第二章2微分中值及应用(new)-课件.ppt

1、(Advanced Mathematics)M yz x0 微分中值定理及应用微分中值定理及应用习题课习题课(二二)l 中值定理中值定理l 导数应用导数应用第二章第二章 一元函数微分学及应用一元函数微分学及应用2微分中值定理及应用微分中值定理及应用 中值定理中值定理罗尔定理罗尔定理证明不等式证明不等式洛必达法则洛必达法则中值定理的应用中值定理的应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒定理泰勒定理数数讨论方程根的存在与个讨论方程根的存在与个,(泰勒公式泰勒公式)麦克劳林公式麦克劳林公式)1 ,00(等未定型极限等未定型极限计算计算 一、复习一、复习3微分中值定理及应用微分

2、中值定理及应用函数的单调性函数的单调性函数性态函数性态函数的极值函数的极值 函数的凹凸性函数的凹凸性函数的最大最小值函数的最大最小值函数的渐近线函数的渐近线(水平水平,铅直铅直,斜渐近线斜渐近线)(拐点拐点,凹凸性和判别法凹凸性和判别法)驻点驻点极值存在的必要条件极值存在的必要条件极值存在的充分条件极值存在的充分条件 )(利用导数判断利用导数判断4微分中值定理及应用微分中值定理及应用(1)(1)罗尔中值定理罗尔中值定理(2)(2)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,)(baCxf 设设),()(bfaf 且且),(,ba .0)(f使使,)(baCxf 设设),(,ba 则存在则存在.)()()

3、(abafbff 则存在则存在使使 1 1、微分中值定理微分中值定理返回返回5微分中值定理及应用微分中值定理及应用,0)(Ixxf 若若推论推论(3)(3)柯西中值定理柯西中值定理xxxfy )(0 有限增量公式有限增量公式,)(),(baCxgxf 设设 则存在则存在.)()()()()()(agbgafbfgf 使得使得 0)(,xg ),(,ba.,)(IxCxf 则则).10(返回返回6微分中值定理及应用微分中值定理及应用(4)(4)泰勒中值定理泰勒中值定理10)1()()!1()()(nnnxxnfxR 其中其中阶阶内有直到内有直到的区间的区间在含在含设设 1),()(0 nbaxx

4、f,导数导数),(bax 则对于则对于有有200000)(2)()()()(xxxfxxxfxfxf ),()(2)(00)(xRxxxfnnn )(0之间之间与与在在xx 返回返回7微分中值定理及应用微分中值定理及应用带带PeanoPeano型余项的泰勒公式型余项的泰勒公式阶连续阶连续内有内有的区间的区间在含在含设设 ),()(0nbaxxf,导数导数),(bax 则对于则对于有有200000)(2)()()()(xxxfxxxfxfxf ).)()(2)(000)(nnnxxoxxxf 返回返回8微分中值定理及应用微分中值定理及应用 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12

5、()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx返回返回9微分中值定理及应用微分中值定理及应用)(1112nnxoxxxx 2!2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1(nnxoxnnmmm 返回返回10微分中值定理及应用微分中值定理及应用2 2、洛必达法则、洛必达法则 基本类型：基本类型：:变型变型注注 法则：法则：(1)当上式右端极限存在时当上式右端极限存在时,才能用此法则才能用此法则(2)在求极限过程中在求极限过程中,可能要多次使用此法则可能要

6、多次使用此法则(3)在使用过程中在使用过程中,要进行适当的化简要进行适当的化简.,00 型型型型 .)()(lim )()(lim xgxfxgxfxx ,0 ,00,1 型型0 返回返回11微分中值定理及应用微分中值定理及应用3 3、导数的应用、导数的应用定理定理，内内若在若在0)(),()(xfbaa(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法上上连连续续，在在设设,)(baxfy .),(内可导内可导在在ba.单调增加单调增加上上在在则则,)(baxfy ，内内若在若在0)(),()(xfbab.单调减少单调减少上上在在则则,)(baxfy 返回返回12微分中值定理及应用微分中值定理及应用

7、:)(0点满足点满足在在设设xxf(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法.)()()(0值值小小的一个极大的一个极大是函数是函数则称则称xfxf 0的去心邻域的去心邻域存在存在 x),(0oxUx 当当有有),()()(0 xfxf 定理定理(必要条件必要条件)极值存在的条件极值存在的条件,)(0点具有导数点具有导数在在设设xxf处取得极值，处取得极值，且在且在 0 x.0)(0 xf则则),(0oxU返回返回13微分中值定理及应用微分中值定理及应用定理定理(第一充分条件第一充分条件),)(0 xxa 当当;0)(xf有有,0 xx 而当而当,0)(xf.)(0处取极大值处取极大值在在则则

