ba ba ba ba ba b 5課本頁次：43設 與 為空間任兩個向量123(,)aa a a123(,)bb b bab 233112233112(,).aaaaaabbbbbb外積 的長度與方向具有以下兩個重要ab 外積與平行四邊形的面積外積與平

3、行四邊形的面積 ab與 的外積是一個向量其定義為的幾何性質：課本頁次：43向量的內積是一個實數向量的外積是一個向量 甲、空間向量的外積甲、空間向量的外積(1)長度 等於由 與 所張出之平行四邊形的|ab ab(2)外積 和 與 都垂直即ab ab|sin.abab 面積即()aba ()abb 且 注意：注意：課本頁次：43證明性質證明性質(2)()aba 233112123233112(,)(,)aaaaaaa a abbbbbb1233 223 11 331 22 1()()()a a ba ba a ba ba a ba b12 321 313 223 1311322a a ba a b

4、a aa a ba ababa b0證：()aba 同理可證 ()abb 甲、空間向量的外積甲、空間向量的外積()aba ()abb 且 為了幫助記憶可以使用下圖來幫忙：課本頁次：44甲、空間向量的外積甲、空間向量的外積 課本頁次：44已知向量 和 求 a(1,1,2)b(1,2,1)(1)和ab ba(2)與 所張出之平行四邊形的面積 ab(1)1221 1(3,3,1,211 1 123)ab 211 1 12,122(3,3,31 1)1ba 例1解：課本頁次：44已知向量 和 求 a(1,1,2)b(1,2,1)(1)和ab ba(2)與 所張出之平行四邊形的面積 ab例1(2)解：|

5、ab 22233(3 33)(3,3,3)ab 已知向量 和 求 課本頁次：44(1,2,2)a(2,1,2)b(1)和ab ba(2)與 所張出之平行四邊形的面積 ab(1)練1解：2221 12(6,6,1222,3)21ab 1222 21,2221 12(6,6,3)ba 課本頁次：44(1)和ab ba(2)與 所張出之平行四邊形的面積 ab練1(2)解：|ab 2226(6)(3)9 (6,6,3)ab 已知向量 和 求 (1,2,2)a(2,1,2)b 課本頁次：44(1)長度相同,即ab ba 關於(2)方向相反,即|abba 與()baab 課本頁次：45(),nt abtR

6、 1002 21,1114 41t(1,2,2)(,2,2)tttt例2已知 和 與 均垂直n(2,1,0)a(4,1,1)b|6n nn解：222|(2)(2)63|6ntttt2t 為 或 n(2,4,4)(2,4,4)且 求 課本頁次：45練2右圖是坐標空間中的一個長方體已知三頂點是一個正方形求E 點的坐標 解：A(0,0,0)B(2,2,1)D(1,0,1)且ABFE(2,2,1),(1,0,1)ABAD222|2213AEAB(),AEt AB ADtR 21 12 22,01 11 10t(2,1,2)(2,2)tttt 33課本頁次：45練2右圖是坐標空間中的一個長方體已知三頂點

7、是一個正方形求E 點的坐標 解：A(0,0,0)B(2,2,1)D(1,0,1)且ABFE(2,1,2)(2,2)AEtttt 2,1,2,2,1,2AE 或3222|(2)()(2)3AEttt 293|31ttt 故 E 點的坐標為A(0,0,0)2,1,2,2,1,2 或17(4,3,0)AB (4,3,2)AC 30 0443,32 2443AB AC 1|2AB AC 課本頁次：46已知 為空間中三點(1,1,1),(3,2,1),(5,4,3)ABC求ABC的面積 例3解：ABC的面積(6,8,0)2226801022518(1,2,3)AB(3,2,1)AC 23 31 12,2

8、1 13 32AB AC 1|2AB AC 課本頁次：46練3解：ABC的面積(4,8,4)222(4)8(4)4 6222 6 已知 為空間中三點(1,1,2),(0,1,1),(2,1,1)ABC求ABC的面積 課本頁次：46乙、平行六面體的體積乙、平行六面體的體積 設空間中由三個不共平面的向量 與 所張出 ,abc之平行六面體的體積為 V由 與 所張出之底ab面積為 S對應的高為 h(1)底面積 S|ab(2)與 夾角cab 設為|o|s|cc高 h 課本頁次：46乙、平行六面體的體積乙、平行六面體的體積(1)底面積 S|ab(2)|o|s|cc 與 夾角cab 設為高 h(3)平行六面

9、體之體積V|VS habh|cos|abc|cos|abc|()|abc ,abc空間中由不共平面的三向量 和 所張出之 平行六面體的體積 V 為()abc 課本頁次：47乙、平行六面體的體積乙、平行六面體的體積 課本頁次：47求由三向量 (2,2,1)a(2,1,1)b(1,3,1)c 所張出之平行六面體的體積|()|abc 21 1222|,(1,3,1)|1 1 1221|(3,0,6)(1,3,1)|3 10 3(6)1|3 例4解：|3|課本頁次：48由三向量 (1,2,1)a(2,2,1)b(1,1)ck 所張出之平行六面體的體積為 6求 k 的值6|()|bac 2111 12|

