数学必修ⅳ北师大版-12任意角的概念与弧度制、任意角的三角汇总课件.ppt

1、1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数2三年三年4 4考考 高考指数高考指数:1.1.了解任意角的概念了解任意角的概念.2.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.3.理解任意角三角函数理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定义的定义.3任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数4三年三年4 4考考 高考指数高考指数:1.1.了解任意角的概念了解任意角的概念.2.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.3

2、.理解任意角三角函数理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定义的定义.51.1.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符号的确定值符号的确定.2.2.主要以选择题、填空题的形式考查，题目属于低档题主要以选择题、填空题的形式考查，题目属于低档题.61.1.角的有关概念角的有关概念(1)(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的_从一个从一个位位置置_到另一个位置所成的图形到另一个位置所成的图形.(2)(2)分类：分类：_、_、_._.(3)(3)终边相同的角：终边相同的角

3、：与角与角终边相同的角可构成集合终边相同的角可构成集合S=|=+_.S=|=+_.旋转旋转正角正角负角负角零角零角k k360360,kZ,kZ端点端点7【即时应用即时应用】(1)(1)思考：角思考：角为锐角是角为锐角是角为第一象限角的什么条件？为第一象限角的什么条件？提示：提示：充分不必要条件充分不必要条件.因为锐角为大于因为锐角为大于0 0小于小于 的角，而第一的角，而第一象限角为象限角为(2k(2k，2k+)(kZ).2k+)(kZ).228(2)(2)若若是第二象限角，判断下列表述是否正确是第二象限角，判断下列表述是否正确.(.(在括号内在括号内填填“”“”或或“”)”)|=k|=k3

4、60360+45+45，kZ kZ ()()|90|90180180 ()()|k|k360360+90+90k k360360+180+180，kZ kZ ()()|=k|=k180180+135+135,kZ ,kZ ()()9【解析解析】=k=k360360+45+45，kZkZ表示的是与表示的是与4545终边相终边相同的角，是第一象限的角，故不正确同的角，是第一象限的角，故不正确.9090180180,不能表示所有第二象限的角，故不正确不能表示所有第二象限的角，故不正确.正确正确.=k=k180180+135+135表示的是当表示的是当k k为偶数时，与为偶数时，与135135终边终边

5、相同的角；当相同的角；当k k为奇数时，与为奇数时，与315315终边相同的角，不能表示终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确第二象限的角，故不正确.答案：答案：102.2.弧度的定义和公式弧度的定义和公式(1)(1)定义定义:在以单位长为半径的圆中在以单位长为半径的圆中,_,_的弧所对的圆的弧所对的圆心心角为角为1 1弧度的角弧度的角,它的单位符号是它的单位符号是_，读作，读作_._.单位长度单位长度radrad弧度弧度11(2)(2)公式公式角角 的弧度数公式的弧度数公式=_（弧长用（弧长用l表示）表示）rl角度与弧度的换算角度与弧度的换算1 1=_rad=_rad180180弧长公

6、式弧长公式弧长弧长l=_r 扇形面积公式扇形面积公式S=_S=_=_=_1r2l21r21rad=(_)1rad=(_)12【即时应用即时应用】(1)337(1)3373030的弧度数是的弧度数是_._.(2)(2)的度数为的度数为_._.(3)(3)扇形半径为扇形半径为4545，圆心角为，圆心角为120120，则弧长为，则弧长为_._.【解析解析】(1)337(1)3373030表示的弧度数为表示的弧度数为 (2)(2)的度数为的度数为(3)(3)圆心角圆心角120120对应的弧度数为对应的弧度数为 故弧长故弧长l=45=30.45=30.答案：答案：(1)(1)(2)75(2)75(3)3

7、0(3)30512337.515.180851251801275.23，23158133.3.任意角的三角函数任意角的三角函数(1)(1)定义：设角定义：设角终边与单位圆交于终边与单位圆交于P(x,y)P(x,y)，则，则sin=_sin=_，cos=_cos=_，tan=_.tan=_.(2)(2)几何表示几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正正弦线的起点都在弦线的起点都在x x 轴上轴上,余弦线的起点都是原点余弦线的起点都是原点,正切线的起点正切线的起点都是都是(1,0).(1,0).如图中有向线段如图中有向线段MPMP，OMOM，ATA

