1.1.2　余弦定理(一).pptx

1、第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理(一) 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 文字语言 三角形中任何一边的 等于其他两边的 的 减去 这两边与它们的夹角的余弦的 倍 符号语言 a2 ， b2 ， c2 知识梳理 自主学习 知识点一 余弦定理及其证明 平方 和 平方 a2c22accos B 1.余弦定理的表示及其推论 答案 积的两 a2b22abcos C b2c22bccos A 推论 cos A ， cos B ，

2、cos C 答案 b2c2a2 2bc a2c2b2 2ac a2b2c2 2ab 答案 2.余弦定理的证明 (1)课本上采用的证明方法： 如图，设 aCB ，bCA ，cBA ，则 c ， |c|2c c(ba)2 ， c2a2b22abcos C. ba a22a bb2 a22abcos Cb2 (2)利用坐标法证明 如图，建立直角坐标系，则A 、B 、C (写出 三点的坐标). 答案 aBC ， a2b2c22bccos A. (0,0) (ccos A，csin A) (b,0) (ccos Ab)2(csin A0)2 c22bccos Ab2 思考1 在ABC中，若a2b2bcc

3、2，则A . 解析答案 解析 由题意知，cos Ab 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2， 又 A(0，)，A2 3 . 2 3 答案 思考2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？ 答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理 反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三 角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例. 知识点二 用余弦定理解三角形的问题 利用余弦定理可以解决以下两类问题： (1)已知两边及夹角解三角形； (2)已知三边解三角形. 思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？ 答案 返回 答案 不妨设已知a、b、A， 方法一 由正弦定理 a s

4、in A b sin B可求得 sin B，进而得 B，角 C，最后得 边 c. 方法二 由余弦定理a2b2c22bccos A得边c，而后由余弦或正弦定 理求得B、C. 题型探究 重点突破 题型一 已知两边及夹角解三角形 解析答案 反思与感悟 例 1 在ABC 中，已知 a2，b2 2，C15 ，求角 A，B 和边 c 的 值(cos 15 6 2 4 ，sin 15 6 2 4 ). 跟踪训练1 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3， b2，cos(AB)1 3，则c等于( ) A.4 B. 15 C.3 D. 17 解析答案 解析 由三角形内角和定理可知 cos Cco

5、s(AB)1 3，又由余弦定 理得 c2a2b22abcos C94232(1 3)17，所以 c 17. D 题型二 已知三边(或三边的关系) 解析答案 反思与感悟 例 2 在ABC 中，已知 a2 6，b62 3，c4 3，求 A、B、C. 解析答案 跟踪训练 2 将例 2 中的条件改为“abc2 6(62 3)4 3”， 求 A、B、C. 解 abc2 6(62 3)4 3， 即 a 2 6 b 62 3 c 4 3， 不妨设 a 2 6k，则 a2 6k，b(62 3)k，c4 3k， 下同例题解法. 题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形 解析答案 反思与感悟 例 3 在ABC 中

6、， 已知角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若 a2 3， b 6，A45 ，求边 c. 跟踪训练3 已知在ABC中，b 3，c3，B30，解此三角形. 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.在ABC中，符合余弦定理的是( ) A.c2a2b22abcos C B.c2a2b22bccos A C.b2a2c22bccos A D.cos Ca 2b2c2 2ab 解析答案 解析 由余弦定理及其推论知只有A正确. A 1 2 3 4 5 解析答案 2.在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c的值是( ) A.8 B.2 17 C.6 2 D.2 19 解析 由

7、余弦定理c2a2b22abcos C 4262246(1 2)76， c2 19. D 1 2 3 4 5 解析答案 3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C120，c 2a，则( ) A.ab B.ab C.ab D.a与b的大小关系不确定 解析 cos 120 a 2b2c2 2ab a 2b22a2 2ab 1 2， b 51 2 aa. A 1 2 3 4 5 解析答案 4.在ABC中，若a2b2c2ab，则角C的大小为 . 解析 cos Ca 2b2c2 2ab ab 2ab 1 2， 又 B(0，)，B 3. 3 1 2 3 4 5 解析答案 5.在ABC 中，角

8、 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a1，b 7， c 3，则 B . 解析 cos Ba 2c2b2 2ac 137 21 3 3 2 ， 又 B(0，)，B5 6. 5 6 课堂小结 1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广， 勾股定理可以看作是余弦定理的特例. (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对 的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对 的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对 的角是直角. 返回 2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. (2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解 三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解.