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类型人教A版必修五数学课件:3.3.2简单的线性规划问题.ppt

  • 上传人(卖家):金钥匙文档
  • 文档编号:465538
  • 上传时间:2020-04-14
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    关 键  词:
    人教 必修 数学 课件 3.3 简单 线性规划 问题 下载 _人教A版_数学_高中
    资源描述:

    1、3.3.23.3.2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 第一课时第一课时 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、 最优解等基本概念最优解等基本概念, ,了解线性规划的意义了解线性规划的意义. . 2.2.能够利用图解法求解基本的线性规划问题能够利用图解法求解基本的线性规划问题. . 3.3.能够利用线性规划知识解决实际优化问题能够利用线性规划知识解决实际优化问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 线性规划中

    2、的基本概念线性规划中的基本概念 名称名称 意义意义 约束条件约束条件 变量变量x,yx,y满足的一组条件满足的一组条件 线性约线性约 束条件束条件 由由x,yx,y的的 不等式不等式( (或方程或方程) )组成的不等式组组成的不等式组 目标函数目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量欲求最大值或最小值所涉及的变量x,yx,y的解析式的解析式 线性目线性目 标函数标函数 目标函数是关于目标函数是关于x,yx,y的一次解析式的一次解析式 可行解可行解 满足线性约束条件的满足线性约束条件的 (x,y)(x,y) 可行域可行域 所有可行解组成的所有可行解组成的 . . 最优解最优解 使目标函数取得最大

    3、值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规线性规 划问题划问题 在线性约束条件下在线性约束条件下, ,求线性目标函数的最大值或最小值问题求线性目标函数的最大值或最小值问题 一次一次 解解 集合集合 自我检测自我检测 C C 1.(1.(目标函数意义目标函数意义) )目标函数目标函数 z=3xz=3x- -y,y,将其看成直线方程时将其看成直线方程时,z,z 的意义是的意义是 ( ( ) ) (A)(A)该直线的截距该直线的截距 (B)(B)该直线纵截距该直线纵截距 (C)(C)该直线的纵截距的相反数该直线的纵截距的相反数 (D)(D)该直线横截距该直线横截距 解析解析: :

    4、由由 z=3xz=3x- -y y 得得 y=3xy=3x- -z,z,在该方程中在该方程中- -z z 表示直线的纵截距表示直线的纵截距, , 因此因此 z z 表示该直线的纵截距的相反数表示该直线的纵截距的相反数. .故选故选 C.C. 2.(2.(目标函数的最值目标函数的最值) )(2014(2014 高考湖北卷高考湖北卷) )若变量若变量 x,yx,y 满足约束条件满足约束条件 4, 2, 0,0, xy xy xy 则则 2x+y2x+y 的最大值是的最大值是( ( ) ) (A)2(A)2 (B)4(B)4 (C)7(C)7 (D)8(D)8 D D 解析解析: :由题意作出可行域

    5、如图中阴由题意作出可行域如图中阴 影部分所示影部分所示, , 由由 4, 2 xy xy A(3,1).A(3,1). 故故 2x+y2x+y 的最大值为的最大值为 7.7.故选故选 C.C. 解析解析: :因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可 行解行解, ,即满足线性约束条件的解即满足线性约束条件的解(x,y),(x,y),它是一个有序实数它是一个有序实数 对对, ,所以均错所以均错, ,正确正确. .故填故填. . 3.(3.(线性规划概念线性规划概念) )给定下列命题给定下列命题: :在线性规划中在线性规划中, , 最优解指的是使目标函

    6、数取得最大值的变量最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x x 或或 y y 的值的值; ; 最优解指的是目标函数的最大值或最小值最优解指的是目标函数的最大值或最小值; ; 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域; ; 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. . 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是 . . 答案答案: : 4.(4.(目标函数范围的求法目标函数范围的求法) )设设 x,yx,y 满足约束条件满足约束条件 1, 3, 0, xy xy y 则则 z=xz=

    7、x- -y y 的的 取值范围为取值范围为 . . 解析解析: :可行域为图中阴影部分可行域为图中阴影部分( (不包括不包括 x x 轴轴),z=x),z=x- -y y 可化为可化为 y=xy=x- -z,z,显然当直线经过点显然当直线经过点 ( (- -1,0)1,0)与与(3,0)(3,0)时时, ,取到取值范围的边界值取到取值范围的边界值, , 从而有从而有- -10 时时, ,当直线当直线 y=y=- - a b x+x+ z b 过可行域且在过可行域且在y y轴截距最大时轴截距最大时,z,z值最大值最大, ,在在y y轴截距最小时轴截距最小时,z,z 值最小值最小;(2)b0,则纵

