数值分析7-向量范数与矩阵范数课件.ppt

1、Hilbert矩阵的病态性矩阵的病态性向量范数与向量范数与矩阵范数矩阵范数矩阵的条件数矩阵的条件数定位问题的条件数定位问题的条件数数值分析7引例引例.Hilbert矩阵的病态性矩阵的病态性 7/16/15/14/16/15/14/13/15/14/13/12/14/13/12/11A 241.121b方程组方程组 Ax=b1 的解为的解为x1 242.1211b方程组方程组 Ax=b 的解为的解为 xx x1=-2.4 27.0 -64.8 42.0 T2/18数据计算结果数据计算结果A=hilb(4);b=1;2;1.41;2;b1=b;b1(3)=b1(3)+.01;x=Ab;x1=Ab1

2、;error=x-x1;format short ex,x1,errorans=-1.6560e+002 -1.6320e+002 -2.4000e+000 1.8330e+003 1.8060e+003 2.7000e+001-4.4232e+003 -4.3584e+003 -6.4800e+001 2.8980e+003 2.8560e+003 4.2000e+001数值试验程序数值试验程序3/18定义定义3.1 设设 Rn是是n维向量空间维向量空间,如果对任意如果对任意xRn,都都有一个实数与之对应有一个实数与之对应,且满足如下三个条件且满足如下三个条件:(1)正定性正定性:|x|0,

3、且且|x|=0 x=0;(2)齐次性齐次性:为任意实数为任意实数xx (3)三角不等式三角不等式:(y Rn)yxyx 则称则称|x|为向量为向量x的范数的范数.注注:向量范数是向量长度概念的推广向量范数是向量长度概念的推广.例如例如2222112nniixxxx 是向量是向量 x 的范数的范数4/18nniixxxxx 2111),(maxmax211ninixxxxx 常用的范数常用的范数:22221122|nniixxxxx 例例1.证明证明|x|2 是是 Rn 上的一种范数上的一种范数先证明柯先证明柯西西不等式不等式:|xTy|x|2|y|2对任意实数对任意实数,有有(x-y)T(x-

4、y)0 xTx 2xTy+2yTy 0|xTy|2 (xTx)(yTy)0|xTy|x|2|y|2判别式5/18)()(|22yxyxyxT yyxyyxxxTTTT 2222|2|yyxxT 222222|2|yyxx 222|yxyx (三角不等式成立三角不等式成立)0|222212 nxxxx212122|)(|xxxxniinii (正定性成立正定性成立)(齐次性成立齐次性成立)6/18例例2.范范数数意义下的单位向量意义下的单位向量:X=x1,x2T1-11|X|1=111-1-1|X|2=1-111-1-1|X|=17/18例例3.设设x=(x1,x2,xn)T,证明证明|1xnx

5、x|211nxxxx 证明证明:|max|max111knkknkxnxx|1xnxx所以所以|2xnxx思考思考:8/18212|1|xnxx 定义定义3.2 对对 A Rnn,存在实数存在实数|A|满足满足:则称则称|A|是矩阵是矩阵 A 的一个范数的一个范数.(1)正定性正定性:|A|0,且且|A|=0 A=0;(2)齐次性齐次性:为任意实数为任意实数AA (3)三角不等式三角不等式:(B Rnn)BABA (4)相容性相容性:),(|nnRBABABA Frobenius范数范数2/1112)(|njniijFaA9/18矩阵算子范数的概念矩阵算子范数的概念设设|x|是是Rn上的向量范

6、数上的向量范数,ARnn,则则A的非的非负函数负函数|max|0 xAxAx 称为矩阵称为矩阵A的算子范数的算子范数注注1:矩阵的算子范数由向量范数所导出矩阵的算子范数由向量范数所导出,如如1101|max|xAxAx|max|0 xAxAx|xAAx 注注2:算算子范数子范数满足相容性满足相容性其中其中,A Rnn,x Rn10/18 niijnjaA111max)(max2AAAT “1-范数范数”(列和范数列和范数)njijniaA11max无穷大范数无穷大范数(行和范数行和范数)1234A例例 ,X=-3 5T,求求A、X的的“1-范数范数”,“2-范数范数”和和“无穷大范无穷大范数数

7、”613,24max1 A 712,34max A8|5|3|1 X5|5|,3max|X11/18831.5345)3(|222 X1003010101020|2 AAIT 1=26.1803,2=3.81971167.5)(max2 AAAT 1010102012341324AAT12/18矩阵的矩阵的条件数条件数概念概念 方程组方程组 Ax=b,右端项右端项 b 有一扰动有一扰动引起方程组解引起方程组解 x 的扰动的扰动bx设设 x 是方程组是方程组 Ax=b 的解的解,则有则有bbxxA )(化化简简,得得bxA bAx 1|1bAx 由由 Ax=b 得得|xAb|1bAx 所以所以|

8、)|(|1bbAAxx 13/18定义条件数定义条件数:Cond(A)=|A1|A|或或 C(A)=|A1|A|当当条件数很大时条件数很大时,方程组方程组 Ax=b是病态问题是病态问题;当条件数较小时当条件数较小时,方程组方程组 Ax=b是良态问题是良态问题|)(|1|)(|11111 AAIAAAAI IAAIAAI 111)(注注:11111)()(AAIAAIAAI|11|)(|111AAAAI 14/18类似类似,设方程组设方程组 Ax=b,矩阵矩阵A 有一扰动有一扰动 时时,将引起方程组解将引起方程组解x的扰动的扰动Ax设设 x 是方程组是方程组 Ax=b 的解的解,则有则有bxxA

9、A )(化化简简,得得AxxAA )(AxAAAIx 111)(取范数取范数|)(|111xAAAAIx|1|11AAAAAAxx 15/18 7/16/15/14/16/15/14/13/15/14/13/12/14/13/12/11A阶数阶数 4 5 6 条件数条件数1 19.4105 2.9107 9.8108条件数条件数2 1.5104 4.7105 1.4107条件数条件数 9.4105 2.9107 9.8108A famous example of a badly conditioned matrix16/18 2113131212bbyxyyxxyyxx定位问题的条件数定位问题的条件数 13131212yyxxyyxxA|A|=(x2 x1)(y3 y1)(x3 x1)(y2 y1)121312131)()(|1xxxxyyyyAA17/18|,|max|13131212yyxxyyxxA|,|max|1|121312131xxxxyyyyAA Cond(A)=|A1|A|与与|det(A)|成成反比反比18/18