方向导数与梯度精讲课件.ppt

1、17.3 方向导数与梯度 17.3.1 方向导数方向导数17.3.2 梯度梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 17.3.1 方向导数 多元函数在一点的偏导数，表示此函数过该多元函数在一点的偏导数，表示此函数过该点沿着平行于坐标轴方向的变化率。点沿着平行于坐标轴方向的变化率。问题：问题：点沿任意方向的变化率？点沿任意方向的变化率？这就是所谓的方向导数。这就是所谓的方向导数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.方向导数的定义方向导数的定义 oxyzl0PP机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyzl0PP2220000PPxxyyzz记记000,xxxyyyzzz cos,xcos,y

2、cos.zxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题：问题：(1).方向导数的计算？方向导数的计算？(2).方向导数与可微、偏导数之间的关系？方向导数与可微、偏导数之间的关系？2.方向导数的计算方向导数的计算 oxyzl0P 机动 目录 上页 下页 返回 结束:证明000,:P xx yy zzl设为 上任一点由已知 0()f Pf P000000,f xx yy zzf xy z 000()()()xyzfPxfPyfPzo 0()f Pf P00()()xyxyfPfPoxyzl0PPxyz 0()zozfP机动 目录 上页 下页 返回 结束 000()cos()cos()cosxyz

3、ofPfPfP000()cos()cos()cos,xyzfPfPfP00,fPl故 在 沿 的方向导数存在 且 0()f Pf P0()lf P 00()limf Pf P000()cos()cos()cos.xyzfPfPfP/oxyzl0P P机动 目录 上页 下页 返回 结束:说明(1).1,f由定理 知 如 可微则任意方向的方向导数皆可用偏导数表示:0000()(),(),()cos,cos,cosTlxyzf PfPfPfP0000()(),(),()lxyzf PfPfPfPl可见为向量在方向 上的投影.0(2).,lPl记 表示在 点与射线 反向的射线 则由定理1知00PPff

4、ll 0(3).(,),ff x y zPxx记在 点沿 轴正方向的方向导数为0(,).ff x y zPxx在 点沿 轴负方向的方向导数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0:,?fffPxxx在,问点有何关系题:答案0P在 点,.ffffffxxxxxx存在皆存在 且(4).对二元函数有类似的讨论(,)f x y对二元函数,000()()()limlf Pf Pf P00()cos()cosxyfPfP l其中 和 是的方向角.定义定义定理定理17.6oyxl Pxy0P机动 目录 上页 下页 返回 结束 230.(,)(1,1,1).(2,2,1);).(1,1,1)(2,2,1).1

5、f x y zxyzfPliliil设,求 在点处沿 方向的方向导数.其中为方向为从点到点的方向例解:(法1).il 的方向余弦为2222cos2(2)1 2,32cos,3 1cos,30()1,xfP01()2yyfPy2,201()3zzfPz3.,因此0Pfl000()cos()cos()cosxyzfPfPfP2212()3333 13由定理由定理17.6,机动 目录 上页 下页 返回 结束).iil 的方向余弦为22221cos(21)(21)(1 1)1,103cos,10 cos0;,因此13121010fl 5.10 机动 目录 上页 下页 返回 结束(法2)(用定义).il

6、为方向的射线为111221xyzt令(0)21,21,1,(0 )xtytztt 即 0()(1,1,1)f Pf3,()(21,21,1)f Pfttt23(21)(21)(1)ttt 3273ttt 222(1)(1)(1)xyz222(2)(2)ttt 3t,因此000()()limPff Pf Pl3207lim3ttttt1.3机动 目录 上页 下页 返回 结束).(1,1,1)(2,2,1)iil从点到点的方向 的方向数为(1,3,0),l方向的射线为1,31,1,xtytz (0 ).t()(1,31,1)f Pf tt2953,tt0()(1,1,1)f Pf3;222(1)(

7、1)(1)xyz22(3)tt 10t000()()limPff Pf Pl因此,2095lim10tttt5.10 机动 目录 上页 下页 返回 结束:请同学们问题小结法2.答案:0,xyzlll l l记 的方向数为则l射线 上的点(,)P x y z000(,)xyzxt lyt lzt l 00Pt l 0Pfl00000()()limtf Pt lf Pt l 0:,ll当 为 方向上的单位向量时注则00000()()limtPff Pt lf Plt 000()tdf Pt ldt 机动 目录 上页 下页 返回 结束 222.(,),:).).1.2f x y zxyzifiifl

