数列应用题选讲-人教课标版课件.ppt

1、江苏省洪泽中学江苏省洪泽中学 傅傅 启启 峰峰数学应用题解题数学应用题解题,一般分为三个步骤一般分为三个步骤:(1)审题审题;(2)建立数学模型建立数学模型;(3)求解数学模型。求解数学模型。其中审题是基础其中审题是基础,建模是关键建模是关键,解题是目标解题是目标。实际问题实际问题建立数学模型建立数学模型实际结果实际结果数学问题的解数学问题的解反反 演演分析分析,联想联想转化转化,抽象抽象数学数学 方法方法例例1;用分期付款的方式购买家用电器一件用分期付款的方式购买家用电器一件,价格为价格为1150元元,购买当天先付购买当天先付150元元,以后每月这一天都交以后每月这一天都交付付50元元,并加

2、付所欠款的利息并加付所欠款的利息,月利率为月利率为1,若以付若以付150元后的第一个月开始作为分元后的第一个月开始作为分 期付款的第一月期付款的第一月,问分期付款的第十个月该交付多少钱问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款全部贷款付清后付清后,买这件家电实际花了多少钱买这件家电实际花了多少钱?解解:因为购买当天付因为购买当天付150元元,所以欠款为所以欠款为1000元元,依题意共分依题意共分20次付清次付清,设每次交款数分别为设每次交款数分别为a1,a2,.,an,则有则有a1=50+10001=60a2=50+(1000-50)1=595a3=50+（1000250）1=59.an=50

3、+1000（n1）501 =60+（n1）（05）an构成以构成以60为首项，为首项，05为公差的等差数列。为公差的等差数列。20次分期付款的总和：次分期付款的总和：S20=60+601905/2 20=1105（元）（元）实际付款实际付款1105+150=1255（元）（元）a10=60905=555（元（元)第十个月该付第十个月该付555（元（元例例2:某煤矿从开始建设到出煤共需某煤矿从开始建设到出煤共需5年年,每年国每年国家投资家投资100万元万元,如果按年利率为如果按年利率为10来考虑来考虑,那那么到出煤的时么到出煤的时,国家实际投资总额是多少国家实际投资总额是多少?解解:100万元一

4、年投资的本利和是万元一年投资的本利和是 100(1+10)万元万元,万元561.67111.111.11.11005nS答答:到出煤时到出煤时,国家实际投资总额是国家实际投资总额是671.561万元。万元。100万元万元二年投资的本利和是二年投资的本利和是100(1+10)2万元万元.100万元万元五年投资的本利和是五年投资的本利和是100(1+10)5万元万元an是以是以a1=100(1+10),q=1+10的等比数列的等比数列例例3:水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题,全国全国有有9100万亩的坡耕地需要退耕还林万亩的坡耕地需要退耕还林,其

5、中西部地区占其中西部地区占70,2000年国家确定在西部地区退耕土地面积为年国家确定在西部地区退耕土地面积为515万亩万亩,以后以后每年退耕土地面积递增每年退耕土地面积递增12（1）试问从）试问从2000年起到哪一年年起到哪一年,西部地区基本解决退耕西部地区基本解决退耕还林问题还林问题?解解:从从2000年起年起,西部地区每年退耕还林的坡地亩数构西部地区每年退耕还林的坡地亩数构成一个成一个 首项为首项为515,公比为公比为1+12的等比数列的等比数列,6370%121112.11(5151）（）x 设设x 年以后基本解决退耕还林问题年以后基本解决退耕还林问题,则则 515+515(1+12)+

6、515(1+12%)x=910070%根据等比数列求和公式得根据等比数列求和公式得:1.12 x+12484，x7 所以，到所以，到2007年西部地区基本解决退耕还林问题。年西部地区基本解决退耕还林问题。（2）为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩）为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤斤粮食，每斤粮食按粮食，每斤粮食按07元计算，并且每亩退耕地补助元计算，并且每亩退耕地补助20元，元，试问试问：到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共：到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？需支付约多少亿元？解：从解：从2000年起到年起到2007年每年退耕还林的亩数构