10、,(1,1)|2112 22k|(4,3,2)(1,1)|k|4(1)(3)(2)1|k 366k k=0 或 k=4 練4解：1 2 1 1 2 12 2 1 2 2 1|36|k 課本頁次：48若 與 共平面則對應的高 h為 0c,ab 體積0 ()0abc 三個向量會共平面,a bc乙、平行六面體的體積乙、平行六面體的體積()0abc 當時反之若,a bc三個向量有相同始點則課本頁次：49 丙、三階行列式丙、三階行列式(一一)三階行列式的展開式三階行列式的展開式123123123aaabbbccc1 2 32 3 13 11 3 22 1233 2 1ab ca bca b cab ca

11、 b ca bc 課本頁次：49求下列三階行列式的值：(1)(2)234521123123045006(1)2(2)33 1 14 5 22 1 23 5 323452124(2)113 10 例5解：課本頁次：49求下列三階行列式的值：(1)(2)234521123123045006例5解：24(2)1 4 62 5 03 0 01231 5 02 00450630640 課本頁次：50求下列三階行列式的值：(1)(2)122131205100234506(1)1 3 52 1 22 0 11221 0 1 2 11312522530 練5解：3 154112000課本頁次：50求下列三階行

12、列式的值：練5解：(2)1 3 60 4 50 0 21001 0 40 22345605630 (1)(2)122131205100234506181800000課本頁次：50(二二)三階行列式的性質三階行列式的性質 三階行列式具有下列性質(其中性質16也是二階行列式具有的性質)：1.行列互換其值不變：223113312abaacbccb322313121abcaacbbc 丙、三階行列式丙、三階行列式 課本頁次：502.任意兩行(列)對調其值變號：223113312abaacbccb111223233ababbccca 122233311bbbcacaca112223331bbbcacac

13、a（第一、二兩行對調）（第一、三兩列對調）丙、三階行列式丙、三階行列式 課本頁次：503.任一行(列)可以提出同一個數：222131313abkkkabccabc222131313abaabckcbc112231233bbkkkacacabc122312331bbaaackbcc 丙、三階行列式丙、三階行列式 課本頁次：514.兩行(列)成比例其值為0：（第二、三兩行成比例）（第一、三兩列成比例）3333113310abkakbkcccab3333322230ababkakbcckc 丙、三階行列式丙、三階行列式 課本頁次：515.將一行(列)的k倍加到另一行(列)其值不變：123123123

14、aaabbbccc123123121131kakaaabbbcbccck123123123aaabbbccc123121233123kakaaabbbcccaka 丙、三階行列式丙、三階行列式 kk課本頁次：516.若某一行(列)之每個元素可分成兩行(列)元素 的和則此行列式可拆分為兩個行列式的和：232323111111111123232322313231aaaaaaabbcabbbbbbccddeeffccccc123123123123121231212331231233aaaaaaaabbbbbacccddddddcccccbc 丙、三階行列式丙、三階行列式 課本頁次：512321123

15、13aabbccacb2 33 22 3312122331b cb caabca ca ba bc232323211132323bbaaaaccccbabcb 丙、三階行列式丙、三階行列式 7.三階行列式的降階法：3 12 31 2 31 3 222132 113a bca b ca ba bbcaaccb c課本頁次：51232112313aabbccacb232323211132323bbaaaaccccbabcb 丙、三階行列式丙、三階行列式 7.三階行列式的降階法：（依第一行展開）課本頁次：51232112313aabbccacb232323211132323bbaaaaccccbab

16、cb 丙、三階行列式丙、三階行列式 7.三階行列式的降階法：（依第一行展開）122323311abbcacbac課本頁次：51232112313aabbccacb232323211132323bbaaaaccccbabcb 丙、三階行列式丙、三階行列式 7.三階行列式的降階法：（依第一行展開）232112313aabbcabcc課本頁次：51221312313aabbcaccb131321313132213bbaaaaccccacbbb 丙、三階行列式丙、三階行列式 7.三階行列式的降階法：（依第二行展開）課本頁次：51121233132aabbccabc121212133321212bbaa

17、aaccccbabcb 丙、三階行列式丙、三階行列式 7.三階行列式的降階法：（依第三行展開）課本頁次：51122233311bbbcacaca231312212331312bbbbbbcccccaaac 丙、三階行列式丙、三階行列式 7.三階行列式的降階法：（依第一列展開）課本頁次：51122323311bbbaaaccc231311223132312aaaaaaccccbbccb 丙、三階行列式丙、三階行列式 7.三階行列式的降階法：（依第二列展開）課本頁次：51123123123caabbcbca231312212331312aaaaaabbbbbcccb 丙、三階行列式丙、三階行列式