8、T分别叫做角分别叫做角的的_，角，角的的_和角和角的的_._.y yx xy(x0)x正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线14yxOxxA(1,0)A(1,0)P PT TM MyxOP PT TA(1,0)A(1,0)M MyOP PT TA(1,0)A(1,0)M MOyP PT TA(1,0)A(1,0)M M15(3)(3)由三角函数的定义可得到以下关系由三角函数的定义可得到以下关系:sinsin2 2+cos+cos2 2=1(=1(平方关系平方关系););(商数关系商数关系).).sintancos 16【即时应用即时应用】(1)(1)已知角已知角终边上的一点终边上的一点A(2,2

9、)A(2,2)，则，则tan=_.tan=_.(2)(2)满足满足sin sin 的角的角的取值集合为的取值集合为_._.【解析解析】(1)(1)12y2tan1;x2 17(2)(2)作出正弦值等于作出正弦值等于 的角的角的终边，正弦的终边，正弦值大于值大于 的角的终边与单位圆的交点在劣弧的角的终边与单位圆的交点在劣弧P P1 1P P2 2上，所以所求角的范围为图中的阴影部上，所以所求角的范围为图中的阴影部分，分，的取值集合为的取值集合为答案：答案：(1)1(1)1(2)(2)12125|2k2k,kZ.665|2k2k,kZ6618终边相同的角的表示终边相同的角的表示【方法点睛方法点睛】

10、终边相同的角的表示及应用终边相同的角的表示及应用(1)(1)所有与所有与的终边相同的角都可表示为的终边相同的角都可表示为=+k=+k360360,kZ.,kZ.(2)(2)根据与根据与终边相同的角的表达式终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角可以写出一定范围内的角,也可以根据也可以根据的终边所在的象限的终边所在的象限,判断判断的倍数角所在的象限的倍数角所在的象限.(3)(3)与与终边相同的角的表达式中一定是终边相同的角的表达式中一定是k k360360或或k k2 2，这一点要注意这一点要注意.19【例例1 1】已知角已知角是第一象限角，确定是第一象限角，确定22，的终边所在的象的终边所

11、在的象限位置限位置.【解题指南解题指南】本例可由本例可由所在的象限写出角所在的象限写出角的范围，从而得的范围，从而得22、的范围，再确定终边所在的位置的范围，再确定终边所在的位置.【规范解答规范解答】是第一象限角，是第一象限角，k k22k k2+(kZ).2+(kZ).(1)k(1)k4422k k4+(kZ),4+(kZ),即即2k2k22222k2k2+(kZ),2+(kZ),22的终边在第一象限或第二象限或的终边在第一象限或第二象限或y y轴的非负半轴上轴的非负半轴上.22220(2)k(2)k k k+(kZ),+(kZ),当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时时,2n,2n 2n+

12、(nZ),2n+(nZ),的终边在第一象限的终边在第一象限.当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时时,(2n+1)(2n+1)(2n+1)+(nZ),(2n+1)+(nZ),即即2n+2n+2n+(nZ),2n+(nZ),的终边在第三象限的终边在第三象限.综上，综上，的终边在第一象限或第三象限的终边在第一象限或第三象限.24242224542221【反思反思感悟感悟】1.1.已知角已知角所在的象限，应熟练地确定所在的象限，应熟练地确定 所在所在的象限：的象限：2第一象限第一象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限区区域域2第一或第三象限第一或第三象限第二或第四象限第二或第四

13、象限O4545225225xyO4545225225xyO135135315315xyO135135315315xy222.2.若若为第一象限角为第一象限角,则则0 0 ,从而从而 是第一象限角是第一象限角,这种这种说法是片面的说法是片面的,是错误的是错误的.必须用象限角的一般表示法必须用象限角的一般表示法,再用不再用不等式的性质及对整数等式的性质及对整数k k的奇、偶讨论后确定的奇、偶讨论后确定 或或22所在的象限所在的象限.22223【变式训练变式训练】若角若角与与的终边在一条直线上，则的终边在一条直线上，则与与的的关系是关系是_._.【解析解析】当当、的终边重合时，的终边重合时，=+k=

14、+k2,kZ.2,kZ.当当、的终边互为反向延长线时，的终边互为反向延长线时，=+k=+k2=+(2k+1),kZ.2=+(2k+1),kZ.答案：答案：=+k=+k22，kZkZ或或=+(2k+1),kZ=+(2k+1),kZ24弧度制的应用弧度制的应用【方法点睛方法点睛】弧度制的应用弧度制的应用(1)(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：制下可以应用弧长公式：l=r|=r|，扇形面积公式：，扇形面积公式：计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便.