7、成一个年每年退耕还林的亩数构成一个等比数列等比数列an，由题意得，由题意得a1+a2+a8=910070%104到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付：到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付：（a1+a2+a8）（30007+20）=（a1+a2+a8）23014651010（元）（元）=1465（亿元）（亿元）答：国家财政共需支付约答：国家财政共需支付约1465亿元亿元例例4:银行按规定每经过一定时间结算存银行按规定每经过一定时间结算存(贷贷)款的款的利息一次利息一次,结息后即将利息并入本金结息后即将利息并入本金,这种计算利这种计算利息的方法叫做复利息的方法叫做复利,

8、现在有某企业进行技术改造现在有某企业进行技术改造,有两种方案有两种方案,甲方案甲方案-一次性贷款一次性贷款10万元万元,第一年第一年便可获利便可获利1万元万元,以后每年比前一年增加以后每年比前一年增加30%的利的利润润;乙方案乙方案-每年贷款每年贷款1万元万元,第一年可获利第一年可获利1万元万元,以后每年比前一年增加以后每年比前一年增加5千元千元,两方案使用期都是两方案使用期都是10年年,到期后一次性归还本息到期后一次性归还本息,若银行贷款利息均若银行贷款利息均按本息按本息10%的复利计算的复利计算,试比较两种方案谁获利更试比较两种方案谁获利更多多?（精确到千元，数据（精确到千元，数据1110

9、2594，13101379）解解:甲方案甲方案10年中每年获利数组成首项为年中每年获利数组成首项为1,公比为公比为1+30%的等比数列的等比数列,其和为其和为 1 10 01 1.3 3-1 11 1.3 3-1 11+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9=42.63(万元万元)到期时银行贷款的本息为到期时银行贷款的本息为 10(1+0.1)10102.594(万元万元)甲方案扣除贷款本息后，甲方案扣除贷款本息后，净获利约为：净获利约为：4263 2594167（万元）（万元）乙方案乙方案逐年获利数组成一个等差数列，逐年获利数组成一个等差数列，10年共获利年共获利万元53.171

10、1.111.110小结：例小结：例1为等差数列型；例为等差数列型；例2，3为等比数列型；为等比数列型；例例4为等差等比数列型。为等差等比数列型。1+1.5+(1+90.5）=10(1+5.5)/2=32.50（万元）（万元）而贷款本息和为而贷款本息和为111+（1+10%）+（1+10%）9=11乙方案扣除贷款本息后，净获利约为乙方案扣除贷款本息后，净获利约为3250-1753150（万元）（万元）比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利。比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利。1.1.分期付款分若干次付款分期付款分若干次付款,每次付款额相同每次付款额相同,各次付款的时间间隔相同各次付款的时间间隔相

11、同.2.2.分期付款中双方的每月分期付款中双方的每月(年年)利息均按复利利息均按复利计算计算,即上月即上月(年年)的利息要计入本金的利息要计入本金.3.3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和产生的利息和,等于商品售价及从购买到最后等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和一次付款的利息和,这在市场经济中是相对公这在市场经济中是相对公平的平的.例例5.5.分期付款模型分期付款模型 小华准备购买一台售小华准备购买一台售价为价为50005000元的电脑元的电脑,采用分期付款的方式采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付清并在一年内将款全部付清.商场提

12、出的付款商场提出的付款方式为方式为:购买后购买后2 2个月第个月第1 1次付款次付款,再过再过2 2个月个月第第2 2次付款次付款购买后购买后1212个月第个月第6 6次付款次付款,每每次付款金额相同次付款金额相同,约定月利率为约定月利率为0.8%,0.8%,每月每月利息按复利计算利息按复利计算.求小华每期付的金额是多求小华每期付的金额是多少少?分析分析1:1:考虑小华每次还款后考虑小华每次还款后,还欠商场的金额还欠商场的金额.设小华每期还款设小华每期还款x x元元,第第k k个月末还款后的本利欠款数个月末还款后的本利欠款数为为A Ak k元元,则则22500010.008Ax2424210.