    8、截距与则纵截距与z z同号同号, ,因此因此, , 纵截距最大时纵截距最大时,z,z也最大也最大; ;若若b0 时时, ,如图如图(1)(1)所示所示, ,此时可行域为此时可行域为 x x轴上方、轴上方、 直线直线 x+yx+y- -2=02=0 的右上方、直线的右上方、直线 kxkx- -y+2=0y+2=0 的右下方的区域的右下方的区域, ,显然此时显然此时 z=yz=y- -x x 无最小值无最小值. .当当 kk- -1 1 时满时满 足不等式组的只有点足不等式组的只有点(0,2),(0,2),此时此时 z=yz=y- -x=2;x=2;当当 k=k=- -1 1 时时, ,不等式组表

    9、示的区域为线段不等式组表示的区域为线段 AC(AC(如图如图(2)(2)所所 示示),z=y),z=y- -x x 取得最小值取得最小值- -2,2,均不符合题意均不符合题意. .当当- -1k01k0 时时, ,如图如图(2)(2)所示所示, ,此时可行域为点此时可行域为点 A(2,0),BA(2,0),B( (- - 2 k ,0,0) ),C(0,2),C(0,2)所围成的三角形区域所围成的三角形区域, ,当直线当直线 z=yz=y- -x x 经过点经过点 B B( (- - 2 k ,0,0) )时时, ,有最小值有最小值, ,即即 - -( (- - 2 k ) )= =- -4

    10、4k=k=- - 1 2 . .故选故选 D.D. 【备用例【备用例 1 1】 (2014(2014 高考北京卷高考北京卷) )若若 x,yx,y 满足满足 20, 20, 0, xy kxy y 且且 z=yz=y- -x x 的最小值为的最小值为- -4,4,则则 k k 的值为的值为( ( ) ) (A)2(A)2 (B) (B)- -2 2 (C) (C) 1 2 (D)(D)- - 1 2 求非线性目标函数的最值求非线性目标函数的最值 题型二题型二 【例【例 2 2】 变量变量 x,yx,y 满足满足 430, 35250, 1, xy xy x (1)(1)设设 z=z= y x

    11、, ,求求 z z 的最小值的最小值;(2);(2)设设 z=xz=x 2 2+y +y 2 2, ,求 求 z z 的取值范围的取值范围. . 解解: :由约束条件由约束条件 430, 35250, 1, xy xy x 作出作出(x,y)(x,y)的可行域如图所示的可行域如图所示. . 由由 1, 35250, x xy 解得解得 A A( (1,1, 22 5 ) ). .由由 1, 430, x xy 得得 C(1,1).C(1,1). 由由 430, 35250, xy xy 解得解得 B(5,2).B(5,2). (1)(1)因为因为 z=z= y x = = 0 , 0 y x

    12、所以所以 z z 的值即是可行域中的点与原的值即是可行域中的点与原 点点 O O 连线的斜率连线的斜率. .观察图形可知观察图形可知 z zmin min=k=kOBOB= = 2 5 . . (2)z=x(2)z=x 2 2+y +y 2 2 的几何意义是可行域上的点到原点的几何意义是可行域上的点到原点O O的距离的平方的距离的平方, , 结合图形可知结合图形可知, ,可行域上的点到原点的距离中可行域上的点到原点的距离中, , d dmin min=|OC|=|OC|=2,d,dmaxmax=|OB|=|OB|=29. .所以所以 2 2z z29.29. 即即 z z 的取值范围为的取值范

    13、围为2,29.2,29. 题后反思题后反思 (1)(1)本题巧妙利用目标函数本题巧妙利用目标函数z z的几何意义的几何意义, ,结合可行域把结合可行域把 问题解决问题解决, ,这在以后做题时值得借鉴这在以后做题时值得借鉴. . (2)(2)求解非线性目标函数时注意以下规律求解非线性目标函数时注意以下规律: : 对形如对形如 z=(xz=(x- -a)a) 2 2+(y +(y- -b)b) 2 2 型的目标函数均可化为求可行域内的点型的目标函数均可化为求可行域内的点 (x,y)(x,y)与点与点(a,b)(a,b)间的距离的平方的最值问题间的距离的平方的最值问题. . 对形如对形如 z=z=