18、7.三階行列式的降階法：（依第三列展開）課本頁次：53求下列三階行列式的值：(1)(2)2234334555673433111123553 11621211 3125120例6(1)解：（兩行成比例）課本頁次：53求下列三階行列式的值：(1)(2)2234334555673433111123553 116例6(2)解：10100(1)21 190 求下列三階行列式的值：(1)(2)420179452452529152871519313(1)20171745245242529449959045529(二行成比例)課本頁次：54練6解：求下列三階行列式的值：(1)(2)42017945245252

19、9152871519313(2)152871519313102715202(依第二行展開)1222=6課本頁次：54練6解：3(2)課本頁次：54證明：22211()()()1aabbab bc cacc222111aabbcc(1)(1)22222100aababacaca2222()()()()babbaababacacacacaca1()()1bbaacaa c()()()ccbaba()()()abcabc例7證：課本頁次：54已知實數 x 滿足2111530259xx求 x 的值2211115315250259139xxxx x=5或3(5)8(3)0 xx 練7(5)(5(3)(3

20、)0 xx 解：課本頁次：55(三三)三階行列式的應用三階行列式的應用 設 為平面上不共線的三點121212(,),(,),(,)A a aB b bC c c得ABC的面積為 112211221|.2babacaca 11221122(,),(,),ABba baACca ca由11221122babacaca課本頁次：55若 為平面上不共線的三點121212(,),(,),(,)A a aB b bC c c則ABC的面積 為 12121211|1|.21aabbcc 三角形的面積公式三角形的面積公式課本頁次：56已知 為平面上三點求(2,5),(4,1),(1,3)ABC ABC的面積

21、ABC的面積 2511|411|213 1125126201281162 例8解：k=2 或 8課本頁次：56已知 A(4,2),B(2,1),C(6,k)為平面上三點且ABC的面積4211|211|5261k14 12244652kk6210k練8ABC的面積為 5求 k 的值解：課本頁次：56三個向量設 123123123(,),(,(,),ccaa a abcbbcb為空間中的|()|abc 233112233112132|,(,|)aaaaaabbbbbbc c c233112213311223|aaaaaabbbbbbccc231213231321312|aaaaaaccbbbcbb

22、b123121233|aaabbcccb平行六面體的體積平行六面體的體積課本頁次：57空間中由三個向量 與 123123(,),(,)aa a abb b b123(,)cc c c所張出之平行六面體的體積 V 為 123123123|.aaaVbbbccc平行六面體的體積平行六面體的體積公式公式課本頁次：57求由三向量(1,2,3),(2,1,2),(3,2,1)abc 所張出之平行六面體的體積 利用平行六面體的體積公式得體積V 為 123|212|321V1 1212449.14例9解：課本頁次：57已知由三向量(2,1,1),(2,1),(1,1,3),abkc 所張出之平行六面體的體積

23、為5求 k 的值211|21|5113k612265kk 555k k=2或0練9解：課本頁次：58例10已知由三向量 123123(,),(,),aa a abb b b所張出之平行六面體的體積為4123(,),cc c c六面體的體積 2,2,abbcc 求由三向量所張出之平行解：112233112233123222|222|abababbcbcbcccc 2123123123|4aaabbbccc2|2|abbcc 課本頁次：58例10123123123|4aaabbbccc123123123222|aaabbbccc1231231232|aaabbbccc428112233123123

24、222|abababbbbccc(1)2|2|abbcc 課本頁次：59右圖是一個體積為24的平行六面體且123,234ODOA OEOB OFOC求由三向量,OD OE OF 所張出之平行六面體的體積ODOEOF 14OA OBOC 練10解：123234OAOBOC 41462課本頁次：59若空間中 123123123(,),(,),(,),aa a abb b bcc c c三向量共平面則 1231231230;aaabbbccc反之亦成立 三向量共平面與行列式值三向量共平面與行列式值說明：當 三個向量共平面時由此三個向量,abc所張出之平行六面體的體積 V 為0 課本頁次：59試問:空間中四點 A(1,1,0),B(2,3,1),C(0,3,2),D(1,0,1)是否在同一平面上？此四點不在同一平面上.例11(1,4,1),(1,4,2),(2,1,1)ABACAD 1411422114 16 12(4)(8)30 解：課本頁次：60已知空間中(1,1,1),(2,1,0),(1,2,1),(,3)ABCD a a四點共平面求 a 的值 ,A B C D四點共平面(1,0,1),(0,1,0),(1,1,2)ABACADaa共平面1010100112aa 20000(1)0a 10a 1a 練11解：離開確認你確定要離開嗎？