8、fl(0,0,0)设证明在(0,0,0)偏导数不存在,进而不可微;但 在(0,0,0)沿任意射线 的方向导数皆存在,且例:).i证明(0,0,0)xf0(,0,0)(0,0,0)limxfxfx 0limxxx,(0,0,0)xf不存在;(0,0,0),(0,0,0)yzff同理,不存在.所以所以,可微是方向可微是方向导数存在的充分导数存在的充分条件条件,但不必要但不必要.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0).,xyziilll l l记 的方向数为则(0,0,0)fl000()(0,0,0)limtf t lft l00,(0,0,0)limxyztf t lt lt lft l2222

9、222220limxyztxyztltltltlll1.fl故 在(0,0,0)沿任意射线 的方向导数皆存在,1.fl(0,0,0)且机动 目录 上页 下页 返回 结束 0f 0f xyo1f 1f 2 1,0,.(,)0,3yxxf x y 当设其余部分例(0,0)(0,0)lff证明:=0,但 在不连续.教材教材P.126 例例2 ff在一点的任何方向上的方向导数皆存在,在此点连续.机动 目录 上页 下页 返回 结束 17.3.2 梯度 1.梯度的定义梯度的定义 记作：记作：000(),(),()TxyzgradffPfPfP222000()()()xyzgradffPfPfP方向上的投影

10、方向上的投影.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.梯度的几何意义梯度的几何意义 对可微函数，梯度方向是函数变化最快的方向。对可微函数，梯度方向是函数变化最快的方向。这是因为这是因为 00()()cosTlf Pgradflgradf P 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.梯度的运算梯度的运算).(),igrad ucgradu).,iigraduvgradugradv).,iiigrad u vu gradvv gradu 2).,vu gradvv graduivgraduu ).().vgradf uf ugradu机动 目录 上页 下页 返回 结束:).iv证明22,yyxxx

11、yuvu vvuvu vvuuuuvgradu21(,)xxyyuvu vuvu vu21(,)(,)xyxyuvu vu vu vu21(,)(,)xyxyu vvv uuu2ugradvvgraduu机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得(,),uuugradu x y zxyz23,42,6,xyz故故(1,1,2)5,2,12.gradu222(1,1,2)5212173.gradu机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处处的的梯梯度度及及它它的的模模.解解 000()1,()3,()3,xyzfPfPfP易得所以易

12、得所以 0grad()(1,3,3),f P2220|grad()|1(3)(3)19.f P 练习题机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解2(1,0)(1,0)1;yzex2(1,0)(1,0)22,yzxey所求方向导数所求方向导数cos()2sin()44zl2.2 这这里里方方向向l即即为为1,1 PQ,练习题解答返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(c

13、os)2()1,1()1,1(xyyx 2返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束 sincos),4sin(2 故故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束(0,0)0(,0)(0,0)limxzfxfxx 0|lim.xxx 故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.解答解答返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束 0(0,0)(,)(0,0)limzfxyfl22220()()lim1()()

14、xyxy 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：；。返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束:解(1,2)(1,2)22,Txx(1,2)(1,2)24;Tyy(1,2)(1,2)(1,2)cos30sin30TTTlxy31242232.返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束:解2221126,l:l 的方向余弦112cos,cos,cos,66622,2,uuuyzxzxyzxyz而coscoscosuuuulxyz221122666yzxzxyz返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束:解221,(,

15、),f x yxy这里22222222,xyxyffxyxy 2222212grad()xyxyxy ij:解2grad,1,2,3,xyzffffyz,grad(1,1,2)1,2,12.f于是返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：(1)不能断定，:(,),f x yxy例如设(0,0),(0,0)()xfff ii在点与存在且相等 但不存在.(2)不能断定，返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束 22:(,)(0,0)(0,0)(0,0)xyf x yxyff例如在处和,均不存在但0(,)(0,0)limffxyfl0(cos,sin)(0,0)limff 0lim1返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案：返回返回机动 目录 上页 下页 返回 结束