    14、ayb cxd (ac(ac0)0)型的目标函数型的目标函数, ,可先变形为可先变形为 z=z= a c b y a d x c 的形式的形式, ,将问题化为求可行域内的点将问题化为求可行域内的点(x,y)(x,y)与与 ( (- - d c , ,- - b a ) )连线斜率的连线斜率的 a c 倍的范围、最值等倍的范围、最值等. . 解解: :作出不等式组表示的平面区域作出不等式组表示的平面区域, ,如图中如图中 阴影部分阴影部分,z=|x+2y,z=|x+2y- -4|=4|= 24 5 xy 5, , 即其几何含义为阴影区域内的点到直线即其几何含义为阴影区域内的点到直线 x+2yx+

    15、2y- -4=04=0 的距离的的距离的5倍倍. .由由 20, 250, xy xy 得点得点 B B 的坐标为的坐标为 (7,9).(7,9).显然显然, ,点点 B B 到直线到直线 x+2yx+2y- -4=04=0 的距离最大的距离最大, ,此时此时 z zmax max= =21.21. 即时训练即时训练 2 2 1:1:实数实数 x,yx,y 满足不等式组满足不等式组 20, 250, 40, xy xy xy 求求 z=|x+2yz=|x+2y- -4|4|的最大值的最大值. . 解解: :作出可行域如图作出可行域如图, ,并求出顶点的坐标并求出顶点的坐标 A(1,3)A(1,

    16、3)、B(3,1)B(3,1)、C(7,9).C(7,9). (1)z=x(1)z=x 2 2+(y +(y- -5)5) 2 2 表示可行域内任一点表示可行域内任一点(x,y)(x,y)到定点到定点 M(0,5)M(0,5)的的 距离的平方距离的平方, ,过过M M作直线作直线ACAC的垂线的垂线, ,易知垂足易知垂足N N在线段在线段ACAC上上, , 故故 z z 的最小值的最小值|MN|MN| 2 2= =9 2 . . 【备用例【备用例 2 2】 已知已知 20, 40, 250, xy xy xy 求求:(1)z=x:(1)z=x 2 2+y +y 2 2- -10y+25 10y

    17、+25 的最小值的最小值;(2)z=;(2)z= 21 1 y x 的取值范围的取值范围. . (2)z=2(2)z=2 1 2 1 y x 表示可行域内任一点表示可行域内任一点(x,y)(x,y)与定点与定点 Q Q( (- -1,1,- - 1 2 ) )连线的斜连线的斜 率的两倍率的两倍, ,且且 k kQAQA= = 7 4 ,k,kQBQB= = 3 8 , ,所以所以 z z 的取值范围为的取值范围为 3 4 , , 7 2 . . 线性规划中的实际应用问题线性规划中的实际应用问题 题型三题型三 【例【例 3 3】 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过某公司计划在甲、乙两个电

    18、视台做总时间不超过 300300 分钟的分钟的 广告广告, ,广告总费用不超过广告总费用不超过 9 9 万元万元, ,甲、乙电视台的广告收费标准分别为甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500500 元元/ /分钟和分钟和 200200 元元/ /分钟分钟, ,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每 分钟广告分钟广告, ,能给公司带来的收益分别为能给公司带来的收益分别为 0.30.3 万元和万元和 0.20.2 万元万元. .问该公司问该公司 如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间, ,才能使公司的收益最大才能使公司的收益最大,

    19、 ,最最 大收益是多少万元大收益是多少万元? ? 解解: :设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x x 分钟和分钟和 y y 分钟分钟, ,总收益为总收益为 z z 元元, , 由题意得由题意得 300, 50020090000, 0, 0. xy xy x y . .目标函数为目标函数为 z=3000x+2000y.z=3000x+2000y.二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于 300, 52900, 0, 0. xy xy x y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域作出二元一次不等式组所表示的平面区域, ,即可行域即可行域,

    20、 , 如图阴影部分如图阴影部分. .作直线作直线 l:3000x+2000y=0,l:3000x+2000y=0,即即 3x+2y=0.3x+2y=0. 平移直线平移直线 l,l,从图中可知从图中可知, ,当直线当直线 l l 过过 M M 点时点时, ,目标函数取得最大值目标函数取得最大值. .联立联立 300, 52900, xy xy 解得解得 x=100,y=200.x=100,y=200.所以点所以点 M M 的坐标为的坐标为(100,200).(100,200).所以所以 z zmax max=3000x+2000y=700000(=3000x+2000y=700000(元元).)