15、(2)(2)应用上述公式时应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示要先把角统一为用弧度制表示.【提醒提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.211Srr|.22l25【例例2 2】已知扇形的圆心角是已知扇形的圆心角是，半径为，半径为R R，弧长为，弧长为l.(1)(1)若若=60=60，R=10 cm,R=10 cm,求扇形的弧长求扇形的弧长l.(2)(2)若扇形的周长为若扇形的周长为20 cm20 cm，当扇形的圆心角，当扇形的圆心角为多少弧度时，为多少弧度时，这个扇形的面积最大？这个扇形的面积最大？(3)(3)若若R R2 cm2 cm

16、，求扇形的弧所在的弓形的面积，求扇形的弧所在的弓形的面积.3，26【解题指南解题指南】(1)(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.(2)(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角的半径和弧长，进而求出圆心角.(3)(3)利用利用S S弓弓=S=S扇扇-S-S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积积.27【规范解答规范解答】(1)(1)l=10=10=(cm).(cm).(2)(2)由已知得：由已知得：l+2R=20,+2R=20,

17、所以所以=10R-R=10R-R2 2=-(R-5)=-(R-5)2 2+25+25，所以所以R=5R=5时，时，S S取得最大值取得最大值2525，此时，此时l=10=10，=2 rad.=2 rad.(3)(3)设弓形面积为设弓形面积为S S弓弓,由题知由题知l=S S弓弓=S=S扇扇-S-S=310311SR(202R)R22l2 cm3212122sin2323 22(3)(cm).328【互动探究互动探究】将本例第将本例第(1)(1)小题中的小题中的R=10 cmR=10 cm改为扇形的改为扇形的AB=AB=cm,cm,再求弧长再求弧长l.【解析解析】因为圆心角因为圆心角=60=60

18、，所以所以10 2AB10 2 cm,10 2R10 2 cm,10 2 cm.33l29【反思反思感悟感悟】1.1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式的弧长公式 扇形面积公式扇形面积公式 有着必然的内在联系有着必然的内在联系.2.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形所在的三角形.n r180、l2n rS36030【变式备选变式备选】扇形扇形OABOAB的面积是的面积是1 cm1 cm2 2，它的周长是，它的周长是4 cm4 cm，求，求圆心角的弧度数和弦圆

19、心角的弧度数和弦ABAB的长的长【解析解析】设扇形的半径为设扇形的半径为r cmr cm，弧长为，弧长为l cm cm，圆心角的弧度，圆心角的弧度数数为为，则有，则有 解得解得 由由 得得2 2，|AB|AB|2sin1(cm).2sin1(cm).弦长弦长ABAB为为2sin1 cm.2sin1 cm.2r4,1r12 llr12，lrl31三角函数的定义三角函数的定义【方法点睛方法点睛】1.1.三角函数定义的理解三角函数定义的理解在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，设中，设P(x,y)P(x,y)是角是角终边上任意一点，且终边上任意一点，且|PO|PO|r r，则，则yxysincos

20、tan.rrx；322.2.定义法求三角函数值的两种情况定义法求三角函数值的两种情况(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点P P的坐标，则可先求出点的坐标，则可先求出点P P到原点的到原点的距离距离r r，然后利用三角函数的定义求解，然后利用三角函数的定义求解.(2)(2)已知角已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值的

21、三角函数值.33【例例3 3】(2012(2012西安模拟西安模拟)已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(-4m,3m)P(-4m,3m)(m0),(m0),则则2sin+cos2sin+cos的值是的值是()()(A)1(A)1或或-1 (B)-1 (B)或或-(C)1(C)1或或-(D)-1-(D)-1或或【解题指南解题指南】先求出先求出r,r,再根据三角函数定义求出再根据三角函数定义求出sinsin、cos,cos,其中由于不知其中由于不知m m的正负的正负,因此需分类讨论因此需分类讨论.2525252534【规范解答规范解答】选选B.B.由题意知由题意知,x=-4m,y=3m,x=-

