人教A版高中数学必修一课件：3.1.2用二分法求方程的近似解.ppt

1、3.1.23.1.2 用二分法求方程的用二分法求方程的 近似解近似解 人教人教A版版 高中数学高中数学 必修必修1 定 理 定 理 如果函数( )yf x在区间, a b上的图象是 并且有 ， 那么， 函数( )yf x在区间, a b内有零点， 定理回眸知能并重 1.复习重温复习重温 推论：若上述函数 y=f(x)在区间a,b上单调，并且有( )( )0f af b，那 么，函数( )yf x在区间, a b内 零点， 零点的存在性问题 零点的个数问题 思考：如何确定零点的取值？ 连续不断的一条曲线， ( )( )0f af b 有且仅有一个 问题问题:你会求下列方程的解吗你会求下列方程的解

2、吗? （1） 2 20xx （3） ln260xx 2.初步探究初步探究 解法再现 类型梳理 （2） ln10xx 1x 20x 或 近似解？ 求根公式 试根法 无法求出 精确解 猫和老鼠 之机器猫节选 3.情境再现情境再现 另辟蹊径策略探求 4.提取原理提取原理 猫猫 抓抓 老老 鼠鼠 的的 步步 骤骤 确定老鼠所在范围（水管内） 取中点（刀砍） 判断身处哪段即缩小捕鼠范围 判断管长是否接近老鼠的身长 捕获老鼠捕获老鼠 发现老鼠发现老鼠 B A C D E 启发？启发？ 曲径通幽灵感获取 想一想 1.确定鼠所在大致范围 5.类比迁移类比迁移 ln260xx求方程近似解？(精确度0.01） 一

3、路楼台直达山巅 x 0 2 4 6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 (2)(3)0ff 存在性 1.确定解所在大致范围 ln260xx求方程的近似解（精确度0.01） ln26xxf(x)= ( )f x 连续不断可行性 ( )f x 单调递增唯一性 5.类比迁移类比迁移 一路楼台直达山巅 思考思考1：如何确定函数：如何确定函数 零点所处的零点所处的初始区间初始区间？ a b ( )ln26f xxx c 思考思考2：如何进一步缩小函数零点的范围？：如何进一步缩小函数零点的范围？ 2.取中点 3.判断零点所处 1) ( )( )0 2) ( )(

4、 )0 3( )0 f af c f cf b f c ） 0 ( , );xa c 0 ( , );xc b 0 xc 一般地，一般地， 区间（区间（a,b） 的中点的中点 2 ab c 5.类比迁移类比迁移 一路楼台直达山巅 几种不同情况几种不同情况 目标：更新、减半！目标：更新、减半！ 区区 间间 端点的符号端点的符号 中点中点 的值的值 中点函数中点函数 值的符号值的符号 (2, 3) f(2)0 2.5 f(2.5)0 (2.5, 2.75) f(2.5)0 2.625 f(2.625)0 (2.5, 2.625) f(2.5)0 2.5625 f(2.5625)0 (2.5, 2.

5、5625) f(2.5)0 2.53125 f(2.53125)0 (2.53125, 2.546875) f(2.53125) 0 2.5390625 f(2.5390625) 0 (2.53125, 2.53925) f(2.53125) 0 2.53515625 f(2.53515625) 0 ( )ln26f xxx函数的零点所在区间缩小历程附表： 思考思考3：如何设置停止标志？如何设置停止标志？ 给定精确度给定精确度 ，对于零点所在区间，对于零点所在区间 ， ( , )a b 当当 时，我们称时，我们称达到精确度达到精确度，此时区间内任一点，此时区间内任一点误差误差 不超过不超过 ,

6、 均为符合要求的均为符合要求的近似解近似解. ab 4.判断管长是否接近老鼠的身长 思考思考4：停止时，从简洁性的角度，停止时，从简洁性的角度， 你会选择区间内哪个数作为近似值？你会选择区间内哪个数作为近似值？ 2 3 a 2.75 b ( )ln26f xxx 可取当前区间（可取当前区间（a,b）的端点）的端点b。 5.类比迁移类比迁移 一路楼台直通山巅 例例1 1 根据下表计算函数根据下表计算函数 在在 区间（区间（2 2，3 3）内精确度为）内精确度为0.010.01的零点近似值？的零点近似值？ 62xlnx)x(f 区间（区间（a a，b b） 中点值中点值m f(m)f(m)的近似的

7、近似 值值 区间长度区间长度| |a- -b| | 初始（初始（2 2，3 3） 2.52.5 - -0.0840.084 1 1 （2.52.5，3 3） 2.752.75 0.5120.512 0.50.5 （2.52.5，2.752.75） 2.6252.625 0.2150.215 0.250.25 （2.52.5，2.6252.625） 2.562 52.562 5 0.0660.066 0.1250.125 （2.52.5，2.562 52.562 5） 2.531 252.531 25 - -0.0090.009 0.06250.0625 （2.531 252.531 25，2.

