函数的单调性及最大(小)值课件.ppt

1、要点梳理要点梳理1.1.函数的单调性函数的单调性 (1)(1)单调函数的定义单调函数的定义 设函数设函数f f（x x）的定义域为）的定义域为A A,如果对于定义域如果对于定义域A A内某内某 个区间个区间I I上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x x1 1，x x2 2,当当x x1 1 x x2 2时时,若若_,_,则则f f(x x)在在_上是单调增函数上是单调增函数.若若_,_,则则f f(x x)在在_上是单调减函数上是单调减函数.2.22.2 函数的单调性及最大函数的单调性及最大(小小)值值基础知识基础知识 自主学习自主学习f f(x x1 1)f f(x x2 2)区间

2、区间I I (2)(2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f f(x x)在区间在区间I I上是上是_或或_,_,则称函数则称函数 f f(x x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性单调性,_,_叫做叫做 f f(x x)的单调区间的单调区间.2.2.函数的最值函数的最值 (1)(1)设函数设函数y y=f f(x x)的定义域为的定义域为A A,如果存在实数如果存在实数MM,满足满足:对于任意的对于任意的x xA A,都有都有_._.存在存在x x0 0A A,使得使得_._.则称则称MM是是f f(x x)的最大值的最大值.(2)(2)设函数设函数y y=f f

3、(x x)的定义域为的定义域为A A,如果存在实数如果存在实数MM,满足满足:对于任意的对于任意的x xA A,都有都有_._.存在存在x x0 0A A,使得使得_._.则称则称MM是是f f(x x)的最小值的最小值.增函数增函数减函数减函数区间区间I If f(x x)MMf f(x x0 0)=)=MMf f(x x)MMf f(x x0 0)=)=MM3.3.判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法 (1)(1)定义法定义法:利用定义严格判断利用定义严格判断.(2)(2)利用函数的运算性质利用函数的运算性质:如若如若f f(x x)、g g(x x)为增函数为增函数,则则 f f(x

4、 x)+)+g g(x x)为增函数为增函数.为减函数为减函数(f f(x x)0).0).为增函数为增函数(f f(x x)0).)0).f f(x x)g g(x x)为增函数为增函数(f f(x x)0,0,g g(x x)0).0).-f f(x x)为减函数为减函数.)(xf1)(xf(3)(3)利用复合函数关系判断单调性利用复合函数关系判断单调性.法则是法则是“_”_”，即两个简单函数的单调性相同，即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为则这两个函数的复合函数为_,_,若两个简单函数的若两个简单函数的单调性相反单调性相反,则这两个函数的复合函数为则这两个函数的复合函数为

5、_._.(4)(4)图象法图象法.(5)(5)奇函数在两个对称的区间上具有奇函数在两个对称的区间上具有_的单调性；偶的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有函数在两个对称的区间上具有_的单调性的单调性.(6)(6)导数法导数法若若f f(x x)在某个区间内可导在某个区间内可导,当当f f(x x)0)0时，时，f f(x x)为为_函函数数;当当f f(x x)0)0时时,f f(x x)为为_函数函数.若若f f(x x)在某个区间内可导，当在某个区间内可导，当f f(x x)在该区间上递增时在该区间上递增时,则则f f(x x)_0;)_0;当当f f(x x)在该区间上递减时在该区间上递

6、减时,则则f f(x x)_0.)_0.同增异减同增异减增函数增函数减函数减函数相同相同相反相反增增减减基础自测基础自测1.1.下列函数中下列函数中,在区间在区间(0,2)(0,2)上为增函数的是上为增函数的是_._.y y=-=-x x+1;+1;y y=y y=x x2 2-4-4x x+5;+5;解析解析 y y=-=-x x+1+1在在R R上递减；上递减；y y=在在R R+上递增上递增;y y=x x2 2-4-4x x+5+5在在(-,2(-,2上递减上递减,在在2,+)2,+)上递增上递增,在在R R+上递减上递减.xy2 xy2;xx2.2.(2010(2010镇江调研镇江调

