函数极限概念课件.ppt

1、 教学要求教学要求1 理解函数极限的理解函数极限的“-”，“-M”定义及定义及单侧极限概念；单侧极限概念；2 掌握函数极限的基本性质及两个重要极掌握函数极限的基本性质及两个重要极限；限；3 理解广义极限、无穷大量及无穷小量等理解广义极限、无穷大量及无穷小量等概念。概念。第三章第三章 函数极限函数极限51015202530354045505500.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2一、一、x趋趋于于 时时函数的极限函数的极限 设设函数函数f 定定义义在在)+,a上，上，类类似于数列情形，似于数列情形，研究当自研究当自变变量量x趋趋于于 +时时，对应对应 的函

2、数的函数值值能否无限地接近于某个定数能否无限地接近于某个定数 A.例如例如,对对于函数于函数()xxf1=我们我们画出画出它它的的 图像图像当当x无限增大无限增大时时，函数，函数值值无无 限限地接近于地接近于0 0；051015202530354045505500.20.40.60.811.21.41.6而而对对于函数于函数()xxgarctan=，则则当当 x趋趋于于+时时函数函数值值 无限地接近于无限地接近于2p我我们们称称这这两个函数当两个函数当+x时时有极限有极限。.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋

3、势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷

4、大时函数的极限;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf 0,.MxMx+表示的过程.0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx=通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近无限接近”某数某数A?问题问题:函数函数)(xfy=在在+x的的过程中过程中,对应对应函数值函数值)(xf无限无限趋近于趋近于确定值确定值 A.一般地一般地,当当 x趋趋 于于 +时时函数极限的精确定函数极限的精确定义义如下：如下：定定义义1 1 设设f 定定义义 在在)+,a上的函数，上的函数，A为为定数定数.若若对对任任

5、给给的的0 ,存在存在 数数()aM ,使得当使得当Mx 时时有有()Axf,则则称称函数函数 f 当当 x 趋趋于于 +时时以以A为为极极 限限,记记作作 ()Axfx=+lim 或或 ()()+xAxf。在定在定义义1 1中正数中正数M的作用与数列极限定的作用与数列极限定义义中中N的相的相类类似似,表明表明x 充分大的程充分大的程度度;但但这这里所考里所考虑虑的是比的是比M大的所有大的所有 实实数数x,而不而不仅仅仅仅是正整数是正整数 n.因此因此,当当x趋趋于于 +时时函数函数f 以以A 为为极限意味着：极限意味着：A的任意小的任意小邻邻域内必含有域内必含有f 在在 +的某的某邻邻域内域

6、内的全部函数的全部函数值值。正正M定定 义义1 1的几何意的几何意 义义 如如下下图图所示，所示，对对任任给给 的的0 ,在坐在坐标标平面上平行于平面上平行于x 轴轴的两条直的两条直线线+=Ay与与 =Ay，围围成以直成以直线线Ay=为为 中心中心 线线、宽为宽为 2 的的带带 形区域形区域;定定义义中的中的“当当Mx 时时有有()Axf”表示表示:在直在直 线线Mx=的右方的右方,曲曲线线()xfy=全部落在全部落在这这个个带带形区形区域之内域之内.A-A+AOxf(x)Mx=一般要往右平移一般要往右平移;但无但无论带论带形区域如何窄形区域如何窄,总总存在存在这样这样的正数的正数M,使使得曲

7、得曲线线()xfy=在直在直线线Mx=的右的右边边部分全部部分全部落在落在这这更窄的更窄的带带形区域内。形区域内。MA-A+AOxf(x)如果正数如果正数 给给 的小一点的小一点,即当即当带带形区域更窄一点形区域更窄一点,那那么么直直线线现设现设f为为定定义义在在()U或或()U上的函数上的函数,当当x或或 x时时,若函数若函数值值()xf能无限地接近某定数能无限地接近某定数A，则则称称f 当当x或或 x时时以以A为为极限极限,分分别记别记作作()Axfx=lim 或或 ()()xAxf ()Axfx=lim 或或 ()()xAxf 这这两两种种函数极限的精确定函数极限的精确定义义与定与定义义

8、1 1相仿相仿,只只须须把定把定义义1 1中的中的“Mx ”分分别别改改为为“Mx ”或或“Mx ”即可。即可。=Axfx)(limAxfx=+)(limAxfx=)(lim:情形情形+x:情形情形 x.)(,0,0$AxfMxM恒有恒有时时使当使当:情形情形x.)(,0,0$AxfMxM恒有恒有时时使当使当.)(,0,0$AxfMxM恒有恒有时时使当使当定义定义 M 几何解释几何解释:xxysin=AMM,(),2.xMxMyf xyA=当或时 函数图形完全落在以直线为中心线宽为的带形区域内:(),fU 不难证明 若 为定义在上的函数 则lim()lim()lim().xxxf xAf xf