8、xxf,)(0 xxb 当当;0)(xf有有,0 xx 而当而当,0)(xf.)(0处取极小值处取极小值在在则则xxf.)(0处无极值处无极值在在xxf,)()(0内内在邻域在邻域设设xUxf 有有 有有,)()()(0符号相同符号相同内内在邻域在邻域若若xUxfc 则则返回返回14微分中值定理及应用微分中值定理及应用定理定理(第二充分条件第二充分条件),)(0处具有二阶导数处具有二阶导数在在设设xxf,0)(0 xf则则 ,0)()(0 xfa 当当 ,0)()(0 xfb 当当,)(0处取得极大值处取得极大值在在 xxf.)(0处取得极小值处取得极小值在在 xxf,0)(0 xf且且返回返

9、回15微分中值定理及应用微分中值定理及应用求极值的步骤求极值的步骤:);(.xfa 求导数求导数)0)(.的根的根方程方程求驻点求驻点 xfb,)(在该点的符号在该点的符号或或xf .求极值求极值d,)(.中所有点左右的正负号中所有点左右的正负号在在检查检查bxfc.的点的点不不存存在在及及)(xf.判判断断极极值值点点返回返回16微分中值定理及应用微分中值定理及应用步骤步骤:a.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;b.求区间端点及驻点和求区间端点及驻点和注注(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题就是最值就是最值其中最大者就是最大值其中最大者就是最大值,则这个极值则这个极值(最大值或最小值最

10、大值或最小值).最小者就是最小值最小者就是最小值.如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,不可导点的函数值不可导点的函数值,返回返回17微分中值定理及应用微分中值定理及应用定理定理1 1,),()(内具有二阶导数内具有二阶导数在在若若baxf(4)曲线的凹凸性曲线的凹凸性,)(上连续上连续在区间在区间若函数若函数Ixf,21Ixx ).()()1)()1(2121xfxfxxf .)()(的的凸凸相相应应的的图图形形是是凹凹则则称称xf,0)()(xf.界点界点连续曲线的凹凸性的分连续曲线的凹凸性的分:曲线的拐点曲线的拐点.)(,)(的的凸凸上的图形是凹上的图形是凹在在则则baxf内内在

11、在),(ba:满满足足返回返回18微分中值定理及应用微分中值定理及应用渐近线的求法渐近线的求法水水平平渐渐近近线线 )(a满满足足若若函函数数)(xf,)(lim),(axfx .)(ayxf 的的曲曲线线有有水水平平渐渐近近线线则则函函数数垂垂直直渐渐近近线线 )(b满满足足若若函函数数)(xf,)(lim),(000 xfxxxx.)(0 xxxf 的的曲曲线线有有垂垂直直渐渐近近线线则则函函数数返回返回19微分中值定理及应用微分中值定理及应用斜渐近线斜渐近线 )3(满满足足若若函函数数)(xf,)(limaxxfx .)(baxyxf 的的曲曲线线有有斜斜渐渐近近线线则则函函数数,)(l

12、imbaxxfx 返回返回20微分中值定理及应用微分中值定理及应用例例1 1.65,6sinln 的正确性的正确性上上在在验证罗尔定理对验证罗尔定理对 xy 解解.65,6上连续上连续在在 内处处存在内处处存在在在又又)65,6(cot xy )65()6(ff 并且并且2ln 二、典型例题二、典型例题xysinln 由于由于21微分中值定理及应用微分中值定理及应用.65,6sinln的的条条件件上上满满足足罗罗尔尔定定理理在在函函数数 xy ,0cot xy由由内显然有解内显然有解在在)65,6(.2 x,2 取取.0)(f则则这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.22微分中值定理及

13、应用微分中值定理及应用.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,1,0)(2bafbfabaffxf 使使内存在不同的内存在不同的在在对任意给定的正数对任意给定的正数试证试证且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设例例证证,均为正数均为正数与与ba10 baa,1,0)(上连续上连续在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1,0(存在存在有有上分别用拉氏中值定理上分别用拉氏中值定理在在,1,0)(xf23微分中值定理及应用微分中值定理及应用),0(),()0()0()(fff)1,(),()1()()1(fff,1)1(,0)0(ff注意到注意到由由,有有