7、研)若函数若函数f f(x x)=)=x x2 2+(+(a a2 2-4-4a a+1)+1)x x+2+2在在 区间区间(-,1(-,1上是减函数上是减函数,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 f f(x x)是二次函数且开口向上是二次函数且开口向上,要使要使f f(x x)在在(-,1(-,1上是单调递减函数上是单调递减函数,则必有则必有 1,1,即即a a2 2-4-4a a+30,+30,解得解得11a a3.3.1,31,32142 aa3.3.函数函数y y=1-=1-的增区间为的增区间为_._.解析解析 函数图象如图所示函数图象如图所示.(-,1)(-,1)和和

8、(1,+)(1,+)11 x4.4.已知函数已知函数f f(x x)=)=x x2 2-2-2x x+3+3在闭区间在闭区间0,0,m m 上最大值为上最大值为 3,3,最小值为最小值为2,2,则则m m的取值范围为的取值范围为_._.解析解析 f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 2+2,+2,其对称轴为其对称轴为x x=1,=1,当当x x=1=1时时,f f(x x)minmin=2,=2,故故m m1,1,又又f f(0)=3,(0)=3,f f(2)=3,(2)=3,m m2.2.综上综上,1,1m m2.2.1,21,2【例例1 1】已知函数已知函数 证明：函数证明：函数

9、f f(x x)在在(-1,+)(-1,+)上为增函数上为增函数.（1 1）用函数单调性的定义）用函数单调性的定义.（2 2）用导数法）用导数法.证明证明 方法一方法一 任取任取x x1 1,x x2 2(-1,+),(-1,+),不妨设不妨设x x1 1 0,0,典型例题典型例题 深度剖析深度剖析).1(12)(axxaxfx,01112xxxaa且分析分析又又x x1 1+10,+10,x x2 2+10,+10,于是于是f f(x x2 2)-)-f f(x x1 1)=)=故函数故函数f f(x x)在（在（-1,+-1,+）上为增函数）上为增函数.,0)1)(1()(3)1)(1()

10、1)(2()1)(2(121212122121121122xxxxxxxxxxxxxx,01212112212xxxxaaxx,0)1(12112xxxxxaaaa方法二方法二 求导数得求导数得 a a1,1,当当x x-1-1时，时，a ax xln ln a a0,0,f f(x x)0)0在（在（-1-1，+）上恒成立，）上恒成立，则则f f(x x)在（在（-1,+-1,+）上为增函数）上为增函数.方法三方法三 a a1,1,y y=a ax x为增函数为增函数,又又 在在(-1,+)(-1,+)上也是增函数上也是增函数.在在(-1,+)(-1,+)上为增函数上为增函数.,)(ln)(

11、213 xaaxfx),1(131)(axaxfx,0)1(32x,13112 xxxy12 xxayx跟踪练习跟踪练习1 1 (2010(2010淮安模拟淮安模拟)证明证明:f f(x x)=)=x x2 2-2-2x x 在区在区 间间(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数.证明证明 方法一方法一 设设x x1 1,x x2 2是区间是区间(1,+)(1,+)上的任意两上的任意两 个值个值,且且x x1 1 x x1 1,x x2 2-x x1 10.0.1221221212221222221211222222xxxxxxxxxfxfxxxfxxxf )()()(,)(,)(又又x x1

12、 1、x x2 2(1,+),(1,+),x x2 2 x x1 11,1,即有即有x x1 1+x x2 22,2,x x1 1+x x2 2-20.-20.f f(x x2 2)-)-f f(x x1 1)0,)0,即有即有f f(x x2 2)f f(x x1 1).).故故f f(x x)=)=x x2 2-2-2x x在在(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数.方法二方法二 利用导数利用导数f f(x x)=2)=2x x-2=2(-2=2(x x-1).-1).x x1,1,f f(x x)0.)0.f f(x x)在在(1,+)(1,+)上为增函数上为增函数.【例例2 2】求函

