2.5 等比数列的前n项和(二).pptx
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1、第二章 数 列 2.5 等比数列的前n项和(二) 1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 1.等比数列an的前 n 项和为 Sn, 当公比 q1 时, Sna 11q n 1q a 1q n1 q1 a 1anq 1q a1qn q1 a1 q1; 当 q1 时,Sn . 知识梳理 自主学习 知识点一 等比数列的前n项和的变式 答案 na1 2.当公比 q1 时,等比数列的前 n 项和公式是 Sna 11q n 1q ,它可以变 形为 Sn a
2、1 1q q n a1 1q,设 A a1 1q,上式可写成 Sn .由 此可见,非常数列的等比数列的前 n 项和 Sn是由关于 n 的一个指数式与 一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数. 当公比 q1 时,因为 a10,所以 Snna1是 n 的正比例函数(常数项为 0 的一次函数). 答案 AqnA 解析 由题an是等比数列, 3n的系数与常数项互为相反数, 而3n的系数为1 3, k 1 3. 思考 在数列an中,an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k, 则实数k等于_. 答案 1 3 知识点二 等比数列前n项和的性质 1.连续m项的和(如Sm、S2mSm、S
3、3mS2m)仍构成 数列.(注意:q 1或m为奇数) 2.SmnSmqmSn(q为数列an的公比). 3.若an是项数为偶数、公比为q的等比数列,则S偶 S奇 . 答案 等比 q 思考 在等比数列an中,若a1a220,a3a440,则S6等于( ) A.140 B.120 C.210 D.520 返回 解析答案 解析 S220,S4S240,S6S480, S6S480S24080140. A 题型探究 重点突破 题型一 等比数列前n项和的性质 例1 (1)等比数列an中,S27,S691,则S4_. 解析答案 解析 数列an是等比数列, S2,S4S2,S6S4也是等比数列, 即7,S47
4、,91S4也是等比数列, (S47)27(91S4),解得S428或S421. 又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2 (a1a2)(1q2)S2 (1q2)0, S428. 28 (2)等比数列an共有2n项,其和为240,且(a1a3a2n1)(a2 a4a2n)80,则公比q_. 解析答案 反思与感悟 解析 由题S奇S偶240,S奇S偶80, S奇80,S偶160, qS偶 S奇2. 2 跟踪训练 1 (1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn, 若S6 S33, 则 S9 S6等于( ) A.2 B.7 3 C.8 3 D.3 解析答案 (2)一个项数为偶数的等比数列,各项之和
5、为偶数项之和的4倍,前3项之 积为64,求通项公式. 解析答案 解 设数列an的首项为a1,公比为q,全部奇数项、偶数项之和分别记 为S奇、S偶,由题意知 S奇S偶4S偶,即S奇3S偶. 数列an的项数为偶数,qS 偶 S奇 1 3. 又 a1 a1q a1q264,a3 1 q 364,即 a 112. 故所求通项公式为 an12 1 3 n1. 题型二 等比数列前n项和的实际应用 例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑,采用分期付款方式, 并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买2个月后第1次 付款,再过2个月后第2次付款,购买12个月后第6次付款,每次付 款金额相同,约
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