14、)()(1bafbbafa )(fbaa )()(11 ff )(fbab +,得得)()(ff .)()(bafbfa 24微分中值定理及应用微分中值定理及应用例例3 3证明不等式证明不等式证证),0(ln)(ttttf令令,1ln)(ttf则则,01)(ttf.0,0),(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即).,0,0(,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 25微分中值定理及应用微分中值定理及应用例例4 4.,12水平与铅直渐近线水平

15、与铅直渐近线拐点拐点区间区间凹凸凹凸极值极值的单调区间的单调区间求函数求函数 xxxy解解:)1(定义域定义域,1 x),1()1,1()1,(即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函数奇函数y)2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx,0 y令令.3,0,3 x得得26微分中值定理及应用微分中值定理及应用y 322)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx,0 y令令.0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标,lim)3(yx;没有水平渐近线没有水平渐近线,lim01 yx又又,lim01 yx;1的铅直渐近线的铅直渐近线为曲线为曲线 yx ,lim01 yx,li

16、m01 yx;1的铅直渐近线的铅直渐近线为曲线为曲线 yx 27微分中值定理及应用微分中值定理及应用,)3,0,3(),1()4(分点分点和可能拐点的横坐标为和可能拐点的横坐标为驻点驻点以函数的不连续点以函数的不连续点 xxxx列表如下列表如下:x)3,()1,0()1,3(3)0,1(y y y 1 0 极大值极大值0拐点拐点00 28微分中值定理及应用微分中值定理及应用x31y y y 极小值极小值0)3,1(),3(3xy极大值极大值,323 3xy极小值极小值,323).0,0(拐点为拐点为29微分中值定理及应用微分中值定理及应用三、练习题三、练习题B (一）选择题：一）选择题：,1)

17、()()(lim)1(2 axafxfax则点则点 )(ax （A A）是）是 的极大值点的极大值点)(xf)(xf（B B）是）是 的极小值点的极小值点 )(xf（C C）是）是 的驻点的驻点,但不是极值点但不是极值点)(xf（D D）不是不是 的驻点的驻点30微分中值定理及应用微分中值定理及应用D;0)(),()(fbaA使使至少存在一点至少存在一点;0)(),()(fbaB使使一定不存在点一定不存在点;0)(),()(fbaC使使恰存在一点恰存在一点.0)(),()(fbaD一定不能使一定不能使对任意的对任意的)(),()(),()(.2则则可导且可导且在在若若bfafbaxf 31微分

18、中值定理及应用微分中值定理及应用A 0)(,),()(.3在在且方程且方程可导可导在在已知已知 xfbaxf)(),(,),(baba那么在那么在与与有两个不同的根有两个不同的根 .0)(xfA.必有；必有；B.可能有可能有;C.没有没有;D.无法确定无法确定32微分中值定理及应用微分中值定理及应用D;0)(,),()()(bfbaxfA且且上单调增加上单调增加在在;0)(,),()()(bfbaxfB且且上单调增加上单调增加在在;0)(,),()()(bfbaxfC且且上单调减少上单调减少在在的符号的符号但但上单调增加上单调增加在在)(,),()()(bfbaxfD.无法确定无法确定且且内可

19、导内可导在在上连续上连续在在若若,),(,)(.4babaxf)(,0)(,0)(,),(则则又又时时 afxfbax33微分中值定理及应用微分中值定理及应用0)(0 xf5.是可导函数是可导函数 )(xf0 x在在点处有点处有(A)(A)充分条件；充分条件；(B)(B)必要条件必要条件(C)(C)充要条件；充要条件；(D)(D)既非必要又非充分条件既非必要又非充分条件.B B极值的极值的()()34微分中值定理及应用微分中值定理及应用C6.若连续函数在闭区间上有极大值和极小值若连续函数在闭区间上有极大值和极小值,(D)极大值必大于极小值极大值必大于极小值.(C)极大值不一定是最大值极大值不一

20、定是最大值,极小值也不一定极小值也不一定(A)极大值必是最大值极大值必是最大值,且极小值必是最小值且极小值必是最小值(B)极大值必是最大值极大值必是最大值,或极小值必是最小值或极小值必是最小值则（则（）是最小值是最小值35微分中值定理及应用微分中值定理及应用DA.单调减少单调减少,曲线是凹的曲线是凹的；B.单调减少单调减少,曲线是凸的曲线是凸的；C.单调增加单调增加,曲线是凹的曲线是凹的；D.单调增加单调增加,曲线是凸的曲线是凸的；,0)()(),(.7 xfxfba的的一一阶阶导导数数内内函函数数若若在在)()(,0)(在在此此区区间间内内则则函函数数二二阶阶导导数数xfxf 36微分中值定