13、数】求函数f f(x x)=log)=loga a(2(2x x2 2-5-5x x+3)+3)的单调区间的单调区间.将函数看作将函数看作y y=log=loga au u,u u=2=2x x2 2-5-5x x+3+3两函数的复两函数的复 合函数合函数,利用复合函数的单调性去求利用复合函数的单调性去求,注意对底数注意对底数a a 分类讨论分类讨论.解解 由由2 2x x2 2-5-5x x+30,+30,解得解得x x1 函数的定义域是函数的定义域是 x x|x x1 .令令u u(x x)=2)=2x x2 2-5-5x x+3,+3,由二次函数的图象可知由二次函数的图象可知u u(x

14、x)在在(-,1)(-,1)上是减函数上是减函数,在在(,+)(,+)上是增函数上是增函数;分析分析.232323又当又当a a11时时,f f(u u)=log)=loga au u是增函数是增函数;当当00a a111时时,f f(x x)=log)=loga a(2(2x x2 2-5-5x x+3)+3)的单调递增区间是的单调递增区间是(,+),(,+),单调递减区间是单调递减区间是(-,1);(-,1);当当00a a1-1-1时时,x x+10,+10,由基本不等式得由基本不等式得分析分析;112 xxxy.xxy41312 .)()()(111111112 xxxxxy 当且仅当

15、当且仅当 ,即即x x=0=0时时,有有y y=1;=1;当当x x-1-1时时,x x+10,+100且且0,0,解得解得00m m1.1.故实数故实数m m的取值范围为的取值范围为00m m1.1.(2)(2)当当m m=0=0时时,f f(m m)=)=f f(0)=(0)=当当00m m11时时,因因y y=故故f f(m m)=(0)=(0m m1),01),0f f(m m)00时时,f f(x x)1.)1.(1)(1)求证求证:f f(x x)是是R R上的增函数上的增函数;(2)(2)若若f f(4)=5,(4)=5,解不等式解不等式f f(3(3m m2 2-m m-2)3

16、.-2)3.(1)(1)是抽象函数单调性的证明，所以要用单是抽象函数单调性的证明，所以要用单 调性的定义调性的定义.(2)(2)将函数不等式中抽象的函数符号将函数不等式中抽象的函数符号“f f”运用单调运用单调 性性“去掉去掉”,为此需将右边常数为此需将右边常数3 3看成某个变量的函看成某个变量的函 数值数值.解解 （1 1）设）设x x1 1,x x2 2R R，且，且x x1 1 0,0,f f(x x2 2-x x1 1)1.)1.分析分析f f(x x2 2)-)-f f(x x1 1)=)=f f(x x2 2-x x1 1)+)+x x1 1)-)-f f(x x1 1)=f f(

17、x x2 2-x x1 1)+)+f f(x x1 1)-1-)-1-f f(x x1 1)=f f(x x2 2-x x1 1)-10.)-10.f f(x x2 2)f f(x x1 1).).即即f f(x x)是是R R上的增函数上的增函数.8.8分分（2 2）f f(4)=(4)=f f(2+2)=(2+2)=f f(2)+(2)+f f(2)-1=5(2)-1=5，f f(2)=3(2)=3，原不等式可化为原不等式可化为f f(3(3m m2 2-m m-2)-2)f f(2),(2),f f(x x)是是R R上的增函数，上的增函数，33m m2 2-m m-22,-22,解得解

18、得-1-1m m ,00，且，且 f f(x x)为增函数为增函数,f f(x xy y)=)=f f(x x)+)+f f(y y).).(1)(1)求证求证:=f f(x x)-)-f f(y y););(2)(2)已知已知f f(3)=1,(3)=1,且且f f(a a)f f(a a-1)+2,-1)+2,求求a a的取值范围的取值范围.(1)(1)证明证明).()()()()()()(yfxfyxfyfyxfyyxfxf )(yxf(2)(2)解解 f f(3)=1,(3)=1,f f(a a)f f(a a-1)+2,-1)+2,f f(a a)-)-f f(a a-1)2.-1)