8、562 52.562 5） 2.546 8752.546 875 0.0290.029 0.031250.03125 （2.531 252.531 25，2.546 8752.546 875） 2.539 062 52.539 062 5 0.010.01 0.0156250.015625 （2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 0.007813 解解:观察知观察知区间长区间长0.007813精确度精确度0.01, 所以所以x=2.5390625为函数为函数 f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。零点的近似值。 取2.539行吗？ 例例1 1 根据

9、下表计算函数根据下表计算函数 在在 区间（区间（2 2，3 3）内精确度为）内精确度为0.010.01的零点近似值？的零点近似值？ 62xlnx)x(f 区间（区间（a a，b b） 中点值中点值m f(m)f(m)的近似的近似 值值 区间长度区间长度| |a- -b| | 初始（初始（2 2，3 3） 2.52.5 - -0.0840.084 1 1 （2.52.5，3 3） 2.752.75 0.5120.512 0.50.5 （2.52.5，2.752.75） 2.6252.625 0.2150.215 0.250.25 （2.52.5，2.6252.625） 2.562 52.562

10、5 0.0660.066 0.1250.125 （2.52.5，2.562 52.562 5） 2.531 252.531 25 - -0.0090.009 0.06250.0625 （2.531 252.531 25，2.562 52.562 5） 2.546 8752.546 875 0.0290.029 0.031250.03125 （2.531 252.531 25，2.546 8752.546 875） 2.539 062 52.539 062 5 0.010.01 0.0156250.015625 （2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001

11、0.007813 解解:观察知观察知区间长区间长0.007813精确度精确度0.01, 所以所以x=2.5390625为函数为函数 f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。零点的近似值。 取得此解共减半 了几次?列式？ 例例1 1 根据下表计算函数根据下表计算函数 在在 区间（区间（2 2，3 3）内精确度为）内精确度为0.010.01的零点近似值？的零点近似值？ 62xlnx)x(f 区间（区间（a a，b b） 中点值中点值m f(m)f(m)的近似的近似 值值 区间长度区间长度| |a- -b| | 初始（初始（2 2，3 3） 2.52.5 - -0.0840.084 1 1 （2.5

12、2.5，3 3） 2.752.75 0.5120.512 0.50.5 （2.52.5，2.752.75） 2.6252.625 0.2150.215 0.250.25 （2.52.5，2.6252.625） 2.562 52.562 5 0.0660.066 0.1250.125 （2.52.5，2.562 52.562 5） 2.531 252.531 25 - -0.0090.009 0.06250.0625 （2.531 252.531 25，2.562 52.562 5） 2.546 8752.546 875 0.0290.029 0.031250.03125 （2.531 252.

13、531 25，2.546 8752.546 875） 2.539 062 52.539 062 5 0.010.01 0.0156250.015625 （2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 0.007813 2-1 0.01 2 n (n注： 的最小值为执行次数） min 7n 2 n ba 一般化 特殊化 数学之美！数学之美！ 二分法的定义：二分法的定义： ( )f x 通过不断的把函数的零点所在区间 ，使区间的两个端点零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 一分为二逐步逼近 , ( ), ( )( )0a b yf x f af b 对于

14、在区间上且的函数连续不断 想一想？想一想？ 用二分法求函数零点近似值的用二分法求函数零点近似值的 步骤是什么？步骤是什么？ ;, 0)()就是函数的零点则若ccfi 0 )( )( )0,( , ),;iif af cxa cbca b若则此时零点，令更新（） ).,(, 0)()() 0 bcxcabfcfiii此时零点则令若 ,( )f x给定精确度用二分法求函数零点近似值的步骤 (1). , ,( ) ( )( )0,; a bf x f af b 确定区间函数在其上连续不断， 且满足给定精确度 ;),().2(cba的中点求区间 (3).( );f c计算 ).4()2();( ,|:

15、).4( 否则重复或近似值 则得到零点即判断是否达到精确度 ba ba 算 分分 判判 定定 6.揭示规律揭示规律 总结归纳显山露水 例例2 2、已知函数、已知函数f(x)f(x)的图象如图所示，其中零点的的图象如图所示，其中零点的 个数与可以用二分法求零点的个数分别为（个数与可以用二分法求零点的个数分别为（ ） A.4A.4，4 B.34 B.3，4 C.44 C.4，2 D.42 D.4，3 3 7.概念辨析概念辨析 x2 x3 x4 C x1 重温重温:二分法求函数零点的条件是什么？二分法求函数零点的条件是什么？ 1 1、函数、函数y=f (x)在在a,b上连续不断；上连续不断； 2、

16、y=f (x)满足满足 f (a)f (b)0. 是非曲直感悟真谛 变式变式.若单调函数若单调函数y=f(x)的一个零点同时的一个零点同时 在区间（在区间（0，16），（），（0,8），（），（0,4），）， （0,2）内）内, 则下列命题正确的是（则下列命题正确的是（ ） A.函数函数f(x)在区间（在区间（0,1）内有零点；）内有零点； B.函数函数f(x)在区间（在区间（0,1）或（）或（1,2）内有零点；）内有零点； C.函数函数f(x)在区间（在区间（2,16）内无零点；）内无零点； D.函数函数f(x)在区间（在区间（1,16）内无零点；）内无零点； C 7.概念辨析概念辨析 是非

17、曲直感悟真谛 解：解：因为因为f(x)在在R内是连续不断的增内是连续不断的增 函数，又函数，又因为因为f(1) f(2)0，所以，所以 f(x)= 2x+3x-7有唯一的零点有唯一的零点x0（1，2）. ( )237 x f xx例例3.3.利用计算器，求函数利用计算器，求函数 的零的零 点近似值点近似值. .（精确度（精确度0.10.1） 2 4 6 8 -4 -2 -2 -4 -6 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 y x 0 8.方法体验方法体验 第二步：用二分法求零点近似值第二步：用二分法求零点近似值. . 第一步：确定零点的大致范围第一步：确定零点的大致

18、范围. . 小组合作：一人按计算器，一人记录小组合作：一人按计算器，一人记录 若“精确到0.1”？ 0 (1.375,1.4375)1.4375.x 取近似值为 第三步：根据精确度要求写出结果第三步：根据精确度要求写出结果. . 答案为1.4 一叶融雪知必躬行 0 (1.375,1.4375) 1.4375. x 取近似值为 变式.函数函数g(x)=2 2x x+x+x与与h(x)=7-2x的交点横坐标的的交点横坐标的 近似值近似值(精确到精确到0.1）为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5 C ( )237 x f xx例例3.3. 求函数求函数 的零点近似值的零点

19、近似值. . （精确度（精确度0.10.1） ( )( )( )f xg xh x构造函数 237 x x 8.方法体验方法体验 一叶融雪知必躬行 例例4. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防 洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条数十洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条数十 公里长的线路，均匀分布着公里长的线路，均匀分布着200根电线杆，如何根电线杆，如何 迅速查出故障所在？迅速查出故障所在？(将故障点确定在将故障点确定在12根电线根电线 杆附近）杆附近） 9.方法迁移方法迁移 巧用妙施更上层楼 200 方案一：从第一根电线杆开始，一段 段短路测试

20、，最多可能检查200次 方案二：采用二分法原理 0 100 150 可视为在区间（0,200）上找寻零点，精确度为1 建构求零点近似值的模型 例例4. 在一个风雨夜，从某水库闸房到防洪指挥部在一个风雨夜，从某水库闸房到防洪指挥部 的电话线路发生了故障。这是一条数十公里长的的电话线路发生了故障。这是一条数十公里长的 线路，均匀分布着线路，均匀分布着200根电线杆，如何迅速查出根电线杆，如何迅速查出 故障所在？故障所在？(将故障点确定在将故障点确定在12根电线杆附近）根电线杆附近） x 设电杆分布在（1,0），（2,0）（200,0） 需要几次？ 9.方法迁移方法迁移 巧用妙施更上层楼 函数 方程 转化思想 逼近思想 数形结合 1.定解所在的区间 3. 分解所在的区间 2.算端点的函数符号 用二分法求 方程的近似解 算法思想 4. 判区间长度是否达到精确度 数学 源于生活 数学 用于生活 10.反思总结反思总结 联知编网谱写华章 布置作业布置作业 自我检验自我检验 创优练习 28 作业一作业一 作业二作业二 寻找生活中的实例，用二分法研究（研究性课题）寻找生活中的实例，用二分法研究（研究性课题）