21、理及应用微分中值定理及应用条件条件拐点的拐点的取得取得在点在点是曲线是曲线_)(,()(0)(.1000 xfxxfyxf _)0()1()1()0(,0)(,1,0.2三者的大小顺序为三者的大小顺序为、则则上上设在设在ffffxf 必必要要)1()0()1()0(ffff _sinsinlim.31 axaxax_)1(.44的拐点数为的拐点数为曲线曲线xexy aecot个个0（二）填空题（二）填空题37微分中值定理及应用微分中值定理及应用.,1 ,1112)(.12baxxbaxxxxfy确定确定处可导处可导已知函数在已知函数在设设 （三）计算题（三）计算题 )11ln(lim.22xx

22、xx30)1(sinlim)1(.3xxxxexx 求极限求极限xxxxeln10)1(lim)2(38微分中值定理及应用微分中值定理及应用.,)1,0(1.42角角形形面面积积最最小小使使它它与与两两轴轴所所围围成成的的三三切切线线内内的的一一条条的的切切点点在在求求抛抛物物线线 xy.),0(,1,2.52222距离最大距离最大到点到点使使上求一点上求一点试在椭圆试在椭圆设设bBMMbyaxba bbabaabaab ln0.6时，时，试证当试证当 )(4)()1,0(0)1()2,2()(.7fffxf ，使得，使得求证存在求证存在，内可导，内可导，在在设函数设函数39微分中值定理及应用

23、微分中值定理及应用2,1ln)(.8212 xxxbxxaxf在在在在设函数设函数极小值？极小值？处分别取得极大值还是处分别取得极大值还是和和并问在并问在的值的值、试求试求处都取到极值处都取到极值21.21 xxba.)(2)0()2()2,0(1110)3(21.92 的的满足满足内内在在求求fffxxxx 40微分中值定理及应用微分中值定理及应用.,)(,1222 )(.11223为极值点为极值点并判别是否并判别是否的驻点的驻点试求函数试求函数所确定所确定是由方程是由方程设函数设函数xyyxxyyyxyy 0)(,.,)(.10 fxxf使得使得），（证明：存在证明：存在轴有三个交点轴有三

24、个交点且与且与）内具有二阶导数）内具有二阶导数，在（在（设函数设函数41微分中值定理及应用微分中值定理及应用.)(.,)(1,0.2单调增单调增中值定理中值定理满足拉格朗日满足拉格朗日可导、连续可导、连续上，上，在在xfxf 填空题解答填空题解答)(01)()0()1(ffff ）（则则10 )1()()0(fff )1()0()1()0(ffff 返回返回42微分中值定理及应用微分中值定理及应用xexy 4)1(.4 xexy 3)1(40)1(122 xexy.0 )1(4的拐点数为的拐点数为曲线曲线xexy axaxxaeeeaxaxcotcotlimsincossinsinlim ax

25、axaxaxaxeaxsinsinln1lim1sinsinlim.3 返回返回43微分中值定理及应用微分中值定理及应用1)1()(lim)(lim,11fxfxfxx 有有由连续性由连续性)1(1 ba1)1()(lim1)1()(lim 11 xfxfxfxfxx由可导性有由可导性有1112lim11lim211 xxxbaxxx计算题计算题解答解答1)1(4lim1112lim22121 xxxxaxx返回返回44微分中值定理及应用微分中值定理及应用 )11ln(lim .22xxxxxxxx1)11ln(1lim tttxtt)1ln(11lim10 ，则原式，则原式令令21)1(21

26、1lim2111lim)1ln(lim0020 ttttttttttt返回返回1 a.2 1 b）由（由（45微分中值定理及应用微分中值定理及应用20321cossinlim:)1(.3xxxexexxx 原式原式解解xxxexxexxx62)sin(cos)cos(sinlim0 xxexx31coslim0 3cossinlim0 xexexxx 31 返回返回46微分中值定理及应用微分中值定理及应用 2301)(sinlim:2xxexxxexxx原式原式解法解法xexxexxxxx21lim31coslimlim0200 312161 返回返回47微分中值定理及应用微分中值定理及应用x