19、2.f f()2=()2=f f(3)+(3)+f f(3)=(3)=f f(9).(9).f f(x x)是增函数是增函数,9,9,11a a 0,0,a a-10,-10,a a的取值范围是的取值范围是11a a 1,e1,函数函数f f(x x)的单调减区间为的单调减区间为425232 )(x),423).,423),423定时检测定时检测2.2.(2009(2009湖南改编湖南改编)设函数设函数y y=f f(x x)在在(-,+)(-,+)内有内有 定义，对于给定的正数定义，对于给定的正数K K，定义函数，定义函数f fK K(x x)=)=取函数取函数f f(x x)=2)=2-|

20、-|x x|,当当K K=时，函时，函 数数f fK K(x x)的单调递增区间为的单调递增区间为_._.解析解析 由由f f(x x)=2)=2-|-|x x|得得-|-|x x|-1,|-1,|x x|1.|1.x x11或或x x-1.-1.f fK K(x x)=)=当当x x(1,+)(1,+)时时,f fK K(x x)=2)=2-x x=,=,在在(1,+)(1,+)上为减上为减 函数函数.当当x x(-,-1)(-,-1)时时,f fK K(x x)=2)=2x x,在在(-,-1)(-,-1)上为增函数上为增函数.)(,)(),(KxfKKxfxf .,|1121112xxx

21、x或或21x)(21(-,-1)(-,-1)213.3.(2009(2009江苏扬州模拟江苏扬州模拟)已知已知f f(x x)是是R R上的减函数，上的减函数，则满足则满足f f()()f f(1)(1)的的x x的取值范围为的取值范围为_._._._.解析解析（-,0-,0）x1(1,+)(1,+).,),()(01011111 xxxxxfxf或或即即由由题题意意4.4.(2010(2010徐州调研徐州调研)若若f f(x x)在在(0,+)(0,+)上是减函数，上是减函数，则则f f(a a2 2-a a+1)+1)与与f f()()的大小关系是的大小关系是_._.解析解析43).()(

22、,),()(,)(43104343211222faafxfaaa 上是减函数上是减函数在在)()(4312faaf 5.5.（20102010山东临沂模拟）山东临沂模拟）若若f f(x x)=-)=-x x2 2+2+2axax与与g g(x x)=)=在区间在区间1,21,2上都是减函数上都是减函数,则则a a的取值范围的取值范围 是是_._.解析解析 由由f f(x x)=-)=-x x2 2+2+2axax得对称轴为得对称轴为x x=a a,在在1,21,2上是减函数上是减函数,所以所以a a1,1,又由又由g g(x x)=)=在在1,21,2上是减函数上是减函数,所以所以a a0,0

23、,综合得综合得a a的取值范围为的取值范围为(0,1(0,1.1 xa(0,1(0,11 xa6.6.(2009(2009山东烟台调研山东烟台调研)关于下列命题关于下列命题:若函数若函数y y=2=2x x的定义域是的定义域是 x x|x x0,0,则它的值域是则它的值域是 y y|y y1;1;若函数若函数y y=的定义域是的定义域是 x x|x x2,2,则它的值域是则它的值域是 y y|y y ;若函数若函数y y=x x2 2的值域是的值域是 y y|0|0y y4,4,则它的定义域则它的定义域 一定是一定是 x x|-2|-2x x2;2;若函数若函数y y=log=log2 2x

24、x的值域是的值域是 y y|y y3,3,则它的定义域则它的定义域 是是 x x|0|02,2,y y=(0,);=(0,);中中,y y=x x2 2的值域是的值域是 y y|0|0y y44，但它的定义域不一，但它的定义域不一定是定是 x x|-2|-2x x2;2;中中,y y=log=log2 2x x3,03,0 x x8,8,故故错错,正确正确.答案答案 x1217.7.(2010(2010惠州一模惠州一模)已知已知y y=f f(x x)是定义在是定义在(-2,2)(-2,2)上的上的 增函数，若增函数，若f f(m m-1)-1)f f(1-2(1-2m m)，则，则m m的取