    21、. 因此因此, ,该公司在甲电视台做该公司在甲电视台做 100100 分钟广告分钟广告, ,在乙电视台做在乙电视台做 200200 分钟广告分钟广告, ,公司的收益最大公司的收益最大, , 最大收益是最大收益是 7070 万元万元. . 题后反思题后反思利用线性规划解决实际问题的步骤利用线性规划解决实际问题的步骤(1)(1)设出未知数设出未知数( (当数据当数据 较多时较多时, ,可以列表格来分析数据可以列表格来分析数据);(2);(2)列出约束条件列出约束条件, ,确立目标函确立目标函 数数;(3);(3)作出可行域作出可行域;(4);(4)利用图解法求出最优解利用图解法求出最优解;(5);

    22、(5)得出结论得出结论. . 解析解析: :设种植黄瓜设种植黄瓜 x x 亩亩, ,韭菜韭菜 y y 亩亩, ,则由题意可知则由题意可知, , 50, 1.20.954, ,N , xy xy x y 求目标函数求目标函数 z=x+0.9yz=x+0.9y 的最大值的最大值. .根据题意画出可行域如图阴影所示根据题意画出可行域如图阴影所示. . 当直线当直线 l l 向右平移向右平移, ,移至点移至点 A(30,20)A(30,20)处时处时, ,目标函数取得最大值目标函数取得最大值, , 即当黄瓜种植即当黄瓜种植 3030 亩亩, ,韭菜种植韭菜种植 2020 亩时亩时, ,种植总利润最大种

    23、植总利润最大. .故选故选 B.B. 即时训练即时训练3 3 1:1:某农户计划种植黄瓜和韭菜某农户计划种植黄瓜和韭菜, ,种植面积不超过种植面积不超过5050亩亩, ,投入资投入资 金不超过金不超过 5454 万元万元, ,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表 年产量年产量/ /亩亩 年种植成本年种植成本/ /亩亩 每吨售价每吨售价 黄瓜黄瓜 4 4 吨吨 1.21.2 万元万元 0.550.55 万元万元 韭菜韭菜 6 6 吨吨 0.90.9 万元万元 0.30.3 万元万元 为使一年的种植总利润为使一年的种植总利润( (总利润总利润= =总销售

    24、收入总销售收入- -总种植成本总种植成本) )最大最大, ,那么黄瓜那么黄瓜 和韭菜的种植面积和韭菜的种植面积( (单位单位: :亩亩) )分别为分别为( ( ) ) (A)50,0(A)50,0 (B)30,20(B)30,20 (C)20,30(C)20,30 (D)0,50(D)0,50 【备用例【备用例 3 3】 某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机, ,由于两种产品的由于两种产品的 市场需求量非常大市场需求量非常大, ,有多少就能销售多少有多少就能销售多少, ,因此该公司要根据实际情况因此该公司要根据实际情况( (如资如资 金、劳动力等金、

    25、劳动力等) )确定产品的月供应量确定产品的月供应量, ,以使得总利润达到最大以使得总利润达到最大. .已知对这两种产已知对这两种产 品有直接限制的因素是资金和劳动力品有直接限制的因素是资金和劳动力, ,通过调查通过调查, ,得到关于两种产品的有关数得到关于两种产品的有关数 据如表据如表: : 单位产品所需资金单位产品所需资金( (百元百元) ) 电子琴电子琴( (架架) ) 洗衣机洗衣机( (台台) ) 月资金供应量月资金供应量 ( (百元百元) ) 成本成本 3030 2020 300300 劳动力劳动力( (工资工资) ) 5 5 1010 110110 单位利润单位利润 6 6 8 8

    26、/ / 试问试问: :怎样确定两种货的供应量怎样确定两种货的供应量, ,才能使总利润最大才能使总利润最大, ,最大利润是多少最大利润是多少? ? 解解: :设电子琴和洗衣机月供应量分别为设电子琴和洗衣机月供应量分别为x x架、架、 y y台台(x,y(x,yN N),), 总利润为总利润为 z z 百元百元, ,则根据题意则根据题意, ,有有 0, 0, 3020300, 510110, x y xy xy 且且 z=6x+8y,z=6x+8y,作出以上不等式组所表示的平面区域作出以上不等式组所表示的平面区域, ,如图中所示的阴影部分如图中所示的阴影部分. .令令 z=0,z=0,作直线作直线

    27、 l:6x+8y=0,l:6x+8y=0,即即 3x+4y=0.3x+4y=0.当移动直线当移动直线 l l 过图中的过图中的 A A 点时点时,z=6x+8y,z=6x+8y 取得最大值取得最大值. .解方程组解方程组 3020300, 510110, xy xy 得得 A(4,9),A(4,9),代入代入 z=6x+8yz=6x+8y 得得 z zmax max=6=64+84+89=96(9=96(百元百元).).所以当供应量为电子琴所以当供应量为电子琴 4 4 架、 洗衣机架、 洗衣机 9 9 台时台时, ,公司可公司可 获得最大利润获得最大利润, ,最大利润是最大利润是 9696 百元百元. . 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!

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