13、008500010.0081.00 8AAxxx2646421 0.00850001 0.0081.0081.008AAxxxx21210121086421 0.00850001 0.0081.0081.0081.0081.0081.008AAxxxxxxx由题意年底还清由题意年底还清,所以所以120A 解得解得:12241050001.00811.0081.0081.008880.8()x元答答:小华每次付款的金额为小华每次付款的金额为880.8880.8元元.分析分析2:2:小华在小华在1212月中共付款月中共付款6 6次次,它们在它们在1212个月后的本个月后的本利和的累加与一年后付款总

14、额相等利和的累加与一年后付款总额相等.例例5.5.分期付款模型分期付款模型 小华准备购买一台售价小华准备购买一台售价为为50005000元的电脑元的电脑,采用分期付款的方式采用分期付款的方式,并在并在一年内将款全部付清一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为商场提出的付款方式为:购买后购买后2 2个月第个月第1 1次付款次付款,再过再过2 2个月第个月第2 2次付次付款款购买后购买后1212个月第个月第6 6次付款次付款,每次付款金每次付款金额相同额相同,约定月利率为约定月利率为0.8%,0.8%,每月利息按复利每月利息按复利计算计算.求小华每期付的金额是多少求小华每期付的金额是多少?解解:设

15、小华每期还款设小华每期还款 元元,则则x购买购买2 2个月后第个月后第1 1次付款次付款 元元,此此 元到元到1010个月后个月后本利和为本利和为 元元xx101 0.008x购买购买4 4个月后第个月后第2 2次付款次付款 元元,此此 元到元到8 8个月后个月后本利和为本利和为 元元xx81 0.008x同理同理,购买购买1212个月后第个月后第6 6次付款次付款 元元,此此 元当月的元当月的本利和为本利和为 元元xx01 0.008x又又,小华一年后应还给商场的总金额增值为小华一年后应还给商场的总金额增值为:1250001 0.008元2410121 1.0081.0081.0085000

16、 1.008x12241050001.00811.0081.0081.008880.8()x元思考交流思考交流商场出售电脑商场出售电脑,提出了如下的提出了如下的3 3种付款方式种付款方式,以供顾客以供顾客选择选择.请分别算出各种付款方式每次应付款金额请分别算出各种付款方式每次应付款金额.方案方案类别类别分几次分几次付清付清付款方法付款方法13次次购买后购买后4个月第个月第1次付款次付款,再过再过4个月第个月第2次付款次付款,再过再过4个月第个月第3次付款次付款26次次购买后购买后2个月第个月第1次付款次付款,再过再过2个月第个月第2次付款次付款,再过再过12个月第个月第6次付款次付款312次次

17、购买后购买后1个月第个月第1次付款次付款,再过再过2个月第个月第2次付款次付款,再过再过12个月第个月第12次付款次付款作业：作业：（1）某厂试制新产品，为生产此顶产品需增加）某厂试制新产品，为生产此顶产品需增加某些设备，若购置这些设备需一次付款某些设备，若购置这些设备需一次付款25万元，万元，若租赁这些设备每年初付租金若租赁这些设备每年初付租金33万元，已知一万元，已知一年期存款利率为年期存款利率为98%，试讨论哪种方案收益更，试讨论哪种方案收益更大（设备可用大（设备可用10年）年）（2）1987年年7月月11日世界人口达到日世界人口达到50亿，联合亿，联合国将国将7月月11日定为日定为“世

18、界人口日世界人口日”，1992年的年的“世界世界人口日人口日”全球人口达到全球人口达到548亿亿 （）计算人口年平均增长率是多少？）计算人口年平均增长率是多少？（）测）测2001年年7月月11日世界人口数。日世界人口数。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。