人教A版必修五数学课件：2.2.1等差数列的概念与通项公式.ppt

1、2.22.2 等差数列等差数列 第一课时第一课时 等差数列的概念与通项公式等差数列的概念与通项公式 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.通过实例通过实例, ,理解等差数列和等差中项的概念理解等差数列和等差中项的概念, ,深化认识并能运用深化认识并能运用. . 2.2.会推导等差数列的通项公式会推导等差数列的通项公式, ,能运用等差数列的通项公式解决一些简单能运用等差数列的通项公式解决一些简单 的问题的问题. . 3.3.体会等差数列与一次函数的关系体会等差数列与一次函数的关系. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.等差数列的定义等差数列的定义 如果一个数列

2、从第如果一个数列从第 项起项起, ,每一项与它的前一项的差等于每一项与它的前一项的差等于 , ,那么这那么这 个数列就叫做等差数列个数列就叫做等差数列, ,这个常数叫做等差数列的公差这个常数叫做等差数列的公差, ,公差通常用字母公差通常用字母d d表示表示. . 2 2 同一个常数同一个常数 2.2.等差中项等差中项 由三个数由三个数 a,A,ba,A,b 组成的等差数列中组成的等差数列中,A,A 叫做叫做 a a 与与 b b 的等差中项的等差中项,A=,A= 2 ab . . 3.3.等差数列的通项公式和递推公式等差数列的通项公式和递推公式 如果等差数列如果等差数列aan n 的首项为的首

3、项为a a1 1, ,公差为公差为d,d,那么那么 通项公式通项公式 a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d 递推公式递推公式 a an+1 n+1- -a an n=d =d 自我检测自我检测 D D 解析解析: :由等差数列的定义知强调两个方面由等差数列的定义知强调两个方面: :从第二项起从第二项起; ; 差为同一个常数差为同一个常数, ,故选故选D.D. 1.(1.(等差数列的概念等差数列的概念) )下列说法中正确的是下列说法中正确的是( ( ) ) (A)(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数, ,这个数列就叫等差数

4、列这个数列就叫等差数列 (B)(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, ,这个数列就叫等这个数列就叫等 差数列差数列 (C)(C)一个数列从第一个数列从第2 2项起项起, ,每一项与它的前一项的和都等于常数每一项与它的前一项的和都等于常数, ,这个数列就叫这个数列就叫 等差数列等差数列 (D)(D)一个数列从第一个数列从第2 2项起项起, ,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, ,这个数这个数 列就叫等差数列列就叫等差数列 A A 解析解析: :设方程设方程 x x 2 2- -6x+3=

5、0 6x+3=0 的两根为的两根为 x x1 1,x,x2 2则则 x x1 1+x+x2 2=6,=6,所以所以 x x1 1,x,x2 2 的等差中项为的等差中项为 12 2 xx =3.=3. 2.(2.(等差中项的概念等差中项的概念) )方程方程x x2 2- -6x+3=06x+3=0的两根的等差中项为的两根的等差中项为( ( ) ) (A)3(A)3 (B)6(B)6 (C)(C)- -6 6 (D)(D)- -3 3 B B 3.(3.(等差数列的公差等差数列的公差) )等差数列等差数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=3=3- -2n,2n,则该数列的公差则该数

6、列的公差d d等等 于于( ( ) ) (A)(A)- -1 1 (B)(B)- -2 2 (C)2(C)2 (D)3(D)3 解析解析: :d=ad=an+1 n+1- -a an n=3 =3- -2(n+1)2(n+1)- -(3(3- -2n)=2n)=- -2.2.故选故选B.B. 解析解析: :设等差数列设等差数列aan n 的首项为的首项为 a a1 1, ,公差为公差为 d,d, 则则 1 1 2, 38, ad ad 解得解得 d=3,ad=3,a1 1= =- -1.1. 所以所以 a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d=3n1)d=3n- -4.4. 4.(4

7、.(等差数列的通项公式等差数列的通项公式) )等差数列等差数列aan n 中中,a,a2 2=2,a=2,a4 4=8,=8,则通项公式则通项公式 a an n= = . . 答案答案: :3n3n- -4 4 课堂探究课堂探究 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明 题型一题型一 (1)(1)证明证明: :因为因为 b bn+1 n+1- -b bn n= = 1 1 2 n a - - 1 2 n a = = 1 4 42 n a - - 1 2 n a = = 22 n n a a - - 1 2 n a = = 2 22 n n a a = = 1 2 . . 又又 b b1 1=