25、值范围是的取值范围是 _._.解析解析 依题意依题意,原不等式等价于原不等式等价于.3221322321312112212212 mmmmmmmm),(3221 8.8.(2009(2009福建厦门适应性考试福建厦门适应性考试)若函数若函数f f(x x)=()=(m m-1)-1)x x2 2 +mxmx+3(+3(x xR R)是偶函数，则是偶函数，则f f(x x)的单调减区间是的单调减区间是 _._.解析解析 f f(x x)是偶函数是偶函数,f f(-(-x x)=)=f f(x x),),(m m-1)-1)x x2 2-mxmx+3+3 =(=(m m-1)-1)x x2 2+m

26、xmx+3,+3,m m=0.=0.这时这时f f(x x)=-)=-x x2 2+3,+3,单调减区间为单调减区间为0,+).0,+).0,+)0,+)9.9.(2010(2010湛江调研湛江调研)若函数若函数y y=x x2 2-3-3x x-4-4的定义域为的定义域为 0,0,m m,值域为值域为 ,-4,-4,则则m m的取值范围是的取值范围是_._.解析解析425.,)(,)(,)()(32312323234042523425234322 mmmffxxxxf解得解得故由二次函数图象可知故由二次函数图象可知又又,323二、解答题二、解答题10.10.(2010(2010无锡模拟无锡模

27、拟)已知已知f f(x x)在定义域在定义域(0(0，+)+)上上 为增函数为增函数,且满足且满足f f(xyxy)=)=f f(x x)+)+f f(y y),),f f(3)=1,(3)=1,试解不等试解不等 式式f f(x x)+)+f f(x x-8)2.-8)2.解解 根据题意根据题意,由由f f(3)=1,(3)=1,得得f f(9)=(9)=f f(3)+(3)+f f(3)=2.(3)=2.又又f f(x x)+)+f f(x x-8)=-8)=f fx x(x x-8)-8),故故f fx x(x x-8)-8)f f(9).(9).f f(x x)在定义域在定义域(0,+)

28、(0,+)上为增函数上为增函数,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|8|800且且f f(x x)在在(1,+)(1,+)内单调递减内单调递减,求求a a的取值的取值 范围范围.(1)(1)证明证明 任设任设x x1 1 x x2 2-2,0,+2)0,x x1 1-x x2 20,0,f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)0)0即即f f(x x1 1)f f(x x2 2),),f f(x x)在在(-,-2)(-,-2)内单调递增内单调递增.axx.)()()()(222222121221121 xxxxxxxxxfxf则则(2)(2)解解 任设任设11x x1 1 0

29、,0,x x2 2-x x1 10,0,要使要使f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)0,)0,只需只需(x x1 1-a a)()(x x2 2-a a)0)0恒成立恒成立,a a1.1.综上所述知综上所述知0000时有时有f f(x x)0.)0.(1)(1)求证求证:f f(x x)在在(-,+)(-,+)上为增函数上为增函数;(2)(2)若若f f(1)=1,(1)=1,解不等式解不等式f floglog2 2(x x2 2-x x-2)-2)2.x x1 1,则则x x2 2-x x1 10.0.f f(x x2 2)-)-f f(x x1 1)=)=f f(x x2 2

30、-x x1 1+x x1 1)-)-f f(x x1 1)=f f(x x2 2-x x1 1)+)+f f(x x1 1)-)-f f(x x1 1)=f f(x x2 2-x x1 1)0,)0,f f(x x2 2)f f(x x1 1),),故故f f(x x)在在(-,+)(-,+)上为增函数上为增函数.(2)(2)解解 f f(1)=1,(1)=1,2=1+1=2=1+1=f f(1)+(1)+f f(1)=(1)=f f(2).(2).又又f floglog2 2(x x2 2-x x-2)2,-2)2,f floglog2 2(x x2 2-x x-2)-2)f f(2).(2).loglog2 2(x x2 2-x x-2)2,-2)2,即即-2-2x x-1-1或或22x x3.3.原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|-2|-2x x-1-1或或22x x3.3.,.,3221420222xxxxxxx或或于是于是 返回返回