函数逼近和FFT课件.ppt

1、函数逼近和函数逼近和FFT好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏3能否找到一个简单易算的能否找到一个简单易算的 p(x)，使得，使得 p(xi)=yi函数逼近函数逼近问题问题已知数据表已知数据表xx0 x1xnyy0y1yn 函数函数 f(x)的表达式非常复杂，能否找到一个的表达式非常复杂，能否找到一个简单易算的简单易算的 p(x)，使得，使得 p(x)是是 f(x)的一个的一个合理逼近合理逼近 上面的数据表中的数值带有误差，能否找到上面的数据表中的数值带有误差，能否找到一个简单易算的一个简单易算的 p(x)，可以，可以近似地表示这些数据近似地表示

2、这些数据问题问题问题问题好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏4预备知识预备知识预备知识预备知识l 线性空间、线性相关、线性无关线性空间、线性相关、线性无关l 基、维数、有限维空间与无限维空间基、维数、有限维空间与无限维空间l 常见线性空间：常见线性空间：Rn、Hn、Ca,b、Cma,bWeierstrass 定理定理设设 f(x)Ca,b，则对，则对 0，总存在一个多项式，总存在一个多项式 p(x)，使得，使得max()()a x bf xp x 在在 a,b 上一致成立。上一致成立。好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追

3、求者成 持续更新请收藏5范数范数范数与赋范线性空间范数与赋范线性空间设设 S 为线性空间，为线性空间，x S，若存在唯一实数，若存在唯一实数|，满足，满足l 正定性：正定性：|x|0，等号当且仅当等号当且仅当 x=0 时成立时成立l 齐次性：齐次性：|x|=|x|，R l 三角不等式：三角不等式：|x+y|x|+|y|则称则称|为为 S 上的范数，上的范数，(S,|)称为赋范线性空间称为赋范线性空间 好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏6赋范线性空间赋范线性空间赋范线性空间赋范线性空间 Rn线性空间线性空间 Rn，x=(x1,x2,xn)T Rn

4、 l 1-范数范数：1211 =|ninixxxxx 22221221 ninixxxxx 1 max ii nxx l 2-范数：范数：l -范数：范数：（最大范数）（最大范数）好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏7赋范线性空间赋范线性空间赋范线性空间赋范线性空间 Ca,b线性空间线性空间 Ca,b，f(x)Ca,b l 1-范数范数：1()dbaxf xx 22()dbaxfxx max()a x bxf x l 2-范数：范数：l -范数：范数：好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏8l l l

5、 l ，等号当且仅当等号当且仅当 u=0 时成立时成立内积空间内积空间内积空间内积空间11221(,)niinnix yx yx yx yx y 设设 X 是数域是数域 K(R 或或 C)上的线性空间，对上的线性空间，对 u,v X 有有 K 中的一个数中的一个数(u,v)与之对应，且满足与之对应，且满足 称称(u,v)为为 X 上的内积，定义了内积的线性空间称为上的内积，定义了内积的线性空间称为内积空间内积空间(,)(,)v uu v(,)(,),u vu vK (,)(,)(,),uv wu wv wwX (,)0u u u,v 正交正交(u,v)=0好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读

6、书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏9内积空间内积空间定理定理2(,)(,)(,)u vu u v v 设设 X 是一个内积空间，对是一个内积空间，对 u,v X 有有Cauchy-Schwarz 不等式不等式定理定理112111222212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnu uu uu uu uu uu uGu uu uu u 设设 X 是是 内积空间，内积空间，u1,u2,un X，定义矩阵，定义矩阵则则 G 非奇异非奇异当且仅当当且仅当 u1,u2,un 线性无关。线性无关。Gram 矩阵矩阵好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游

7、者悦，好追求者成 持续更新请收藏10内积内积(,)xx x 内积导出范数：内积导出范数：例：例：Rn 上的内积：上的内积：11221(,)niinnix yx yx yx yx y 导出的范数为导出的范数为 1/2222122 nxxxxx加权内积加权内积1112221(,)niiinnnix yx yx yx yx y 给定给定正实数正实数 1,2,n,定义定义正实数正实数 1,2,n 称为称为加权系数加权系数好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏11内积内积例：例：Cn 上的内积：上的内积：11221(,)niinnix yx yx yx yx

8、 y 加权内积加权内积 1,2,n 为正实数为正实数1112221(,)niiinnnix yx yx yx yx y 例：例：Ca,b 上的内积：上的内积：(,)()()dbaf gf x g xx 好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏12权函数权函数权函数权函数设设 (x)是是 a,b 上的非负函数，满足上的非负函数，满足l ，存在且为有限值，存在且为有限值l 对对 a,b 上的任意非负连续函数上的任意非负连续函数 g(x)，()dbkaxxx 则称则称 (x)是是 a,b 上一个权函数上一个权函数l a,b 可以是无限区间，即可以是无限区间

9、，即 a,b 可以是无穷大可以是无穷大l 权函数与定义区间有关权函数与定义区间有关若若 ，则则()()d0bag xxx ()0g x (k=0,1,2,)好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏13常见的权函数常见的权函数q 常见的权函数常见的权函数()1 1)(1xx 21()(1)11xxx ()(0)xxxe 2()()xxex 好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏14带权内积带权内积带权内积带权内积设设 (x)是是 a,b 上的权函数，上的权函数，f(x),g(x)Ca,b(,)()()()d

10、baf gx f x g xx 导出范数导出范数 1/222()()dbafx fxx 性质性质0001010111010(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnGG 设设 0,1,n Ca,b，则，则 0,1,n 线线性无关当且仅当性无关当且仅当 det(G)0，其中，其中好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏15函数逼近函数逼近 记记 Hn 为所有次数不超过为所有次数不超过 n 的多项式组的多项式组成的集合，给定函数成的集合，给定函数 f(x)Ca,b，若，若 P*(x)Hn 使得使得()*()min()()

11、nP Hf xPxf xP x 则称则称 P*(x)为为 f(x)在在 Ca,b 上的上的 最佳逼近多项式最佳逼近多项式最佳逼近最佳逼近取不同的范数，就可以定义不同的最佳逼近方式取不同的范数，就可以定义不同的最佳逼近方式好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏16函数逼近函数逼近最佳平方逼近最佳平方逼近22()*()min()()nP Hf xPxf xP x 最佳一致逼近最佳一致逼近()*()min()()nP Hf xPxf xP x 好运动者健，好思考者智，好助人者乐好读书者博，好旅游者悦，好追求者成 持续更新请收藏17曲线拟合曲线拟合最小二乘拟合最小二乘拟合2211()()min()()nnniiiip Hiif xPxf xP x 寻找寻找 P*(x)，使得，使得给定给定 f(x)Ca,b 的数据表的数据表xx0 x1xmyy0y1ymn m