9、 xA+=1例1lim0.xx=证明xO证证0,1,M=取xM则当时有110 xx=1M,=1lim0.xx=所以y2例:1)lim arctan;2)lim arctan.22xxxxpp+=证明证任给0,由于 arctan2xp 等价于arctan,22xpp-而此不等式的左半部分对任何x都成立,所以只要考察其右半部分x的变化范围。为此,先限制2p则有tan2xptan.2p=0(),2p 故对tan,2Mp=只须取xM 则当时便有arctan2xp 这就证明了1),类似地可证2).例例 证明证明21121lim=+xxx证证|12|12321121 =+xxx x故不妨设故不妨设|x|1

10、，而当而当|x|1时时|1|2|12|xxx|12|12321121 =+xxx|3|123xx 0 +21121xx要使要使同时成立同时成立和和只须只须 3|1|xx3max1,M=令|xM则当时，便有|12|12321121 =+xxx|3x21121lim=+xxn.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx=二、自变量趋于有限值时函数的极限先看一个例子先看一个例子的变化趋势的变化趋势函数函数时时考察考察1)1(2)(,12 =xxxfx 这个函数虽在这个函数虽在x=1处处无定义，但从它的图无定义，但从它的图形上可见，

11、当点从形上可见，当点从1的的左侧或右侧无限地接左侧或右侧无限地接近于近于1时，时，f(x)的值无的值无限地接近于限地接近于4，我们称，我们称常数常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo40,()();f xAf xA 表示任意小000,0.xxxx$当表示的过程x0 x 0 x+0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx xx0二 趋于 函数的极限定义0().(),.fxUxxxxxA0000设 为定义在点的某空心邻域内的函数现讨论当 趋于时 对应的函数值能否趋于某个定数这类函数极限的精确定义如下:定 义 2(函 数 极 限 的定 义)00

12、/000(;)0,(),0(),lim()()().xxfxUxAxxf xAfxxAf xAf xA xx=00设函数 在点的某空心邻域内有定义,为定数.若对任给的存在正数使得当时有 则称函数 当 趋于以 为极限 记作 或 定义定义 .)(,0,0,00$Axfxx恒有恒有时时使当使当0lim()xxf xA=注注 定义习惯上称为极限的定义习惯上称为极限的定义其三个要素：定义其三个要素：10。正数。正数，20。正数。正数，30。不等式。不等式)|0(|)(|0 xxAxf定义中定义中|00 xx0 xx 表示表示所以所以x x0时时，f(x)有无极限与有无极限与 f(x)在在x0处的状态处的

13、状态并无关系，这是因为我们所关心的是并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在在x0附近附近的变化趋势的变化趋势,即即 x x0时时f(x)变化有无终极目标，变化有无终极目标，而不是而不是f(x)在在x0这一孤立点的情况这一孤立点的情况 。约定约定x x0但但 xx0 0$0 当 0|xx0|有|f(x)A|0$0 当 0|xx0|有|f(x)A|0$0 当 0|xx0|有|f(x)A|0$=当0|x1|时 有 例例 4 证明211lim21=xxx 所以211lim21=xxx f(x)A|211|2=xx=|x1|当 x1 时|f(x)A|211|2=xx=|x1|0 只要|x1|要使|f

14、(x)A|0$0 当 0|xx0|有|f(x)A|0$0 当 0|xx0|有|f(x)A|0$0 当 0|xx0|有|f(x)A|0 0 当0|xx0|时 都有|f(x)A|=|cc|=0 0$0 当 0|xx0|有|f(x)A|0 0 当0|xx0|时 都有|f(x)A|分析|f(x)A|=|xx0|当0|xx0|时 有$=因为 0 证明 只要|xx0|要使|f(x)A|0 例例 2 证明00limxxxx=|f(x)A|=|xx0|所以00limxxxx=0$0 当 0|xx0|有|f(x)A|0limxxf(x)=A 或 f(x)A(xx0)。4例00001)limsinsin;2)li

15、m coscos.xxxxxxxx=证明:先建一个不等式证02xp当时有sintan.xxxBD1OCAx,事实上在右图的单位圆内,02xp当时显然有 111sintan.222xxx即,OADOABOADSSS扇形sin1,2xxxp 又当时有0,sin;xxx故对一切都有0,sin()sin.xxxxx 当由得,sin,xx xR综上 我们又得到不等式0.x=等号当且仅当时成立1).现证000sinsin2 cossin22xxxxxx+=0.xx0,对,=只需取00,xx则当时 就有0sinsin.xx00limsinsinxxxx=所以2).类似证明5例22112lim.213xxxx