22、4m,y=3m,当当m0m0时时,则则当当m0m sin 的角的角的取值集合为的取值集合为_._.【解析解析】(1)(1)12y2tan1;x2 59(2)(2)作出正弦值等于作出正弦值等于 的角的角的终边，正弦的终边，正弦值大于值大于 的角的终边与单位圆的交点在劣弧的角的终边与单位圆的交点在劣弧P P1 1P P2 2上，所以所求角的范围为图中的阴影部上，所以所求角的范围为图中的阴影部分，分，的取值集合为的取值集合为答案：答案：(1)1(1)1(2)(2)12125|2k2k,kZ.665|2k2k,kZ6660终边相同的角的表示终边相同的角的表示【方法点睛方法点睛】终边相同的角的表示及应用

23、终边相同的角的表示及应用(1)(1)所有与所有与的终边相同的角都可表示为的终边相同的角都可表示为=+k=+k360360,kZ.,kZ.(2)(2)根据与根据与终边相同的角的表达式终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角可以写出一定范围内的角,也可以根据也可以根据的终边所在的象限的终边所在的象限,判断判断的倍数角所在的象限的倍数角所在的象限.(3)(3)与与终边相同的角的表达式中一定是终边相同的角的表达式中一定是k k360360或或k k2 2，这一点要注意这一点要注意.61【例例1 1】已知角已知角是第一象限角，确定是第一象限角，确定22，的终边所在的象的终边所在的象限位置限位置.【解

24、题指南解题指南】本例可由本例可由所在的象限写出角所在的象限写出角的范围，从而得的范围，从而得22、的范围，再确定终边所在的位置的范围，再确定终边所在的位置.【规范解答规范解答】是第一象限角，是第一象限角，k k22k k2+(kZ).2+(kZ).(1)k(1)k4422k k4+(kZ),4+(kZ),即即2k2k22222k2k2+(kZ),2+(kZ),22的终边在第一象限或第二象限或的终边在第一象限或第二象限或y y轴的非负半轴上轴的非负半轴上.22262(2)k(2)k k k+(kZ),+(kZ),当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时时,2n,2n 2n+(nZ),2n+(nZ)

25、,的终边在第一象限的终边在第一象限.当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时时,(2n+1)(2n+1)(2n+1)+(nZ),(2n+1)+(nZ),即即2n+2n+2n+(nZ),2n+(nZ),的终边在第三象限的终边在第三象限.综上，综上，的终边在第一象限或第三象限的终边在第一象限或第三象限.24242224542263【反思反思感悟感悟】1.1.已知角已知角所在的象限，应熟练地确定所在的象限，应熟练地确定 所在所在的象限：的象限：2第一象限第一象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限区区域域2第一或第三象限第一或第三象限第二或第四象限第二或第四象限O454522522

26、5xyO4545225225xyO135135315315xyO135135315315xy642.2.若若为第一象限角为第一象限角,则则0 0 ,从而从而 是第一象限角是第一象限角,这种这种说法是片面的说法是片面的,是错误的是错误的.必须用象限角的一般表示法必须用象限角的一般表示法,再用不再用不等式的性质及对整数等式的性质及对整数k k的奇、偶讨论后确定的奇、偶讨论后确定 或或22所在的象限所在的象限.22265【变式训练变式训练】若角若角与与的终边在一条直线上，则的终边在一条直线上，则与与的的关系是关系是_._.【解析解析】当当、的终边重合时，的终边重合时，=+k=+k2,kZ.2,kZ.

27、当当、的终边互为反向延长线时，的终边互为反向延长线时，=+k=+k2=+(2k+1),kZ.2=+(2k+1),kZ.答案：答案：=+k=+k22，kZkZ或或=+(2k+1),kZ=+(2k+1),kZ66弧度制的应用弧度制的应用【方法点睛方法点睛】弧度制的应用弧度制的应用(1)(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：制下可以应用弧长公式：l=r|=r|，扇形面积公式：，扇形面积公式：计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便.(2)(2)应用上述公式

28、时应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示要先把角统一为用弧度制表示.【提醒提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.211Srr|.22l67【例例2 2】已知扇形的圆心角是已知扇形的圆心角是，半径为，半径为R R，弧长为，弧长为l.(1)(1)若若=60=60，R=10 cm,R=10 cm,求扇形的弧长求扇形的弧长l.(2)(2)若扇形的周长为若扇形的周长为20 cm20 cm，当扇形的圆心角，当扇形的圆心角为多少弧度时，为多少弧度时，这个扇形的面积最大？这个扇形的面积最大？(3)(3)若若R R2 cm2 cm，求扇形的弧所在的弓形的