8、= 1 1 2a = = 1 2 , ,所以数列所以数列bbn n 是首项为是首项为 1 2 , ,公差为公差为 1 2 的等差数列的等差数列. . 【例【例 1 1】 已知数列已知数列aan n 满足满足 a a1 1=4,a=4,an n=4=4- - 1 4 n a (n1),(n1),记记 b bn n= = 1 2 n a . . (1)(1)求证求证: :数列数列bbn n 是等差数列是等差数列; ; (2)(2)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)解解: :由由(1)(1)知知 b bn n= = 1 2 +(n+(n- -1)1) 1 2 = = 1

9、 2 n.n. 因为因为 b bn n= = 1 2 n a , , 所以所以 a an n= = 1 n b +2=+2= 2 n +2.+2. 题后反思题后反思 判断或证明一个数列判断或证明一个数列aan n 为等差数列的常用方法为等差数列的常用方法: : (1)(1)定义法定义法: :若若a an n- -a an n- -1 1=d(d=d(d是常数是常数,n2,n2且且nnN N* *),),则数列则数列aan n 是等差数列是等差数列. . (2)(2)等差中项法等差中项法: :若任意连续三项若任意连续三项a an n- -1 1,a,an n,a,an+1 n+1都有 都有:2a

10、:2an n=a=an n- -1 1+a+an+1 n+1(n2 (n2且且 nnN N* *),),则数列则数列aan n 是等差数列是等差数列. . (3)(3)通项公式法通项公式法: :若若a an n=kn+b(k,b=kn+b(k,b为常数为常数,n,nN N* *),),则数列则数列aan n 是等差数列是等差数列. . 即时训练即时训练 1 1 1:1:已知数列已知数列aan n,满足满足 a a1 1=2,a=2,an+1 n+1= = 2 2 n n a a . . (1)(1)数列数列 1 n a 是否为等差数列是否为等差数列? ?说明理由说明理由; ; (2)(2)求求

11、 a an n. . 解解: :(1)(1)数列数列 1 n a 是等差数列是等差数列, ,理由如下理由如下: : 因为因为 a a1 1=2,a=2,an+1 n+1= = 2 2 n n a a , ,所以所以 1 1 n a = = 2 2 n n a a = = 1 2 + + 1 n a . . 所以所以 1 1 n a - - 1 n a = = 1 2 . .即即 1 n a 是首项为是首项为 1 1 a = = 1 2 , ,公差为公差为 d=d= 1 2 的等差数列的等差数列. . (2)(2)由上述可知由上述可知 1 n a = = 1 1 a +(n+(n- -1)d=1

12、)d= 2 n , ,所以所以 a an n= = 2 n . . 【备用例【备用例 1 1】 c cn n= = 1,1, 25,2, n nn 试判断数列试判断数列ccn n 是否为等差数列是否为等差数列. . 解解: :因为因为c c2 2- -c c1 1= =- -1 1- -1=1=- -2,2, n2n2时时,c,cn+1 n+1- -c cn n=2(n+1) =2(n+1)- -5 5- -2n+5=2,2n+5=2, 所以所以c cn+1 n+1- -c cn n(n1) (n1)不等于同一个常数不等于同一个常数, , 不符合等差数列的定义不符合等差数列的定义, , 所以数

13、列所以数列ccn n 不是等差数列不是等差数列. . 等差数列的通项公式等差数列的通项公式 题型二题型二 【教师备用教师备用】 1.1.从等差数列的通项公式上看从等差数列的通项公式上看, ,等差数列与一次函数有什么关系等差数列与一次函数有什么关系? ? 提示提示: :由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n+(n- -1)d1)d可得可得a an n=dn+(a=dn+(a1 1- -d),d),当当d0d0 时时,a,an n是关于是关于n n的一次函数的一次函数. . 2.2.能不能利用等差数列的通项公式判断其增减性能不能利用等差数列的通项公式判断其增减性?

14、 ? 提示提示: :当当d0d0时时, ,数列数列aan n 为递增数列为递增数列; ;当当d=0d=0时时, ,数列数列aan n 为常数列为常数列; ;当当 d0,则则 a a6 6=4.=4. 【备用例【备用例 3 3】 已知数列已知数列xxn n 的首项的首项 x x1 1=3,=3,通项通项 x xn n=2=2 n np+nq(n p+nq(nN N * *,p,q ,p,q 为常数为常数) )且且 x x1 1、x x4 4、x x5 5成等差数列成等差数列. .求求 p,qp,q 的值的值. . 解解: :由由 x x1 1=3,=3,得得 2p+q=3, 2p+q=3, 又又 x x4 4=2=2 4 4p+4q,x p+4q,x5 5=2=2 5 5p+5q, p+5q, 且且 x x1 1+x+x5 5=2x=2x4 4, ,得得 3+23+2 5 5p+5q=2 p+5q=2 5 5p+8q, p+8q, 由得由得 q=1,p=1.q=1,p=1. 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!