16、=证明证1x 当时有221212213213xxxxx+=+1.3 21xx=+011(0),xxx若限制 于此时211.x+则,0,min3,1,=于是 对只要取01,x则当时 便有221122133xxxx.022006lim 11.(1).xxxxx=例 证明证01,1,xx由于因此2202202201111xxxxxx=+00201xxxxx+0202.1xxx,0(01),于是 对任给的不妨设取201,2x=00,xx则当时 就有22011.xx0220lim 11.xxxx=故:通过以上各例通过以上各例,我们对函数极限的我们对函数极限的“”定定义义要把握以下几点要把握以下几点:1定

17、义2 中的正数，相当于数列极限N定义中的N，它依赖于，但不是由所唯一确定,一般来 说，愈小，也相应地要小一些,而且把取得更小些也无妨.如在例 3 中可取2=或3=等等。2定义中只要求函数f 在0 x 某一空心邻域内有定义，而一般不考 虑 f 在 点0 x 处的函数值是否有定义，或者取什 么值。这是因为，对于函数极限我 们所研究的是当x趋于0 x 过程中函数值的变化趋势。如在例3 中，函数f 在点2=x是没有定义的，但当2x时 f 的函数值趋于一个定数。3定义2 中的不等式00 xx等价于();00 xUx，而不等式 ()Axf等价于()();AUxf。于是，定义又可写成：任给0，存在0，使得对

18、一切();00 xUx有()();AUxf。或更简()yf x=A0 x0 x+0 xxyoA+A单地表为：任给0，存在0，使得()()();00AUxUf。4定义的几何意义如图 3-3 所示。对任给的0，在坐标平面上画一条以直 线 Ay=为中心线、宽2 为的横带，则必存在以 直线0 xx=为中心线、宽2 为的竖带，使函数()xfy=的图象在该竖带中的部分落在横带内，但点()()00;xfx可能例外（或无意义）。单侧极限单侧极限 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点）,或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧

19、地给出定义.例如，函数()=0,0,2xxxxxf5）当0 x而趋于0时,应按()2xxf=来考察函数值的变化趋势当0 x而趋于0时,应按()xxf=又如函数21 x在其定义区间 1,1 端点1=x 处的极限，也只能在点 1=x 的右侧和点 1=x 的左侧来分别讨论。来考察.000000003(;)(;),.0,(),()fUxUxAxxxxxx+定义 设函数 在或内有定义为定数若对任给的存在正数使得当或时(),f xA有 00),Afxxx+则称数 为函数 当 趋于(或时的右(左)极限0000lim()(lim()()()()()xxxxf xAf xAf xA xxf xA xx+=记作

20、或.左极限与右极限统称为单侧极限0.fx右极限与左极限统称为单侧极限在点 的右极限与左极限又分别记为:0000(0)lim()(0)lim()xxxxf xf xf xf x+=与sgn0,xx=我们很容易求得符号函数在处的左 右极限00lim sgnlim(1)1,xxx=00lim sgnlim11.xxx+=01000 1sgnxxxx 左极限左极限.)(,0,000$Axfxxx恒有恒有时时使当使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx=或或记作记作右极限右极限.)(,0,000 +$Axfxxx恒有恒有时时使当使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx=+=+

21、或或记作记作000:000 =xxxxxxxxx注意注意例例7 7 讨论讨论21 x 在定在定义义区区间间端点端点1处处的的单侧单侧极限。极限。解解 由于由于1 x，故有，故有 ()()()xxxx +=121112 任任给给0 ,则则当当()212 x时时，就有，就有 21 x（6 6）于是取于是取 22 =，则则当当 x10 即即 11 x 时时，（，（6 6）式成立。式成立。这这就推出就推出 01lim21=xx。类类似地可得似地可得 ()01lim21=+xx。0lim(),:xxf x 关于函数极限与相应的左右极限之间的关系有下述定理0003.1lim()lim()lim().xxx

22、xxxf xAf xf xA+=定理003.1,lim()0sgn,0,limsgn.xxf xxxx=应用定理除了可验证函数极限的存在 (如对函数(3)有),还常可说明某些函数极限的不存在,如前面提到的符号函数由于它在处的左右极限不相等 所以不存在证0lim(),xxf xA=设00,0,0,xx$则当时()f xA有 0,(),xxf xA因此 当0时 有0lim()xxf xA+=故0,(),xxf xA 当0时 有0lim()xxf xA=故00lim()lim(),xxxxf xf xA+=设120,则分别存在正数 和01,()(1)xxf xA使得当0时 有02,()(2)xxf xA当0时 有12min,=现取,00,xx则当时 有001002;xxxxxxxx0或000 xx因而当时(1)和(2)式同时成立,即有(),f xA0lim()xxf xA=故 (1),自变量趋于有限值时函数的极限;作业 3.小结 (2),自变量趋于无穷大时函数的极限;(3),函数极限的几何意义;(4),单侧极限的概念;(5),应用函数极限的定义验证函数极限的方法;P47:1,(1)(3)(5)3,4,