29、面积，求扇形的弧所在的弓形的面积.3，68【解题指南解题指南】(1)(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.(2)(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角的半径和弧长，进而求出圆心角.(3)(3)利用利用S S弓弓=S=S扇扇-S-S，这样就需要求扇形的面积和三角形的面，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积积.69【规范解答规范解答】(1)(1)l=10=10=(cm).(cm).(2)(2)由已知得：由已知得：l+2R=20,+2R=20,所以所以=10R-R=1

30、0R-R2 2=-(R-5)=-(R-5)2 2+25+25，所以所以R=5R=5时，时，S S取得最大值取得最大值2525，此时，此时l=10=10，=2 rad.=2 rad.(3)(3)设弓形面积为设弓形面积为S S弓弓,由题知由题知l=S S弓弓=S=S扇扇-S-S=310311SR(202R)R22l2 cm3212122sin2323 22(3)(cm).370【互动探究互动探究】将本例第将本例第(1)(1)小题中的小题中的R=10 cmR=10 cm改为扇形的改为扇形的AB=AB=cm,cm,再求弧长再求弧长l.【解析解析】因为圆心角因为圆心角=60=60，所以所以10 2AB1

31、0 2 cm,10 2R10 2 cm,10 2 cm.33l71【反思反思感悟感悟】1.1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式的弧长公式 扇形面积公式扇形面积公式 有着必然的内在联系有着必然的内在联系.2.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形所在的三角形.n r180、l2n rS36072【变式备选变式备选】扇形扇形OABOAB的面积是的面积是1 cm1 cm2 2，它的周长是，它的周长是4 cm4 cm，求，求圆心角的弧度数和弦圆心角的弧度数和弦ABAB

32、的长的长【解析解析】设扇形的半径为设扇形的半径为r cmr cm，弧长为，弧长为l cm cm，圆心角的弧度，圆心角的弧度数数为为，则有，则有 解得解得 由由 得得2 2，|AB|AB|2sin1(cm).2sin1(cm).弦长弦长ABAB为为2sin1 cm.2sin1 cm.2r4,1r12 llr12，lrl73三角函数的定义三角函数的定义【方法点睛方法点睛】1.1.三角函数定义的理解三角函数定义的理解在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，设中，设P(x,y)P(x,y)是角是角终边上任意一点，且终边上任意一点，且|PO|PO|r r，则，则yxysincostan.rrx；742.

33、2.定义法求三角函数值的两种情况定义法求三角函数值的两种情况(1)(1)已知角已知角终边上一点终边上一点P P的坐标，则可先求出点的坐标，则可先求出点P P到原点的到原点的距离距离r r，然后利用三角函数的定义求解，然后利用三角函数的定义求解.(2)(2)已知角已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值的三角函数值.75【例例3

34、 3】(2012(2012西安模拟西安模拟)已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(-4m,3m)P(-4m,3m)(m0),(m0),则则2sin+cos2sin+cos的值是的值是()()(A)1(A)1或或-1 (B)-1 (B)或或-(C)1(C)1或或-(D)-1-(D)-1或或【解题指南解题指南】先求出先求出r,r,再根据三角函数定义求出再根据三角函数定义求出sinsin、cos,cos,其中由于不知其中由于不知m m的正负的正负,因此需分类讨论因此需分类讨论.2525252576【规范解答规范解答】选选B.B.由题意知由题意知,x=-4m,y=3m,x=-4m,y=3m,当当m0

35、m0时时,则则当当m0m0时时,故故2sin+cos2sin+cos的值为的值为 或或22r(4m)(3m)5 m.34r5m,sin,cos,55 6422sincos.555 34r5m,sin,cos,55 6422sincos,555 252.577【反思反思感悟感悟】1.1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，若是角若是角的终边落到一条直线上，一般要分类讨论的终边落到一条直线上，一般要分类讨论.2.2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系任意角的三角函数与锐角三角函数的关系.(1)(1)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，联系：锐角

36、三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，“r r”同为同为正值正值.78(2)(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐它也适合锐角三角函数的定义角三角函数的定义.(3)(3)实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程是由特殊到一般的认识和研究过程.79【变式训练变式训