27、xxxeln10)1(lim)2(xxeexxexxxxxee111limln)1ln(lim0000 1lim111lim1)1(lim000 xxxxxxxxxxexeexeexeexeeexexx10 时，时，2lim10eexxe 上式上式返回返回48微分中值定理及应用微分中值定理及应用，得，得，则切线方程为，则切线方程为解：设切点为解：设切点为)(2)1(),(.42xXxxYyx 所围三角形面积为所围三角形面积为xxSxxxS4)1()1(2122222 ，即，即返回返回121,22 xxxYX及及轴上的截距分别为轴上的截距分别为轴轴，令令04)13)(1(222 xxxdxdS4

28、9微分中值定理及应用微分中值定理及应用033 0 ,330 SxSx时，时，当当时时当当34332 33 XYSx方程为方程为有极小值，此时的切线有极小值，此时的切线时，时，返回返回.33 x得定义域内的唯一驻点得定义域内的唯一驻点50微分中值定理及应用微分中值定理及应用222222)sin1(cossincos .5tbtaMBDtbytax 则则程程解：将椭圆写成参数方解：将椭圆写成参数方0)sinsin(cos22222 tbbtatdtdD令令22222222222222cossin,0)sinsin(40,2320cosbabaatbabttbbtabDDtt 及及若若或或或或若若

29、返回返回51微分中值定理及应用微分中值定理及应用中值定理条件中值定理条件满足满足上上在在，则，则时，取时，取当当上式显然成立上式显然成立时时当当证证Lagrangeabfxxfabab,ln)(,.6 bbabaaba1lnln1111 由由bbabaaba ln即即返回返回babafab lnln1)(),(，使，使所以所以.,2,22322222为为所所求求依依题题意意 babbabaa52微分中值定理及应用微分中值定理及应用)()(.74xfxxF 证：令证：令0)()1,0(F，使，使存在存在 )(4)(0)()(4 )()(4)(4343ffffxfxxfxxF ，即，即即即，而而.

30、1,0)(,)1,0(,1,0)(,0)1()1(,0)0(罗尔定理的条件罗尔定理的条件上满足上满足在在故故内可导内可导在在连续连续上上在在及及因因xFxFfFF 返回返回53微分中值定理及应用微分中值定理及应用的驻点，所以的驻点，所以一定是一定是知知条件条件解：由极值存在的必要解：由极值存在的必要)(2,1,.821xfxx 12)(bxxaxf由由 0142)2(012)1(bafbaf有有61,32 ba解出解出返回返回54微分中值定理及应用微分中值定理及应用0)2(,0)1(,3132)(2 ffxxf又又.2,1 21处处取取极极大大值值处处取取极极小小值值所所以以 xx求出驻点后，

31、也可用极值存在的第二充分求出驻点后，也可用极值存在的第二充分条件判断极值情况，方法是条件判断极值情况，方法是返回返回55微分中值定理及应用微分中值定理及应用21)()(2)0()2(,23)0(,21)2(.9 ffffff为为 11)3(21lim)1(201xxfx11)1)(1(21lim01 xxxx 111lim)1(01xxfx11lim201 xx1)1(f返回返回56微分中值定理及应用微分中值定理及应用)3(21)(2xxg 设设21)(,)(xxgxxg令令则则)2,0(21 x得得211)(2 xxh令令,1)(xxh 又设又设)2,0(2 x得得内满足内满足在在)2,0(

32、1110)3(212 xxxx返回返回.221)(2)0()2(及及的的 fff,1)(2xxh 则则57微分中值定理及应用微分中值定理及应用,321,3,2,1)(:.10 xxxxxxxxf 且且分别为：分别为：轴的三个交点的横坐标轴的三个交点的横坐标与与设设证证0)()()(321 xfxfxf则则 定理定理上分别满足上分别满足与与在在Rollexxxxxf3,22,1)(0)(),1211 fxx使得使得（故：故：0)(),2322 fxx使得使得（定理定理上也满足上也满足在在又又Rollexf )(2,1 0)(,),21 f使得使得），（故：故：返回返回58微分中值定理及应用微分中值定理及应用xyyyxyxyxyyyyy 23)1(02224622解出解出为驻点为驻点，即，即，将其代入原方程，得，将其代入原方程，得，得，得令令11212220232223 xxxxxxxyxy11 11 解：方程两端同时对解：方程两端同时对 求导，得求导，得x返回返回59微分中值定理及应用微分中值定理及应用)2(0,1.(0,1,1代入代入将将驻点）驻点）且且时时注意到注意到 yyxyyx为极小值点为极小值点所以，所以，得得1,021 xy返回返回)2(,1 2)(23)(6 )1(222yyxyyyyyyyyx 求导得求导得两边再对两边再对又由又由60