37、练】已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(P(，m)(m0)m)(m0)，且，且sin=sin=试判断角试判断角所在的象限，并求所在的象限，并求coscos和和tantan的的值值【解析解析】由题意，得由题意，得m0,m0,故角故角是第二或第三象限角是第二或第三象限角当当 时，时，点点P P的坐标为的坐标为()()，当当 时，时，点点P P的坐标为的坐标为32m,422m2r3m,m43m，m5，m5r2 2，35，x36y515costanr4x32 23，m5 r2 2，(35)，x36y515costan.r4x32 23，80【变式备选变式备选】已知角已知角的终边过点的终边过点(a,

38、2a)(a0)(a,2a)(a0)，求，求的三的三角函数值角函数值.【解析解析】因为角因为角的终边过点的终边过点(a(a，2a)(a0)2a)(a0)，所以，所以，x=a,y=2a,x=a,y=2a,当当a a0 0时时,当当a a0 0时，时，r5 a，y2a2a2 5sinr55 a5a；xa5costan2;r55a ；y2a2a2 5sinr55 a5a；xa5costan2.r55a ；81【易错误区易错误区】忽略三角函数值的符号致误忽略三角函数值的符号致误【典例典例】(2011(2011重庆高考重庆高考)若若 且且(，)，则则tan=_.tan=_.【解题指南解题指南】根据角所在的

39、范围，先求出根据角所在的范围，先求出sinsin的值，再根的值，再根据商数关系求出正切值据商数关系求出正切值.【规范解答规范解答】因为因为 所以所以所以所以答案：答案：3cos5 ，3233()cos25 ，24sin1 cos5 ，sin4tan.cos3 4382【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议以得到以下误区警示和备考建议:误误区区警警示示求解本题时，常会出现以下两种失误：求解本题时，常会出现以下两种失误：(1)(1)易忽视题目中已知条件易忽视题目中已知条件的范围，求得的范围，求得sinsin的

40、两的两个值而致错个值而致错.(2)(2)虽注意到虽注意到的范围，但判断错的范围，但判断错sinsin的符号而导致的符号而导致tantan的值错误的值错误.83备备考考建建议议用用sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1求值时要注意以下两点求值时要注意以下两点:(1)(1)题目中若没有限定角题目中若没有限定角的范围，则的范围，则sinsin或或coscos的符号应有两种情况，不可漏掉的符号应有两种情况，不可漏掉.(2)(2)若已给出若已给出的范围，则要准确判断在给定范围内的范围，则要准确判断在给定范围内sinsin或或coscos的符号，不合题意的一定要舍去的符号，不合题意的一定要舍去.

41、841.(20111.(2011新课标全国卷新课标全国卷)已知角已知角的顶点与原点重合，始边与的顶点与原点重合，始边与x x轴的正半轴重合，终边在直线轴的正半轴重合，终边在直线y=2xy=2x上，则上，则cos2=()cos2=()【解析解析】选选B.B.由题意知，由题意知，tan=2tan=2，即，即sin=2cossin=2cos，将其代，将其代入入sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1中可得中可得coscos2 2=故故cos2=2coscos2=2cos2 2-1=-1=4334(A)(B)(C)(D)555515，3.5852.(20112.(2011上海高考上海高考)若三

42、角方程若三角方程sinx=0sinx=0与与sin2x=0sin2x=0的解集分别的解集分别为为E E，F,F,则则()()(A)E(A)E F F(B)E(B)E F F (C)E=F(C)E=F(D)EF=(D)EF=【解析解析】选选A.A.因为因为sinx=0sinx=0，sin2x=0sin2x=0，所以角，所以角x x和角和角2x2x的终边都的终边都在在x x轴上，所以轴上，所以E=x|x=k,kZE=x|x=k,kZ，F=x|F=x|kZkZ，所以，所以E E F.F.kx,2863.(20113.(2011江西高考江西高考)已知角已知角的顶点为坐标原点，始边为的顶点为坐标原点，始边为x x轴轴的正半轴，若的正半轴，若P(4,y)P(4,y)是角是角终边上一点，且终边上一点，且则则y=_.y=_.【解析解析】由由P(4P(4，y)y)是角是角终边上一点，且终边上一点，且 可知可知y y0 0，根据任意角的三角函数的定义得根据任意角的三角函数的定义得 化简得化简得y y2 2=64=64，解得，解得y=-8.y=-8.答案：答案：-8-82 5sin5，2 5sin5 22OP4y，22y2 554y，8788